1、- 1 -空间几何体的表面积和体积预习提纲1平面展开图2概念：直棱柱：正棱柱：正棱锥：正棱台：3面积公式：S 直棱柱侧 S 正棱锥侧 S 正棱台侧 S 圆柱侧 S 圆锥侧 S 圆台侧 S 球面 相互间的关系：4体积公式：V 长方体 V 柱体 V 锥体 V 台体 V 球 相互间的关系：- 2 -空间几何体的表面积和体积教案例 1：已知直三棱柱底面各边的比为 17109，侧棱长为 16 cm，全面积为 1440 cm2，求底面各边之长. 例 2：正三棱锥底面边长为 a，侧棱与底面成 45角，求此棱锥的侧面积与全面积.- 3 -例 3：从一个正方体中，如图那样截去 4 个三棱锥后，得到一个正三棱锥
2、ABCD，求它的体积是正方体体积的几分之几？例 4：假设正棱锥的底面边长为 a，侧棱长为 2a，求对角面的面积和侧面积.- 4 -例 5：如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：（1）球的表面积等于圆柱的侧面积；（2）球的表面积等于圆柱全面积的23例 6：有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各顶点，求这三个球的表面积之比.- 5 -例 7：已知圆锥的全面积是它内切球表面积的 2 倍，求圆锥侧面积与底面积之比.练习：1.已知球面上 A、B、C 三点的截面和球心的距离等于球的半径的一半，且 AB=BC=CA=2，求球的体积.2.一个
3、体积为 8 的正方体的各个顶点都在球面上，求此球的体积.- 6 -例 8：求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比.例 9：半径为 R 的球的内接四面体内有一内切球，求这两球的体积比？- 7 -空间几何体的表面积和体积教案例 1：已知直三棱柱底面各边的比为 17109，侧棱长为 16 cm，全面积为 1440 cm2，求底面各边之长. 分析：这是一道跟直棱柱侧面积有关的问题，从结论出发，欲求底面各边之长，而各边之比已知，可分别设为 17a、10a、9a，故只须求出参数 a 即可，那么如何利用已知条件去求a 呢？生设底面三边长分别是 17a、10a、9a,S 侧 （17a10a9a）16 57
4、6a设 17a 所对三角形内角 ，则 cos ，sin（ 10a） 2 （ 9a） 2 （ 17a） 2210a9a 35 45S 底 10a9a 36a 212 45576a 72a21440 解得：a2三边长分别为 34 cm，20 cm，18 cm.师此题中先设出参数 a，再消去参数，很有特色.例 2：正三棱锥底面边长为 a，侧棱与底面成 45角，求此棱锥的侧面积与全面积.分析：可根据正棱锥的侧面积与全面积公式求得.解：如图所示，设正三棱锥 SABC 的高为 SO，斜高为 SD，在 RtSAO 中， AOSAcos45AO AD a SA a23 2332 63在 RtSBD 中SD 6
5、15)()6(22S 侧 3aSD a2. S 底 a212 154 34S 全 （ ）a 2154 34例 3：从一个正方体中，如图那样截去 4 个三棱锥后，得到一个正三棱锥 ABCD，求它的体积是正方体体积的几分之几？分析：在准确识图的基础上，求出所截得的每个三棱锥的体积和正三棱锥 ABCD 的体积即可.解：设正方体体积为 Sh,则每个截去的三棱锥的体积为 Sh Sh.1312 16三棱锥 ABCD 的体积为- 8 -Sh4 Sh Sh.16 13正三棱锥 ABCD 的体积是正方体体积的 .13例 4：假设正棱锥的底面边长为 a，侧棱长为 2a，求对角面的面积和侧面积.解：如图所示，在正四
6、棱锥 PABCD 中，ABa，PB 2a，作 PO底面 ABCD 于 O.连结 BD，则 OBD，且 POBC，由 ABa，得 BD a，在 RtPAB 中，2PO2PB 2BO 2（2a） 2（ a） 222PO a，S 对角面 POBD a2.142 12 72又作 PEBC 于 E，这时 E 是 BC 的中点PE2PB 2BE 2（2a） 2（ a） 212PE a S 侧 4 PEBC a2152 15对角面面积为 a2,侧面积为 a2. 72 15例 5：如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：（1）球的表面积等于圆柱的侧面积；（2）球的表面积等于圆柱全面积的23证明：（1）设
7、球的半径为 R，则圆柱的底面半径为 R，高为 2R，得S 球 4R 2，S 圆柱侧 2R 2R4R 2 S 球 S 圆柱侧（2）S 圆柱全 4R 2+2R26R 2 S 球 4R 2S 球 S 圆柱全23例 6：有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各顶点，求这三个球的表面积之比.解：设正方体的棱长为 a，则第一个球的半径为 ，第二个球的半径是 a，第三个球a2 22的半径为 a. 32r1r2r31 S1S2S31 232 3例 7：已知圆锥的全面积是它内切球表面积的 2 倍，求圆锥侧面积与底面积之比.解：过圆锥的轴作截面截圆锥和内切
8、球分别得轴截面 SAB 和球的大圆O ，且O 为SAB 的内切圆.- 9 -设圆锥底面半径为 r,母线长为 l;内切圆半径为 R，则S 锥全 r 2rl，S 球 4R 2，r 2rl 8R 2 又SOESA O1 rllrR2由得： R2 r2 代入得：r 2rl8r 2 ，得：l rll3r 32rlS底锥 侧圆锥侧面积与底面积之比为 31.练习：1.已知球面上 A、B、C 三点的截面和球心的距离等于球的半径的一半，且 AB=BC=CA=2，求球的体积.2.一个体积为 8 的正方体的各个顶点都在球面上，求此球的体积.例 8：求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比.解：如图所示，等边SAB
9、 为圆锥的轴截面，此截面截圆柱得正方形 C1CDD1，截球面得球的大圆圆 O1.设球的半径 O1OR，则它的外切圆柱的高为 2R，底面半径为 R，则有OBO 1Ocot30 R3SOOBtan60 R 3R3 3V 球 R3,V 柱 R 22R2R 343V 锥 （ R） 23R3R 313 3V 球 V 柱 V 锥 469师以上题目，通过作球及外切圆柱、等边圆锥的公共截面暴露这些几何体之间的相互关系.让我们继续体会有关球的相接切问题.例 9：半径为 R 的球的内接四面体内有一内切球，求这两球的体积比？解：如图所示，大球 O 的半径为 R；设正四面体ABCD 的棱长为 a，它的内切球半径为 r，依题意BO1 a a，2332 33AO1 aAB2 BO1263又 BO2BO 12OO 12，- 10 -R2（ a R22)36()Ra362连结 OA，OB ，OC，OD，内切球球心到正四面体各面距离为 r,VOBCDV OABCV OACD VOAOBV OBCD rSASBCDBCD 31431rr Ra316216V 小球 V 大球 （ R） 3 R31 2744内切球与外接球的体积比为 127.
