1、第 28 讲 平面向量的数量积项目一 知识概要1 两个向量的夹角已知两个非零向量 a 和 b，作 a， b，AOB(0 180)叫作向量 a 与 bOA OB 的夹角2 平面向量的数量积已知两个向量 a 和 b，它们的夹角为 ，我们把| a|b|cos 叫作 a 与 b 的数量积( 或内积)，记作 ab| a|b|cos .3 平面向量数量积的几何意义数量积 ab 等于 a 的长度|a| 与 b 在 a 方向上的射影|b|cos 的乘积或 b 的长度| b|与 a 在 b方向上的射影|a|cos 的乘积4 平面向量数量积的重要性质(1)eaae|a|cos ；(2)a，b，a bab0；(3)
2、|a| ；aa(4)cos ；ab|a|b|(5)|ab|a|b|.5 平面向量数量积满足的运算律(1)abba；(2)(a)b(ab )a( b)；(3)(ab )cacbc.6 平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量 a(x 1，y 1)，b( x2， y2)，则 abx 1x2y 1y2，由此得到(1)若 a(x，y)，则|a| 2x 2 y2 或|a| .x2 y2(2)设两个非零向量 a，b，a( x1，y 1)，b(x 2，y 2)，则 abx 1x2y 1y20.项目二 例题精讲任务一 平面向量数量积的运算问题【例 1】 (1)在 RtABC 中，C90，AC 4，则 等于 (
3、)AB AC A16 B8 C8 D16(2)已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点，则 的值为_；DE CB 的最大值为_DE DC 分析 (1)C90，可选取向量 ， 为基底表示向量或者利用数量积的几何意义；CA CB (2)建立坐标系求向量的坐标，也可利用数量积的几何意义答案 (1)D (2)1 1解析 (1)方法一 ( )( )AB AC CB CA CA 216.CB CA CA 方法二 在 方向上的射影是 AC，AB AC | |216.AB AC AC (2)方法一 以射线 AB，AD 为 x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1
4、,0)，C(1,1)，D(0,1)，设 E(t,0)，t0,1，则 ( t，1)， (0 ，1) ，DE CB 所以 (t，1)(0 ，1)1.DE CB 因为 (1,0) ，所以 (t， 1)(1,0)t 1，DC DE DC 故 的最大值为 1.DE DC 方法二 由图知，无论 E 点在哪个位置， 在 方向上的射影都是 CBDE CB 1， | |11，DE CB CB 当 E 运动到 B 点时， 在 方向上的射影最大即为 DC1，( )max| |11.DE DC DE DC DC 评注 求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义本题从不同角度创 造
5、性地解题，充分利用了已知条件任务二 求向量的夹角与向量的模问题【例 2】 (1)已知向量 a，b 夹角为 45，且|a| 1，|2ab| ，则|b|_.10(2)已知向量 与 的夹角为 120，且| |3，| |2.若 A ，且AB AC AB AC P AB AC ，则实数 的值为_AP BC 分析 利用数量积的定义 ab|a|b|cos .答案 (1)3 (2)2712解析 (1)利用平面向量的数量积概念、模的概念求解a，b 的夹角为 45，|a|1，ab| a|b|cos 45 |b|，22|2a b|244 |b|b| 210， |b| 3 .22 2(2)由 知 0，AP BC AP
6、 BC 即 ( )( )AP BC AB AC AC AB (1) A 2 2AB AC B AC (1)32 940，解得 .( 12) 712评注 (1)在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a| 要引起足够重视，它是求距离常用的公式aa(2)要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系在向量的运算中，灵活运用运算律，达到简化运算的目的任务三 数量积的综合应用问题【例 3】 已知ABC 的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，设向量 m( a，b)，n(sin B，sin A) ，p( b2，a2)(1)若 mn，求证：ABC 为等腰三角形；(2)若 mp，
7、边长 c2，角 C ，求ABC 的面积3分析 (1)由 mn 可得ABC 的边角关系，再利用正弦定理边角互化即可证得结论；(2)由 mp 得 a、b 关系，再利用余弦定理得 ab，代入面 积 公式(1)证明 mn，asin Absin B，即 a b ，其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径，a2R b2Rab.ABC 为等腰三角形(2)解析 由题意可知 mp0，即 a(b2)b( a2)0.abab.由余弦定理可知，4a 2b 2 ab(ab) 23ab，即(ab) 23ab40，ab4(舍去 ab1)，S absin C 4sin .12 12 3 3评注 以向量为载体考查三角形问题时，要
8、注意正弦定理、余弦定理、面积公式的应用、边与角之间的互化是判断三角形形状的常用方法任务四 数量积问题的数形结合求解问题【例 4】 如图所示，把两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD x y ，求 x 和 y 的值 .AB AC 解析 方法一 结合图形特点， 设向量 ， 为单位向量，由 x y 知，x，y 分AB AC AD AB AC 别为 在 ， 上的射影又 |BC| DE| ，AD AB AC 2| | |sin 60 .BD DE 62 在 上的射影AD AB x1 cos 451 1 ，62 62 22 32在 上的射影 y sin 45 .AD AC 62 32方法二 x y ，
9、又 ，AD AB AC AD AB BD x y ，AB BD AB AC ( x1) y .BD AB AC 又 ， (x 1) 2.AC AB BD AB AB 设| | 1，则由 题意| | | .AB DE BC 2又BED60，| | .显然 与 的夹角为 45.BD 62 BD AB 由 (x 1) 2，BD AB AB 得 1cos 45(x1) 12.62x 1.32同理，在 (x1) y 两边取数量积可得 y .BD AB AC 32评注 突破本题的关键是，要抓住图形的特点(图形由一副三角板构成) 根据图形的特点，利用向量分解的几何意义，求解方便快捷方法二是原试题所给答案，较
10、方法一略显繁杂.项目三 感悟提高1 计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量 积的几何意 义，要灵活 选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用2 求向量模的常用方法：利用公式 |a|2a 2，将模的运算转化为向量的数量积的运算3 利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧4 (1)0 与实数 0 的区别：0a00，a(a)00，a000；(2)0 的方向是任意的，并非没有方向，0 与任何向量平行，0 与任何向量垂直5 ab0 不能推出 a0 或 b0，因 为 ab0 时，有可能 a b.6 abac(a 0)不能推出 bc，即消去律不成立项目四 冲刺必练A
11、 组 专项基础训练(时间：40 分钟)一、选择题1 已知向量 a(1,2)，b( x，4) ，若 ab，则 ab 等于 ( )A10 B6 C0 D6答案 A解析 由 ab 得 2x4，x2，故 ab(1,2)(2，4)10.2已知向量 a、b 满足|a| 1 ，|b|4，且 ab2，则 a 与 b 的夹角为( )A. B. C. D.6 4 3 2答案 C 解析 cosa，b ，a，b .ab|a|b| 12 33 设 x，yR，向量 a(x,1) ，b(1，y)，c(2，4)，且 ac，bc，则|ab| 等于( )A. B. C2 D105 10 5答案 B解析 a(x,1)，b(1，y)
12、 ，c(2 ，4) ，由 ac 得 ac0，即 2x40，x 2.由 bc，得 1(4)2y0， y2.a(2,1)，b(1 ，2)ab(3，1)，|a b | .32 12 104 已知向量 a(1,2)，b(2 ，3)若向量 c 满足(c a)b，c(ab) ，则 c 等于( )A. B. C. D.(79，73) ( 73， 79) (73，79) ( 79， 73)答案 D解析 设 c(x，y)，则 ca(x1，y 2) ，又(ca )b，2(y2)3(x1)0. 又 c(a b) ，(x， y)(3，1)3xy0. 联立解得 x ，y .79 735 向量 与向量 a(3,4)的夹角
13、为 ，| |10，若点 A 的坐标是(1,2)，则点 B 的坐标AB AB 为( )A(7,8) B(9，4) C(5,10) D(7 ，6)答案 D解析 与 a( 3,4)反向，AB 可设 (3 ，4)， 0.AB 又| | 10， 2， (6，8)，AB AB 又 A(1,2)，B 点坐标为(7，6)6 在ABC 中，A90，AB 1，AC 2.设点 P， Q 满足 ， (1) ，AP AB AQ AC R.若 2，则 等于 ( )BQ CP A. B. C. D213 23 43答案 B解析 (1) ，BQ AQ AB AC AB ，CP AP AC AB AC (1) 2 24(1)3
14、42，即 .BQ CP AC AB 23二、填空题7 设向量 a(1,2m)，b(m 1,1) ，c (2 ，m )若(ac)b，则|a|_.答案 2解析 利用向量数量积的坐标运算求解ac(1,2 m)(2，m)(3,3 m)(ac)b，(ac )b(3,3m)(m1,1)6m30，m .a(1，1)，|a| .12 28 已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 CD 的中点，则 _.AE BD 答案 2解析 由题意知： ( )( )AE BD AD DE AD AB ( )( )AD 12AB AD AB 2 24022.AD 12AD AB 12AB 9 已知 a(2，1) ，b(，3
15、)，若 a 与 b 的夹角为钝角，则 的取值范围是_答案 (，6) ( 6，32)解析 由 ab0，即 230 ，解得 ，由 a b 得：326，即 6.因此 ，且 6.3210已知点 A，B，C 满足| |3，| |4，| |5，则 的值是AB BC CA AB BC BC CA CA AB _答案 25解析 方法一 如右图，根据 题意可得ABC 为直角三角形，且 B ，cos A ，cos C ，2 35 45 AB BC BC CA CA AB BC CA CA AB 45cos(C)53cos(A)20cos C15cos A20 1545 3525.方法二 易知 0，AB BC CA
16、 将其两边平方可得2 2 22( )0，AB BC CA AB BC AB CA BC CA 故 AB BC AB CA BC CA ( 2 2 2)25.12AB BC CA 三、解答题11 已知向量 a(4,5cos ) ，b(3，4tan )，(0， )，ab，求：2(1)|ab| ；(2)cos( )的值4解 (1)因为 ab，所以 ab435cos (4tan ) 0，解得 sin .35又因为 (0 ， )，2所以 cos ，tan ，45 sin cos 34所以 ab(7,1)，因此|a b| 5 .72 12 2(2)cos( )cos cos sin sin 4 4 4 .
17、45 22 35 22 21012已知ABC 的内角为 A、B、C，其对边分别为 a、b、c，B 为锐角，向量 m(2sin B， )，n(cos 2B,2cos2 1)，且 mn .3B2(1)求角 B 的大小；(2)如果 b2，求 SABC 的最大值解 (1)mn2sin B(2cos 2 1) cos 2B0B2 3sin 2B cos 2B02sin(2 B )0(B 为锐角)332B B .23 3(2)cos B aca 2c 242ac4ac 4.a2 c2 b22acSABC acsin B 4 .12 12 32 3B 组 专项能力提升(时间：20 分钟)1 ABC 的外接圆
18、圆心为 O，半径为 2， 0，且| | |，则 在 方OA AB AC OA AB CA CB 向上的射影为 ( )A1 B2 C. D33答案 C解析 如图，设 D 为 BC 的中点，由 0，OA AB AC 得 2 ，AO AD A、O、D 共线且| |2| |，AO AD 又 O 为ABC 的外心，AO 为 BC 的中垂线，| | | | |2， | |1，AC AB OA AD | | ， 在 方向上的射影 为 .CD 3 CA CB 32 已知 a，b 是单位向量，ab0，若向量 c 满足|cab|1，则|c| 的取值范围是( )A 1， 1 B 1， 22 2 2 2C1， 1 D
19、1 ， 22 2答案 A解析 ab0，且 a，b 是单位向量， |a| |b|1.又|cab| 2c 22c (ab)2a ba 2b 21，2c(ab)c 21.|a |b|1 且 ab0，| a b| ，2c 212 |c|cos ( 是 c 与 ab 的夹角) 2又1cos 1，0 c21 2 |c|，2c 22 |c|10，2 1|c| 1.2 23 如图所示，在平面四边形 ABCD 中，若 AC3，BD2，则( )(AB DC AC )_.BD 答案 5解析 由于 ， ，AB AC CB DC DB BC 所以 AB DC AC CB DB BC .AC BD ( )( )( )( )AB DC AC BD AC BD AC BD | |2 | |2945.AC BD 4已知向量 a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0. 若|ab| ，则 ab_；2设 c(0,1)，若 abc，则 _， _答案 0； ， .56 6解析 由|ab| ，即(cos cos )2(sin sin )22，整理得 cos cos sin 2
