1、12009-2017 全国高中数学联赛分类汇编第 08 讲：解析几何1、 （2009 一试 2）已知直线 和圆 ，点 在直线 上， ， 为:90Lxy2:810MxyALBC圆 上两点，在 中， ， 过圆心 ，则点 横坐标范围为MABC45ABA【答案】 36，【解析】设 ，则圆心 到直线 的距离 ，由直线 与圆 相交，得9a， Csin45dCM解得 42d 36 2、 （2009 一试 5）椭圆 上任意两点 ， ，若 ，则乘积 的最小值21xyab0PQOOPQ为【答案】2ba【解析】设 ， cosinPOP， cossin22QOQ ，由 ， 在椭圆上，有Q 221csinabP 221
2、sicosab得 于是当 时， 达到最小值 + 2221aOQ2OPQOPQ2ab3、 （2010 一试 3）双曲线 的右半支与直线 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐12yx10x标均为整数的点）的个数是.【答案】98004、 （2011 一试 7）直线 与抛物线 交于 两点， 为抛物线上的一点， ，012yxxy42BA,C90ACB则点 的坐标为C2【答案】 或)2,1()6,9(即 ，0)(24)( 212121214 ytytxtxt即 ，即 03624tt 432tt显然 ，否则 ，则点 在直线 上，从而点 与点 或点 重合所12t 012tt C012yxCAB以 ，解得 故
3、所求点 的坐标为 或 0342t 3,21tt ),()6,9(5、 （2012一试4）抛物线 的焦点为 ，准线为， 是抛物线上的两个动点，且满足2(0)ypxF,AB设线段的中点 在上的投影为 ，则 的最大值是.3AFBMN|M【答 案】1【解析】由抛物线的定义及梯形的中位线定理得 .2AFB在 中,由余弦定理得AFB22cos3ABF2()322()3() 22().FMN当且仅当 时等号成立.故 的最大值为1.AFBMNAB6、 （2013 一试 2）在平面直角坐标系 中，点 在抛物线 上，满足 ， 是抛物xOy、 24yx4OABF线的焦点.则 .OFABSs【答案】2.【解析】点 坐
4、标为 .设 ， ，则 ， ，故1,01,xy2,Bxy214yx23，即 ，故 .2121146OABxyy 21806y128y.2124FSFOF7、 （2013 一试 7）若实数 满足 ，则 的取值范围是.,xyyx【答案】 .04,2 1A42b aOCB如图所示，在 平面内，点 的轨迹是以 为圆心，aOb,ab,2为半径的圆在 的部分，即点 与弧 的并集.因此5,0ACB，从而 .学%科网22,5ab204,2xab8、 （2014 一试 6）设椭圆 的两个焦点是 ，过点 的直线与 交于点 ，若 ，且21,F1QP, |21F，则椭圆 的短轴与长轴的比值为_.|4|311QFP【答案
5、】 27【解析】 11|,|3,记 椭 圆 T的 长 轴 ， 短 轴 的 长 度 分 别 为 2a,b焦 距 为2|Fcc,则 P且 由 椭 圆 的 定 义 知 ， 1122|4.aQFPcF121|.QQFc于 是 |5HH设 为 线 段 的 中 点 ， 则 ， ， 21.H且 有 由 勾 股 定 理 知 ，222211|-|F4221)5(),5,7ccca即 （ 解 得6,bT因 此 椭 圆 的 短 轴 与 长 轴 的 比 值 为 26.b9、 （2016 一试 7）双曲线 C 的方程为 ，左、右焦点分别为 、 ，过点 作直线与双曲线132yx1F22C 的右半支交于点 P，Q，使得 =
6、90，则 的内切圆半径是 .F1PQF1【答案】 17【解析】10、 （2017 一试 3）在平面直角坐标系 中，椭圆 的方程为 ， 为 的上焦点， 为xoyC2190xyFCA5的右顶点， 是 上位于第一象限内的动点，则四边形 的面积的最大值为.CPCOAPF【答案】 312【解析】易知 (,0)F,.P3cos,10in),2A 设 的 坐 标 是 （ 则1 3130sin(cosi)sin().2220=arctn.arct .2OAPFOPSSOAPF其 中 当 时 ， 四 边 形 面 积 的 最 大 值 为11、 （2009 一试 9）设直线 （其中 ， 为整数）与椭圆 交于不同两点
7、 ， ，与:lykxmk216xyAB双曲线 交于不同两点 ， ，问是否存在直线 ，使得向量 ，若存在，指出这样的214xyCDl 0ACBD直线有多少条？若不存在，请说明理由【解析】由 消去 化简整理得216ykxmy22348480kxm设 ， ，则1Axy， 2Bx， 1228xk 2284340kmk由 消去 化简整理得214yxy22310kxm设 ， ，则3Cx， 4Dx， 342k222 10kmk因为 ，所以 ，此时 0AB4231xx42310yy由 得 1234x8km所以 或 由上式解得 或 当 时，由和得 因0km2230km0k23m是整数，所以 的值为 ， ， ，
8、， ， ， 当 ，由和得 因 是整123kk数，所以 ， ， 于是满足条件的直线共有 9 条 1k612、 （2010 一试 10）已知抛物线 上的两个动点 ，其中 且 .线xy6212(,)(,)AxyB和 21x421段 的垂直平分线与 轴交于点 ，求 面积的最大值 . ABxCB【解析】解法一：设线段 的中点为 ，则 ，AB),(0yxM2,21010 yx.0121212 366yxykAB 线段 的垂直平分线的方程是 . （1）)2(30xy依题意， 是方程（3）的两个实根，且 ，所以 ,21,y 21y2220004(1)48yy.02121)()(yxAB 2120)(3(y4)
9、(9212120yC(5,0)BAxyO7)12(4)91(020yy.3定 点 到线段 的距离 . )0,5(CAB 202029)()5( yyCMh2020209)1)(9321yhSAB )(4(13202020. 320200)49(3y 74当且仅当 ，即 , 或2020563635(,57),(,7)AB时等号成立. 63563(,(7),(,7)AB所以， 面积的最大值为 . C14221212 )6565(1ttttSABC ,211)3t )5(4(32123)4(所以 , 当且仅当 且 ，即74ABC)1tt2t, 或,651t 652t 363(,57),(,57)AB
10、时等号成立.所以， 面积的最大值是 . 3(,(7),(,)3ABAC731413、 （2011 一试 11）作斜率为 的直线 与椭圆 ： 交于 两点（如图所示） ，且31lC14362yxB,在直线 的左上方)2,3(Pl8（1）证明： 的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若 ，求 的面积PAB 60APBPAB【解析】 （1）设直线 ： ， lmxy31),(),(21yxBA将 代入 中，化简整理得 462y 0369622mx上式中，分子 )23)(31()2)(31( 12 xmxxmx6)232211x )2(6(69m，022 m从而， 0PBAk又 在直线 的左上方，因此， 的
11、角平分线是平行于 轴的直线，所以 的内切圆的圆心在直l APByPAB线 上 23x（2）若 时，结合（1）的结论可知 60APB 3,PBPAk直线 的方程为： ，代入 中，消去 得)23(2xy 14362yxy018)31(6942 xx它的两根分别是 和 ，所以 ，即 所以1214)(8231x 14)3(21x7)(|3|)(| 12 xPAyxOPAB9同理可求得 7)13(2|PB1|sin6032()32(1)37.7749AS所 以14、 （2012一试11）如图5，在平面直角坐标系 中，菱形 的边长为 ，且 XOYABCD46OBD（）求证： 为定值；（）当点A在半圆 （
12、）上运动时，求点|OC 2()xyx的轨迹C(2)设 其中 则 .(,)2cos,in),CxyA(),2XMA2XOC因为 所以2 2)(8(1cos)6sO4cosA由(1)的结论得 所以 从而cs5,5.xOCin5ta,5.y故点 的轨迹是一条线段 ,其两个端点的坐标分别为 学科/网C(,),)AB15、 （ 2013 一试 11） （本题满分 20 分）在平面直角坐标系 中，椭圆的方程为 ，xOy210xyab分别为椭圆的左、右顶点， 分别为椭圆的左、右焦点， 为椭圆上不同于 和 的任意一点.若12A、 12F、 P1A210平面中两个点 满足 ， , , ，试确定线段 的长度与 的
13、大小QR、 1AP2QA1RFP2FQRb关系，并给出证明.【解析】令 ，则 ， ， ， .2cab1,0a2,1,0c2,设 ， ， ，其中 ， .0,Pxy1,Qxy2,Rxy0xyb0由 ， 可知1A2PA，1010xay 12Q 2根据 , ，同理可得 .1RFP2F20,xcRy因此 ，222000xacbQyy由于 ，故 （其中等号成立的充分必要条件是 ，即点 为 ）.0,bR0ybP0,b16、 （2014 一试 9） （本题满分 16 分）平面直角坐标系 中， 是不在 轴上一个动点，满足条件：过xOx可作抛物线 的两条切线，两切点连线 与 垂直.设直线 与 ， 轴的交点分别为 ，Pxy42PlPlORQ,（1）证明： 是一个顶点.R（2）求 的最小值.|Q【解析】( 1)设 P 点的坐标为(a,b) ,易知 ,记两切点 的坐标为 则(0)baAB， 12,),xy（ （的方程分别为AB， 11222()yxyx（ ） （ ）而点 P 的坐标为(a,b) 同时满足（1） （2） ，
