1、SFA 方法和因子分析法综述（姬晓鹏，管理科学与工程，1009209018）1.1 DEA 方法和 SFA 方法的区别1. 数据包络分析（DEA）数据包络分析(data envelopment analysis) 简称 DEA,采用线性规划技术，是最常用的一种非参数前沿效率分析法。它由 A.Charnes 和 W.W.Cooper1等人于1978 年创建的，以相对效率为基础对同一类型的部门的绩效进行评价。该方法将同一类型的部门或单位当作决策单元(DMU)，其评价依据的是所能观测到的决策单元的输入数据和输出数据。输入数据是指决策单元在某种活动中所消耗的某些量，如投入资金量、原料量等，输出数据是指
2、决策单元消耗这些量所获得的成果和产出，如产品产量、收入金额等。将各决策单元的输入输出数据组成生产可能集所形成的生产有效前沿面，通过衡量每个决策单元离此前沿面的远近，来判断该决策单元的投入产出的合理性，即技术效率 2。一般的评价方法比较同一类型的决策单元的效率，需要先对决策单元的输入输出指标进行比较，并通过加权得到一个综合评分，然后通过各个决策单元的评分来反映其效益优劣。数据包络分析法则巧妙地构造了目标函数，并通过CharnesCooper 变换（称为 变换）将分式规划问题转化为线性规划问题，2C无需统一指标的量纲，也无需给定或者计算投入产出的权值，而是通过最优化过程来确定权重，从而使对决策单元
3、的评价更为客观。对建筑设计企业进行评价的问题，很适于数据包络分析法的评价模型。DEA 方法也存在着一些缺点：首先，当决策单元总数与投入产出指标总数接近时，DEA 方法所得的技术效率与实际情况偏差较大；其次，DEA 方法对技术有效单元无法进行比较；此外，由于未考虑到系统中随机因素的影响，当样本中存在着特殊点时，DEA 方法的技术效率结果将受到很大影响。彭晓英等用因子分析法对指标进行筛选和综合，再采用 DEA 方法进行评价，解决了 DEA方法对指标数量限制的问题，并对煤炭资源型城市的生态经济发展进行了评价 3。SFA 与 DEA 方法都是前沿效率评价方法，它们都是通过构造生产前沿面来计算技术效率的
4、。与 DEA 方法相比，SFA 方法利用生产函数来构造生产前沿面，并采用技术无效率项的条件期望来作为技术效率，其结果受特殊点的影响较小且不会出现效率值相同且为 1 的情况，可靠性、可比性更好 4,5。SFA 方法也有一些缺点，如处理多产出的情况时不如 DEA 方法方便，需要将多产出合并成一个综合产出；而投入指标过多时，由于指标间的相关关系，也会对结果的可靠性产生影响。周春应等、侯强等分别采用了 SFA 方法对我国区域经济技术效率和辽宁省城市技术效率进行了评价 6,7。1.1.1 SFA 方法的产生在经济学中，技术效率的概念应用广泛。Koopmans 首先提出了技术效率的概念，他将技术有效定义为
5、：在一定的技术条件下，如果不减少其它产出就不可能增加任何产出，或者不增加其它投入就不可能减少任何投入，则称该投入产出为技术有效的 104。Farrell 首次提出了技术效率的前沿测定方法，并得到了理论界的广泛认同，成为了效率测度的基础 105。在实际应用中，前沿面是需要确定的。其确定方法主要两种：一种是通过计量模型对前沿生产函数的参数进行统计估计，并在此基础上，对技术效率进行测定，这种方法被称为效率评价的“统计方法”或“参数方法”；另一种是通过求解数学中的线性规划来确定生产前沿面，并进行技术效率的测定，这种方法被称为“数学规划方法”或“非参数方法”。参数方法的特点是通过确定前沿生产函数的参数来
6、确定生产前沿面，针对不同研究对象所确定的生产函数也各不相同，技术效率的测度具有一定的针对性，而非参数方法只需通过求解线性规划来确定生产前沿面，方法简单易行，应用广泛。参数方法依赖于生产函数的选择，常用的生产函数有 Cobb-Douglas 生产函数、Translog 生产函数等。参数方法的发展经历了两个阶段：确定型前沿模型和随机型前沿模型。Aigner 等、Afriat 分别提出了各自的确定型前沿模型，在不考虑随机因素影响的情况下求解前沿生产函数 106,107。但是，由于确定型前沿模型把所有可能产生影响的随机因素都作为技术无效率来进行测定，这使得其技术效率测定结果与实际的效率水平有一定的偏差
7、。为了消除确定型前沿模型的这一缺陷，Meeusen 和 Vanden Broeck，Aigner 、 Lovell 和 Schmidt 和 Battese和 Corra 提出了随机前沿模型 (即 SFA 方法)，对模型中的误差项进行了区分，提高了技术效率测定的精确性 108-110。1.1.2 SFA 方法简介Meeusen 和 Vanden Broeck，Aigner 、Lovell 和 Schmidt 和 Battese 和 Corra首次提出了随机前沿方法(Stochastic Frontier Approach，简称 SFA)，它是一种技术效率理论的参数方法。1SFA 模型文献108-
8、110中提出的 SFA 模型如下所示：， (4-1)(,)exp()iiiiYfvu1,.N其中， 表示产出， 表示投入， 为模型参数。在他们提出的模型中，i i将随机扰动 分为两部分：一部分用于表示统计误差，又被称为随机误差项，用 来表示；另一部分用于表示技术的无效率，又被称为非负误差项，用 来iv iu表示。当模型的生产函数选择 Cobb-Douglas 生产函数时，式(4-1)可写成下面的线性形式：， (4-2)0lnlnijijiYxvu1,.iN模型有如下假设：(1)随机误差项 ，主要是由不可控因素引起，如自然灾害、2(0,)ivvdN:天气因素等等。(2)非负误差项 ，取截断正态分
9、布(截去0 的部分)，且有 、2,i uu iu相互独立。iv(3) 、 与解释变量 相互独立。iivixBattese 和 Coelli 在前人研究的基础上进行了改进，引入了时间的概念，使SFA 模型可以对面板数据进行效率评价 15。具体模型如下：， ， (4-3)(,)exp()ititititYfvu1,.N,.tT在式(4-3)中， 是第 i 个决策单元的 t 时期产出， 是第 i 个决策单元的 tit itx时期的全部投入， 为模型参数， 为随机误差项， 为非itvep()ut负误差项， 为被估计的参数。图 4-1 SFA 模型的技术效率图 4-1 以 Cobb-Douglas 生产
10、函数为例，显示了 SFA 模型技术效率测度的优点。图中，由 Cobb-Douglas 生产函数确定的生产前沿面为：，而基于这个确定生产前沿面的随机前沿模型为：01lnlni iqx，也可以表示为： 。A 、Bivu01exp(ln)i iiqxvu两点分别表示随机影响为正或为负的情况：A 点表示随机影响为正，则随机误差项 为正数，生产前沿面上移到 ，样本的技术效率v*01l)AA为 ，B 点表示随机影响为负，则随机误差项01*exp(ln)AAxvqTE为负数，生产前沿面下移到 ，样本的技术效率为B *01ep(ln)Bqxv。01*(l)expnBuqxv2SFA 效率的计算对于式(4-1)
11、，我们可以将 SFA 技术效率定义如下：(4-exp()(,)exp(iii iYTEUfV4)所以，在 的分布已知的情况下，我们可以计算出技术效率的平均值iU，但是，通过该方法若想计算出各样本点的技术效率值却有些exp()TE困难。因为我们可以根据样本点的观测值得出模型中参数的估计值，并根据这些估计值求出残差 ，但是，我们无法计算出每个 和 的估计值。i iUiV为了能够计算出每个样本点的技术效率，文献16将技术效率定义为，该方法被称为 JLMS 技术，他们分别就半正态分布和指exp()i iTEU数分布推导了 的表达式，得出了技术效率值，解决了技术效率计算的()iEU问题。SFA 方法通过
12、极大似然法估计出各个参数值，然后用技术无效率项的条件期望作为技术效率值。与 DEA 方法相比，其结果一般不会有效率值相同并且为1 的情况，并且 SFA 方法充分利用了每个样本的信息并且计算结果稳定，受特殊点影响较小，具有可比性强、可靠性高的优点。1.2 因子分析法1.2.1 因子分析法简介因子分析是一种比较实用的多元统计方法，它是主成分分析法的推广。因子分析法的作用是将相关性较高、关系复杂的指标变量综合成数量较少、关系简单的综合指标( 在因子分析中被称为因子)，并展现各因子与初始变量之间的关系。换言之，因子分析就是一种应用于存在复杂的相关关系的指标体系中，研究或探寻不能直接观察到，但对所观测变
13、量起到支配或概括性作用的隐藏因子的多元统计分析方法 17。一个指标体系中的每个变量的形成都是有其原因的，各个变量之间的共同原因被称为公共因子，而每个变量又存在着产生其特性的原因，被称为特殊因子。因子分析就是根据样本的数据资料，将影响每一个原始变量的公共因子和特殊因子采用线性的方式来进行表达，以达到合理解释原始变量的相关性并降低维数的目的。在采用因子分析方法时，一般使公共因子尽可能少且概括性高，并且尽可能使其具有一定专业意义，公共因子共同作用于每个变量，而特殊因子只作用于特定的变量。1.2.2 因子分析的数学模型及计算方法1因子分析的数学模型假设有 p 个观测变量，可以用 mp 个公共因子和 1
14、 个特殊因子来进行表示，如下所示：(4-5)11212 212nqqqnXaFaF 式(4-5)中， 为观测变量， 为公共因子， 为特殊因子， 是因子系数iXjFiija(又称为因子载荷) ，而由因子载荷 构成的矩阵 A 被称为因子载荷矩阵。因子ija分析模型中，假设初始变量 、公共因子 和特殊因子 均为标准化变量(即i j i平均值为 0，方差为 1)，特殊因子 服从 ，并且与 之i20)1,.)iNq（ jF间不相关。因子载荷矩阵具有下面几个统计特征和意义：(1)因子载荷 的意义ija由于初始变量、公共因子和特殊因子均为标准化变量，且各因子互不相关，通过研究可以得出，因子载荷 实际上是变量
15、 与公共因子 的相关性度量。ijaiXjF且有 ，其绝对值越大，表明变量 与公共因子 越相关， 对 的影1iji jjiX响也就越大。(2)公共因子对变量 的解释程度iXik在因子分析模型中，变量 被公共因子所解释的方差是因子载荷矩阵第 ii行元素的平方和，记为：221(,.)niijkaq(4-6)而变量 的方差为：iX(4-7)221()().()ii iniDaFaD由于变量 与公共因子 均为标准化变量，则有iXj221nijiiiak(4-8)由式(4-8)我们可以看出，初始变量的方差分为两部分：一部分是由公共因子进行解释，一部分是由特殊因子进行解释。而 体现了全部公共因子对变量2ik
16、的解释程度， 越接近 1，说明变量 i 几乎全部的信息都被所选择的公共因iXik子所解释，因此， 被称为公共因子对变量 的解释程度。 为特殊因子ikiX2i的方差， 越小，表明变量 i 损失的信息越少。i2i(3)公共因子方差贡献的意义公共因子 的方差贡献是因子载荷矩阵中第 j 列元素的平方之和。记为：jF21qjijTa(4-9)它反映了公共因子 对初始指标体系中的全部变量的解释能力。该值越大，jF说明公共因子 j 的重要程度越高。2因子分析的计算(1)因子载荷矩阵的估计方法采用因子分析方法时，首先要根据样本数据来估计因子载荷矩阵 A，相应的估计方法有主成分分析、极大似然估计法、主轴因子法、
17、最小二乘法和广义最小二乘法等。目前，最为常用的是主成分分析，本章也采用主成分分析进行因子载荷矩阵估计。具体方法如下：首先假设主成分分析的数学模型为 ，12.TiiiiqiQuXuX。然后计算样本数据的协方差矩阵 S 和 S 的特征值，并对其按从大(1,2.)iq到小的顺序排序，即求出 及对应的单位正交特征向量120q。接下来，通过计算 求出模型的主成分。按照因子分析尽12,.qu Tii量减少变量个数的目的，公共因子个数一般应小于变量个数(即 nq)，由于最后剩下的(q-n)个特征值较小，通常可以忽略其对整体方差的贡献。因子载荷矩阵 A 的第 j 列为 ，所以，因子载荷矩阵 A 的样本估计量j
18、u为：(4-10)1,.qu在实际情况中，所选取的公共因子组合一般需要满足总贡献率达到 85%以上的条件，所选取得公共因子个数也由这一条件来决定。(2)因子旋转在一般情况下，通过对因子载荷矩阵估计所得到的初始因子载荷矩阵的公共因子与初始变量之间的关系不够明确，无法对公共因子的性质进行解释。为方便因子分析在实际问题中的应用，就需要对因子载荷矩阵进行旋转。旋转的方法主要分为正交旋转和斜交旋转，它们都有其各自的特点。正交旋转可以保持初始解中因子的相关关系，而斜交旋转能够根据隐藏因子之间的联系最大程度的反映现实状况，本章采用方差最大正交旋转法来进行因子旋转。方差最大正交旋转法是从初始因子载荷矩阵的每一
19、列出发，使和每个因子有关的载荷的方差最大，既使各个因子载荷值尽可能向 0 或 1 这两个极值转化。这样就可以较容易地说明某公共因子主要代表了哪些变量的信息，也就容易解释公共因子的意义。(3)因子得分因子分析应用到综合评价方面，就需要得到最终的得分，而因子分析是将变量表示为公共因子的线性组合，所以要将这些公共因子应用到综合评价方面，就需要我们对公共因子进行测度，即给出公共因子的值。为此，我们需要将公共因子反过来表示为变量的线性组合。但是，因为 阶因子载荷矩阵 A 是不nq可逆的，所以，公共因子不能准确地表示为变量的线性组合。因此，因子得分需要进行估计。假设公共因子由变量表示的线性组合如下：(4-
20、11)1jjjqFX (1,.)n我们将式(4-11)称为因子得分函数。 为因子的得分系数。ji在使用因子分析法进行综合评价时，有时还需要得出综合得分，这时，将各因子得分与其方差贡献比率的乘积求和，可以得到因子分析的综合评分，如式(4-12) 所示：(4-12)11,.nnj jTFF1.3 SFA 方法与因子分析的整合1.3.1 SFA 方法与因子分析整合的优点SFA 自身具有很多优点：SFA 方法将实际产出分为生产函数、随机因素和技术无效率，它考虑了随机因素对于产出的影响，而 DEA 方法则将实际产出小于前沿产出的原因全部归结为技术无效率，忽略了随机因素对产出的影响；SFA 方法利用生产函
21、数和随机扰动项构造出随机生产前沿，并通过极大似然法估计出各个参数的数值，然后将技术无效率项的条件期望作为技术效率值，其结果不会像 DEA 结果那样出现有多个决策单元的技术效率相同且为 1 的情况，便于对所有决策单元进行评价；SFA 方法采用的极大似然估计法充分利用了每个样本的信息并且“平等”对待每个样本，因此，与 DEA 方法相比，不易受到异常点的影响而使技术效率计算结果与实际情况偏差较大。但是，SFA 方法仍存在着一些不足：第一，当生产函数的投入指标间具有很复杂的相关性时，评价结果受指标选择的影响较大，容易与实际效率情况产生偏差；第二，因为生产函数的产出只有一个，所以，当遇到多产出的实际情况
22、时，SFA 方法使用起来不太方便。为了解决 SFA 方法在实际操作中所遇到的这两个问题，本章将因子分析与SFA 方法相结合，首先选出数量较多的备选指标，然后根据各指标的性质进行分类，采用因子分析的方法提取少量投入指标，并将多个产出指标综合成一个综合产出指数。这样既减少了指标间的相关性对评价结果的影响，还提高了SFA 方法的实用性。1.3.2 SFA 方法与因子分析整合的方法和 DEA 方法一样，SFA 方法要求投入产出数据均为正值，而采用因子分析方法进行因子得分所得到的数据会有一部分为负值，所以，由因子分析法所得到的数据需要进行一定的处理再进行 SFA 分析。本文采用运用较多的 DEA方法与因
23、子分析法整合的方法对因子分析所得到的数据进行处理，然后采用SFA 方法进行效率评价，并将所得结果与 DEA 方法得到的结果进行相关性分析，以验证这种数据处理方法也可以应用在 SFA 和因子分析法的整合上。具体计算方法如下：， 0.10.9ijijXba1ijX(4-13)式(4-13)中， 为第 j 个指标的最大值， 为第 j 个指标的最小值， 是jajbijX初始数据， 是通过变换所得到的数据。这种变换可以将所有的数据变换为ijX0.1，1区间上的数据，并不影响评价结果 79。参考文献1 Charnes, A., Cooper, W.W., Rhodes, E. Measuring the
24、efficiency of decision making unitsJ. European Journal of Operational Research, 1978, 2(6): 429-444.2 魏权龄. 数据包络分析M. 北京. 科学出版社, 2004.3彭晓英，张庆华，煤炭资源型城市可持续发展的综合评价方法研究，数学的实践与认识，2009,39(17):22274李双杰，范超，随机前沿分析与数据包络分析方法的评析与比较，统计与决策，2009,(7):25285杜忠晓，王洪礼，李怀宇，勘查设计企业效率的随机前沿面评价，中国科技信息，2009,26(6):13156周春应，章仁俊，基于
25、 SFA 模型的我国区域经济技术效率的实证研究，科技进步与对策，2008,25(4):21247侯强，王晓莉，叶丽绮，基于 SFA 的辽宁省城市技术效率差异分析，沈阳工业大学学报( 社会科学版)，2008,1(3):2302348Coelli T J,Rao D S P, Battese G E. An introduction to efficiency and productivity analysis, Boston: Kluwer Academic Publishers, 1998, 1832199Farrell R, Grosskopf S, Lovell, C A K . The
26、measurement of efficiency of production, Boston: Kluwer-Nijhoff Publish, 1985:214910Aigner D J, Chu S F. On Estimating the Industry Production Function, The American Economic Review, 1968,58(4):82683911Afriat S N. Efficiency Estimation of Production Functions, International Economic Review, 1972,13(
27、3):56859812Meeusen W J, Broeck V D. Efficiency Estimation from Cobb-Douglas Production Functions with Composed Error, International Economic Review, 1977,18(2): 43544413Aigner D, Lovell C, Schmidt P. Formulation and Estimation of Stochastic Frontier Production Function Models, Journal of Econometrics, 1977, 6(1): 213714Battese G E, Corra G S. Estimation of a Production Frontier Model: With Application to the Pastoral Zone of Eastern Australia, Australia Journal of Agricultural Economics, 1977,21(3):169179
