1、2009 年高考数学试题分类汇编概率1、(湖北卷理) 3、投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为 m 和 n,则复数（m+ni）(n-mi)为实数的概率为A、 B、314C、 D、1623 【答案】C2、 （江苏卷）5.现有 5 根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取 2 根竹竿，则它们的长度恰好相差 0.3m 的概率为 . 【解析】 考查等可能事件的概率知识。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 所求概率为 0.2。3、 （安徽卷理） （10）考察正方体 6 个面的中心，甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线，乙也从这 6 个点中任意选
2、两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于高.考.资.源.网（A） （B） （C） （D）175275375475解析 如图，甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6 个点中任意选两个点连成直线，共有 2612种不同取法，其中所得的两条直线相互平行但不重合有w.w.w.k.s.5.u.c.o.m /,/,/,ACDBAEF/,/,/BCEFD共 12 对，所以所求概率为 ，选 D12457p4、 （福建卷）8.已知某运动员每次投篮命中的概率都为 40%。现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出 0 到 9 之间取整数值的随机数，指定
3、1，2，3，4 表示命中，5，6， ，7，8，9，0 表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果。经随机模拟产生了 20 组随机数：ABC DEF907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为A0.35 B 0.25 C 0.20 D 0.158 【答案】：B5、 （ 广 东 卷 ） 12已知离散型随机变量 的分布列如右表若X， ，则 ， 0EX1Dab【解析】由题知 ， ，2cb061c，解得 ， .1122a2546、(湖南
4、卷) 13、一个总体分为 A，B 两层，其个体数之比为 4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为 10 的样本，已知 B 层中甲、乙都被抽到的概率为 ，则总体中28的个数数位 。【答案】：407、 （上海）7某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 2 人作为上海世博会志愿者，若用随机变量 表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望_（结果用最简分数表示）.E8、 （重庆卷）6锅中煮有芝麻馅汤圆 6 个，花生馅汤圆 5 个，豆沙馅汤圆 4个，这三种汤圆的外部特征完全相同。从中任意舀取 4 个汤圆，则每种汤圆都至少取到 1个的概率为（ C ）A B C D w.w.w.k.s.5.u.c.o
5、.m 891254891609、 （重庆卷）17 （本小题满分 13 分， （）问 7 分， （）问 6 分）某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各 2 株设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为 和 ，且各株大树是否成活互不影响求移栽的 4 株大树中：231（）两种大树各成活 1 株的概率；（）成活的株数 的分布列与期望w.w.(17)（本小题 13 分）解：设 表示甲种大树成活 k 株，k0，1，2kA表示乙种大树成活 l 株， l0，1，2lB则 ， 独立. 由独立重复试验中事件发生的概率公式有kl, .22()()3kPAC221()()llllPBC据此算得, , .01()914()9
6、2()A, , .4B1() 所求概率为.21142)()9PAPB() 解法一：的所有可能值为 0，1，2，3，4，且,001()()()9436A,0112PBP2 014()()()()92B= ,36.12214()()()93PABP.241(4)()9PAB综上知 有分布列0 1 2 3 4P 1/36 1/6 13/36 1/3 1/9从而， 的期望为11310243669E（株）7解法二：分布列的求法同上令 分别表示甲乙两种树成活的株数，则12， 2:1B(,)， (,)3故有 1E4=，从而知 12710、（四川卷）18. （本小题满分 12 分）为振兴旅游业，四川省 200
7、9 年面向国内发行总量为 2000 万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡） ，向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡） 。某旅游公司组织了一个有 36 名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中 是省外游客，其余是省内游客。34在省外游客中有 持金卡，在省内游客中有 持银卡。132（I）在该团中随机采访 3 名游客，求恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人的概率；（II）在该团的省内游客中随机采访 3 名游客，设其中持银卡人数为随机变量 ，求 的分布列及数学期望 。E（18）本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概率计算，考察运用概率只是解决实际问题的能力
8、。解：（）由题意得，省外游客有 27 人，其中 9 人持金卡；省内游客有 9 人，其中6 人持银卡。设事件 为“采访该团 3 人中，恰有 1 人持金卡且持银卡者B少于 2 人” ，事件 为“采访该团 3 人中，1 人持金卡，0 人持银卡” ，1A事件 为“采访该团 3 人中，1 人持金卡，1 人持银卡” 。2A12()()PB21996336C74085所以在该团中随机采访 3 人，恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人的概率是 。36856 分（） 的可能取值为 0，1，2，3, 39()84CP12639()4CP， ，216395()3695()21所以 的分布列为0 1 2 3P18
9、43415821所以 ， 12 分 02E11、 （天津卷） （18） （本小题满分 12 分）在 10 件产品中，有 3 件一等品，4 件二等品，3 件三等品。从这 10 件产品中任取 3 件，求：（I） 取出的 3 件产品中一等品件数 X 的分布列和数学期望； w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （II） 取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 本小题主要考查古典概型及计算公式、离散型随机变量的分布列和数学期望、互斥事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力。满分 12 分。（）解：由于从 10 件产品中任取 3 件的结果为
10、 ，从 10 件产品中任取 3 件，其中恰有Ck3k 件一等品的结果数为 ，那么从 10 件产品中任取 3 件，其中恰有 k 件一等品的Ck37概率为 P(X=k)= ,k=0,1,2,3.k3107所以随机变量 X 的分布列是X 0 1 2 3P 247402407120X 的数学期望 EX= 931（）解：设“取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件 A， “恰好取出 1 件一等品和 2 件三等品”为事件 A1“恰好取出 2 件一等品“为事件 A2， ”恰好取出 3件一等品”为事件 A3 由于事件 A1，A 2，A 3 彼此互斥，且 A=A1A 2A 3 而P(A2)=P(X=
11、2)= ,P(A3)=P(X=3)= ,40)(31CAP407120所以取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= + + =407120312、(浙江卷) 19 （本题满分 14 分）在 这 个自然数中，任取 个1,2,9 3数（I）求这 个数中恰有 个是偶数的概率；31（II）设 为这 个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为 ，则有两组相邻的 1,23数和 ，此时 的值是 ） 求随机变量 的分布列及其数学期望 1,232E解析：（I）记“这 3 个数恰有一个是偶数”为事件 A，则 ；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 1245
12、390()CP（II）随机变量 的取值为 的分布列为0,10 1 2P 5221所以 的数学期望为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 013E13、 （辽宁卷） （19） （本小题满分 12 分）某人向一目射击 4 次，每次击中目标的概率为。该目标分为 3 个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为 1：3：6。击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比。（）设 X 表示目标被击中的次数，求 X 的分布列；（）若目标被击中 2 次，A 表示事件“第一部分至少被击中 1 次或第二部分被击中 2 次” ，求 P（ A） w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （19）解：（）依题意 X 的
13、分列为13 200904236 分（）设 A1 表示事件“第一次击中目标时，击中第 i 部分” ，i=1，2.B1 表示事件“第二次击中目标时，击中第 i 部分 ”，i=1，2.依题意知 P（A 1）=P(B 1)=0.1，P（A 2）=P(B 2)=0.3，,B所求的概率为 1112()()()PAPAPAB（ ）12)()B（12 分0.9.0.0.3.814、 （全国 1）19 （本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为 0.6，乙获胜的概率为 0.4，各局比赛结果相互独立
14、，已知前 2 局中，甲、乙各胜 1 局。（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；（II）设 表示从第 3 局开始到比赛结束所进行的局数，求 得分布列及数学期望。 分析：本题较常规，比 08 年的概率统计题要容易。需提醒的是：认真审题是前提，部分考生由于考虑了前两局的概率而导致失分，这是很可惜的，主要原因在于没读懂题。另外，还要注意表述，这也是考生较薄弱的环节。15、(山东卷) (19)(本小题满分 12 分)在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投 3 次；在 A 处每投进一球得 3 分，在 B 处每投进一球得 2 分；如果前两次得分之和超过 3 分即停止投篮，否则投第三次，某同学在 A
15、处的命中率 q 为 0.25，在 B 处的命中率为 q ，该同学选择先在 A 处投1 2一球，以后都在 B 处投，用 表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为0 2 3 4 5 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m p 0.03 P1 P2 P3 P4 （1） 求 q 的值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2（2） 求随机变量 的数学期望 E ;（3） 试比较该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分与选择上述方式投篮得分超过 3 分的概率的大小。解:（1）设该同学在 A 处投中为事件 A,在 B 处投中为事件 B,则事件 A,B 相互独立,且 P(A)=0.25, , P(B
16、)= q , .()0.75P22()1Pq根据分布列知: =0 时 =0.03,所以 ， 2()0.75(1)q210.qq =0.8.2（2）当 =2 时, P 1= w.w.w.k.s.5.u.c.o.m )()()( BAPBA=0.75 q ( )2=1.5 q ( )=0.24)(A2121当 =3 时, P 2 = =0.01, 2()()0.5)P当 =4 时, P 3= =0.48,2)7BAB当 =5 时, P 4= ()()A=0.2422)0.51)0.5Pqq所以随机变量 的分布列为0 2 3 4 5 p 0.03 0.24 0.01 0.48 0.24 随机变量 的
17、数学期望 0.32.40.1.4850.23.6E（3）该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率为 ()PB;()()(PBP2(1).96q该同学选择（1）中方式投篮得分超过 3 分的概率为 0.48+0.24=0.72.由此看来该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率大.【命题立意】:本题主要考查了互斥事件的概率 ,相互独立事件的概率和数学期望,以及运用概率知识解决问题的能力.16、 （全国卷 2）20（本小题满分 12 分）某车间甲组有 10 名工人，其中有 4 名女工人；乙组有 5 名工人，其中有 3 名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两
18、组中共抽取 3 名工人进行技术考核。（I）求从甲、乙两组各抽取的人数； （II）求从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率；（III）记 表示抽取的 3 名工人中男工人数，求 的分布列及数学期望。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 分析：（I）这一问较简单，关键是把握题意，理解分层抽样的原理即可。另外要注意此分层抽样与性别无关。（II）在第一问的基础上，这一问处理起来也并不困难。从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率1462085CP（III） 的可能取值为 0，1 ，2，3， ，2341056()7CP1214634205058()7PC，26105() 31()()()()75P
19、分布列及期望略。评析：本题较常规，比 08 年的概率统计题要容易。在计算 时，采用分类的方法，(2)用直接法也可，但较繁琐，考生应增强灵活变通的能力。（江西卷）18 （本小题满分 12 分）某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是 .若某人获得两个“支持” ，12则给予 10 万元的创业资助；若只获得一个“支持” ，则给予 5 万元的资助；若未获得“支持” ，则不予资助，令 表示该公司的资助总额(1) 写出 的分布列； (2) 求数学期望 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m E解：（1） 的所有取值为
20、0,51,2,30()64P()P15()64P5()16P232（2） . 315350050562E17、(湖南卷) 17.（本小题满分 12 分）为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的. 、 、 ，现在 3 名工人独立地1236从中任选一个项目参与建设。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；（II）记 为 3 人中选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程的人数，求的分布列及数学期望。解:记第 1 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件 , , ，i=1，2，3.由题意知 相互独立， 相互独立， 相互独立，ABC1A231B231C23, , （i， j，k=1 ，2，3，且 i，j ，k 互不相同）相互独立，且 P（ ）=，P（ ）=1 A1B，P（ ）=316（1） 他们选择的项目所属类别互不相同的概率P=3！P （ ）=6P（ ）P（ ）P （ ）=6 =1A2B3C1A2B3C126(2) 解法 1 设 3 名工人中选择的项目属于民生工程的人数为 ，由己已知， -B（3， ） ，1
