高等数学极限习题500道.doc

1、 求 证 ： 存 在 ，且，时 ， 设当 00 0limli li)()(1110xx xo答 （ ） 是 等 价 无 穷 小 ， 则与时 ，若 当 2323 1cos)(1)()2 DCBA axa（ ） 答 阶 的 是时 ， 下 述 无 穷 小 中 最 高当 xxBxAsin1cos1022 之 值 求 )ln()l(imn求 极 限 )2si()(limnn 求 极 限 )1ln()2(limn _si1li3202的 值xex及求 证 ： ，设 有 数 列 nnnn naay ablim)(lilim2 1 1221及， 求记 ： ， ，设 nnnn nxyxybx lili1)0(

2、1221求 极 限 之 值 lim()cossix02设 ， ； 且试 证 明 ： li()lim()li()x xxvxBuAv0 00 答 （ ） 2ln01)ln(im2(1 DCBAxx答 （ ） 21)2(lisin0eCBAxx的 结 果 之 值 ， 并 讨 论及求 ：设 1)(lim)(lim1)(li .sn002 xufxuuffxx_69lim23的 值 等 于xx 不 存 在 DCBAexxx 12314li答 ： （ ） lim().xxABCD611233585 不 存 在答 ： （ ） _)6(li15200xx_lim0的 值 等 于xxe 求 极 限 123li

3、m1xx 求 之 值 lim()x034已 知 ： ，问 ？ 为 什 么 ？lili()()xxuuvAv00 0关 于 极 限 结 论 是 ： 不 存 在 答 （ ）limxxeABCD01534答 （ ） ， 则 极 限 式 成 立 的 是，设 )(lim.)(li.0)(. )(limli0000xgxxxxfDCfBgfAg是 不 是 无 穷 大 量 时 ， 问 当 )(cos)( xfxexf 答 （ ） 不 存 在 2.0.1artntlimDCBAx答 （ ） 2.1.0.)arctn(lim2DCBAxx答 （ ） 不 存 在 .2.2.3li DCBAx_)0()(1fexf

4、x， 则设答 （ ） 不 存 在 2.0.cotarlimDCBAxlicosn.xaaABC0123， 则 其 中 答 （ ）_cos13lim20的 值 等 于xexlim(cos).xxABCD02120 不 存 在 答 ： （ ） 设 ， 其 中 、 为 常 数 问 ： 、 各 取 何 值 时 ， ； 、 各 取 何 值 时 ， ； 、 各 取 何 值 时 ， fxpqxpqfxpqfx()lim()()li()2551103求 极 限 lim()()xnnx221 求 极 限 lim()x323 之 值 、试 确 定已 知 CBAxcx 0)()1(3li 2241 之 值 ，试 确

5、 定 常 数 ， 满 足已 知 dcba xfxfxxf 0)(lim21)(li2)(3 之 值 ， 试 确 定已 知 baxx 4313)(lim1为 什 么 ？ 上 述 说 法 是 否 正 确 ？， 则 若 )(li0)(li00 xx当 时 ， 是 无 穷 大 ， 且 ，证 明 ： 当 时 ， 也 为 无 穷 大 f gxAxfx0 0()lim()()用 无 穷 大 定 义 证 明 ： 12lix用 无 穷 大 定 义 证 明 ： xlnim0 xtanli02用 无 穷 大 定 义 证 明 ：用 无 穷 大 定 义 证 明 ： 1li01x 当 时 ， 是 无 穷 小 是 的 ：充

6、 分 但 非 必 要 条 件必 要 但 非 充 分 条 件充 分 必 要 条 件既 非 充 分 条 件 ， 亦 非 必 要 条 件 答 （ ）fAfxABCDx0()lim()()(若 ， ， 但 证 明 ： 的 充 分 必 要 条 件 是 lim()li()()li()()xxxxfggxbfg0000 0其 中，：用 数 列 极 限 的 定 义 证 明 )10(limaan ：用 数 列 极 限 的 定 义 证 明 )10(lim1aan ：用 数 列 极 限 的 定 义 证 明 25)li2n_)ln(cosii20的 值 等 于xx 之 值 求 极 限 3sin01)(colimxx

7、设 ， 试 证 明 ：对 任 意 给 定 的 ， 必 存 在 正 数 ， 使 得 对 适含 不 等 式 ； 的 一 切、 ， 都 有 成 立 。li()()xfAxxxff0 010201221， 试 用 极 限 定 义 证 明 ：已 知 ： AxfAf x )(lim)(lim00是 否 也 必 发 散 ？同 发 散 ， 试 问 数 列与若 数 列 nn yyx求 的 表 达 式fxxn()lim21 设 其 中 、 为 常 数 ， ，求 的 表 达 式 ；确 定 ， 之 值 ， 使 ， fxxabxabffxffxfnnx()limsicos()()li()lim() 21211012求

8、极 限应 用 等 阶 无 穷 小 性 质 ， xarctnarctn(li0求 极 限 limxx02153 求 极 限 lim()()x0121346求 极 限 为 自 然 数 li()()xna01求 极 限 li()xx3135设 当 时 ， 与 是 等 价 无 穷 小 ，且 ， ，证 明 ： fxafxgAgxxx00 001()lim()li()()设 当 时 ， ， 是 无 穷 小且证 明 ： xxexx0()()()()若 当 时 ， 与 是 等 价 无 穷 小 ，是 比 高 阶 的 无 穷 小 则 当 时 ， 与 是否 也 是 等 价 无 穷 小 ？ 为 什 么 ？xxx010

9、1()() ()设 当 时 ， 、 是 无 穷 小 ，且证 明 ： 与 是 等 价 无 穷 小 xxx011()().lnln()()设 当 时 ， 是 比 高 阶 的 无 穷 小 证 明 ： 当 时 ， 与 是 等 价 无 穷 小 fgxx0()()吗 ？ 为 什 么 ？ 也 是 等 价 无 穷 小与无 穷 小 。 试 判 定 ： 等 价是 同 阶 无 穷 小 ， 但 不 是与 是 等 价 无 穷 小 ，与时 ，若 )()()(110xxlimsn()()xABCD10 不 存 在 但 不 是 无 穷 大 答 （ ）lisn()()()()xABC10之 值 不 存 在 但 不 是 无 穷

10、大 答 （ ）已 知 其 中 、 、 、 是 非 常 数则 它 们 之 间 的 关 系 为 答 （ ）limtan(cos)()( )()()()x xxDeABCDABC01210222)1()(1)(lim1 242nxxxn 计 算 极 限设设 及 存 在 ， 试 证 明 ： limlinnxaa011 求 li(scosxx22计 算 极 限 li ()xaa32 计 算 极 限 lixx232 计 算 极 限 lin()xxe021)coss(coli20 nnxx计 算 极 限 ， 试 证 明及满 足设 有 数 列 0lim)1 lim1 nn araa， 试 按 极 限 定 义

11、证 明 ：，且满 足设 有 数 列 0( li0nn0limna语 言 证 明， 试 用 设 AxfAxf x )(lim“)0()lim00 试 问 ： 当 时 ， ， 是 不 是 无 穷 小 ？x12sin的 某 去 心 邻 域 ， 使 得试 证 明 ： 必 存 在， 且，设 0,)(li)(li00 xBAgfxx 在 该 邻 域 为 设 ， 试 研 究 极 限fxfx()sinlim()110计 算 极 限 liln()arcsxx23214 答 （ ） 大无 界 变 量 ， 但 不 是 无 穷 小有 界 变 量 ， 但 不 是 无 穷无 穷 小 量无 穷 大 量 是时 ，则 当 ，设

12、 数 列 的 通 项 为)()( )(2DCBAxnnn以 下 极 限 式 正 确 的 是 答 （ ）()lim)()lim)AxeBxeCDx x00110设 ， ， ， ， 求 xxnxn n11062()liabAaDbCBAa Axfxbexfax可 取 任 意 实 数 且可 取 任 意 实 数 ， 可 取 任 意 实 数 ， 可 取 任 意 实 数 ， 之 间 的 关 系 为，则 ， 且， 当， 当设 )( 1)( )(lim0)( 0答 ： ( ) aAbaDbaCBAba Axfxadxf ln)()( )(lim0 )1ln()( 0仅 取可 取 任 意 实 数 ， 而，可 取

13、 任 意 实 数 且可 取 任 意 实 数 ， 可 取 任 意 实 数 ， 之 间 的 关 系 为，则 ， 且当 ， ， 当设 答 ： （ ） 答 （ ） 可 取 任 意 实 数可 取 任 意 实 数可 取 任 意 实 数， 可 取 任 意 实 数， 间 正 确 的 关 系 是，则 ， 且当， ， 当设 2)()( 2)(lim0 cos1)( 02aAbaDCBaAbaAxfxaxf 设 有 ， ， 且 在 的 某 去 心 邻 域内 复 合 函 数 有 意 义 。 试 判 定 是 否成 立 。 若 判 定 成 立 请 给 出 证 明 ； 若 判 定 不 成 立 ， 请 举 出例 子 ， 并

14、指 明 应 如 何 加 强 已 知 条 件 可 使 极 限 式 成 立 。lim()li()lim()xuaxff fA0 0设 ， 当， 当 适 合则 以 下 结 果 正 确 的 是仅 当 ， ，仅 当 ， ， 可 取 任 意 实 数， ， 可 取 任 意 实 数， ， 都 可 能 取 任 意 实 数 答 （ ）fxxbafxAAbABCaDa() lim()()() 2 11434设 当 当 且 ， 则， 可 取 任 意 实 数， 可 取 任 意 实 数 答 （ ）fxbxafxABbCDa() lim()()103360值 。， 试 求时， 且 当，设 axxexxx )(0)(1)()

15、 cos32 求 limxxe234 ， 则设 _8limaax_)31(limsin20x 当 时 ， 在 下 列 无 穷 小 中 与 不 等 价 的 是 答 （ ）AxBxCDe0121222()cos()ln当 时 ， 下 列 无 穷 小 量 中 ， 最 高 阶 的 无 穷 小 是 答 （ ）xAxBxCDex01122()ln)(tasi计 算 极 限 limcosxex0212_4sin35li2x 1li21nx计 算 极 限131)()(lim nxxx计 算 极 限 计 算 极 限 xx)(cosli 0讨 论 极 限 的 存 在 性 。liarctnx1 的 存 在 性 。研

16、 究 极 限 xxcotarlim0 研 究 极 限 limx231） 答 （ 穷 大 的 是时 ， 下 列 变 量 中 ， 为 无当 xDxCxBA1cotar)(arctn)(lsin)(0_1lnim1x。 时 ， 恒 有， 使 当存 在 一 正 整 数， 试 判 定 下 述 结 论， 且设 Nnaann “0lim0是 否 成 立 ？“1若 试 讨 论 是 否 存 在 ？lilinnA 存 在 的极 限， 试 判 定 能 否 由 此 得 出满 足设 有 数 列 nn aaa lim0)( 1结 论 。0li01 nnnn ar， 试 证 明，；满 足设 有 数 列是 否 必 存 在 ？

17、存 在 ， 则存 在 ，设 )(lim)(li)(lim000 xfxgxgfx ， 则 是 否 必 有，若 0)(li)(lili 000 gAff xxx答 （ ） 小 量 的 是时 ， 下 列 变 量 中 为 无 穷当 1)(ln)(1si22xDCBxA是 常 数 ） ， 试 证 明，时 ，设 0)(lim()( 00 xfgAxgfx x若 ， 且 在 的 某 去 心 邻 域 内 ， ，则 必 等 于 ， 为 什 么 ？lim() ()li()x xgxgfgAf0 000若 ， 不 存 在 ， 则是 否 必 不 存 在 ？ 若 肯 定 不 存 在 ， 请 予 证 明 ， 若 不 能肯 定 ， 请 举 例 说 明 ， 并 指 出 为 何 加 强 假 设 条 件 ， 使可 肯 定 的 极 限 时 必 不 存 在 。li()li()lim()()()xx xfAgfgxf00 00lim()()nneeABCD1212 答 （ ）_)1(121(li nn