1、第 1 页 共 11 页圆一、点与圆的位置关系1、点在圆内 点 在圆内；drC2、点在圆上 点 在圆上；B3、点在圆外 点 在圆外；A二、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 无交点；dr2、直线与圆相切 有一个交点；3、直线与圆相交 有两个交点；三、圆与圆的位置关系外离(图 1) 无交点 ；dRr外切(图 2) 有一个交点 ；相交(图 3) 有两个交点 ；内切(图 4) 有一个交点 ；dr内含(图 5) 无交点 ；RrABCdOddr d=rr d图 1dR r图 2dR r图 3dR r图 4dRr图 5dRr第 2 页 共 11 页四、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧
2、。推论 1：(1)平分弦(不是直径 )的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理共 5 个结论，只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论，即： 是直径 弧 弧 弧 弧ABCDEBCDACD中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在 中， 弧 弧OA五、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称 1 推 3 定理，即上述四个
3、结论中，只要知道其中的 1个相等，则可以推出其它的 3 个结论，即： ； ； ； 弧 弧AOBDEABOCFBAD中任意 1 个条件推出其他 3 个结论。六、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即： 和 是弧 所对的圆心角和圆周角AOBCAB 22、圆周角定理的推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在 中， 、 都是所对的圆周角OCD 推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在 中， 是直径 或OAB90C 是直径90CAB推论 3：若三角形一边上的中线等于这边
4、的一半，那么这个三角形是直角三角形。BDOEACA BDOC AB C ODFEABC OABC OC DABC OAB O第 3 页 共 11 页即：在 中，ABCOAB 是直角三角形或 90C注：此推论实际上是定理“在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”的逆定理。七、切线的性质与判定定理(1)切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即： 且 过半径 外端MNOAA 是 的切线(2)性质定理：切线垂直于过切点的半径( 如图)推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推
5、一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。八、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即： 、 是的两条切线PAB ， 平分PABO九、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图： 垂直平分 。12即： 、 相交于 、 两点OAB 垂直平分12十、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：(1)公切线长： 中， ；12RtOC221ABOC(2)外公切线长： 是半径之差； 内公切线长： 是半径之和 。2十一、圆内正多边形的计算A NMOBAOPABO1 O2AC O
6、2O1BAC DOB第 4 页 共 11 页(1)正三角形 在 中 是正三角形，OABC有关计算在 中进行： ；RtD:1:32OB(2)正四边形同理，四边形的有关计算在 中进行，tAE：:1:2OEA(3)正六边形同理，六边形的有关计算在 中进行，RtOB.:1:32B十二、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：(1)弧长公式： ；180nRl(2)扇形面积公式： 2136Sl：圆心角 ：扇形所对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积nRS2、圆柱： (1)圆柱侧面展开图=2S侧表 底 2rh(2)圆柱的体积： V(2)圆锥侧面展开图(1) =S侧表 底 2Rr(2)圆锥的体积： 13Vh【
7、应用】AC DEOBA BOBlSAOAC C1 底面圆周长母线长 D1BDA B C OB1r 第 5 页 共 11 页1如图，将边长为 的正六边形 A1 A2 A3 A4 A5 A6 在直线 上由图 1 的位置按顺时针方向向右作无al滑动滚动，当 A1 第一次滚动到图 2 位置时，顶点 A1 所经过的路径的长为 ( )A. B 42383aC D a4262. 如图，AC 是O 的直径，弦 BD 交 AC 于点 E（1）求证：ADEBCE；（2）如果 AD2=AEAC，求证： CD=CB3. 如图，已知点 E 在直角ABC 的斜边 AB 上，以 AE 为直径的O 与直角边 BC 相切于点
8、D（1）求证：AD 平分BAC；（2）若 BE=2， BD=4，求O 的半径4. 如图，在ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的O 交 AC 于点 E，交 BC 于点 D，连结BE、AD 交于点 P. 求证：第 6 页 共 11 页（1）D 是 BC 的中点；（2）BEC ADC；（3）AB CE=2DPAD5如图，在锐角ABC 中，AC 是最短边；以 AC 中点 O 为圆心， AC 长为半径作O ，交 BC12于 E，过 O 作 ODBC 交O 于 D，连结 AE、AD、DC(1)求证：D 是 的中点；A(2)求证：DAO = B +BAD；(3)若 ，且 AC=4，求 CF 的长12C
9、EFODS6. 已知，AB 是O 的直径，点 P 在弧 AB 上（不含点 A、B） ，把AOP 沿 OP 对折，点 A 的对应点 C 恰好落在O 上（1）当 P、C 都在 AB 上方时（如图 1） ，判断 PO 与 BC 的位置关系（只回答结果） ；第 7 页 共 11 页A BCDEFPO（2）当 P 在 AB 上方而 C 在 AB 下方时（如图 2） ， （1）中结论还成立吗? 证明你的结论；（3）当 P、C 都在 AB 上方时（如图 3） ，过 C 点作 CD直线 AP 于 D，且 CD 是O 的切线，证明：AB=4PD7己知：如图，ABC 内接于O，AB 为直径，CBA 的平分线交 A
10、C 干点 F，交O 于点D，DF AB 于点 E，且交 AC 于点 P，连结 AD。(1)求证：DAC=DBA；(2)求证：P 处线段 AF 的中点；第 8 页 共 11 页ABDEOFC(3)若O 的半径为 5，AF= ，求 tanABF 的值。128、如 图 ， O 是 Rt ABC 的 外 接 圆 ， AB 为 直 径 ， ABC=30， CD 是 O 的 切 线 ， ED AB 于 F，(1)判断DCE 的形状；(2) 设O 的半径为 1，且 OF= ，求证DCEOCB 219、如图，AB 是O 的切线，切点为 A，OB 交O 于 C 且 C 为 OB 中点，过 C 点的弦 CD 使A
11、CD45， 的长为 ，求弦 AD、AC 的长AD2第 9 页 共 11 页PEDK HGCABFO10、如图 14，直线 经过 上的点 ，并且 ， ， 交直线 于ABOCAOBCOAB，连接 ED， C，（1）求证：直线 是 的切线；（2）试猜想 三者之间的等量关系，并加以证明；BE， ，（3）若 ， 的半径为 3，求 的长1tan2OAA11、O 的半径 OD 经过弦 AB(不是直径)的中点 C，过 AB 的延长线上一点 P 作O 的切线 PE，E为切点，PEOD；延长直径 AG 交 PE 于点 H；直线 DG 交 OE 于点 F，交 PE 于点 K（1）求证：四边形 OCPE 是矩形；（2）求证：HKHG； 第 10 页 共 11 页E ADGBFCOM（3）若 EF2，FO 1，求 KE 的长12、如图， ABC 内接于 O， 60BAC，点 D是 ABC的中点 AB， 边上的高EF，相交于点 H试证明：（1） ；（2） 四边形 D是菱形13、如图，在 ABC 中 90， D是 AB的中点，以 DC为直径的 OA交 C 的三边，交点分别是 GFE， ， 点 ， 的交点为 M，且 46E， :2:5（1）求证：
