1、第 1 页（共 20 页）三角函数及解三角形练习题一解答题（共 16 小题）1在ABC 中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1 ，求 C 的大小2已知 3sintan=8，且 0（）求 cos；（）求函数 f（x）=6cosxcos（x）在0， 上的值域3已知 是函数 f（x） =2cos2x+asin2x+1 的一个零点（）求实数 a 的值；（）求 f（x）的单调递增区间4已知函数 f（x）= sin（2x+ ）+sin 2x（1）求函数 f（x）的最小正周期；（2）若函数 g（x）对任意 xR，有 g（x）=f （x+ ） ，求函数 g（x）在 ，上的值域5已知函数 f
2、（x）=2sinxcosx+cos2x（0）的最小正周期为 （1）求 的值；（2）求 f（x）的单调递增区间6已知函数 f（x）= sin（x +） （0， ）的图象关于直线 x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为 （）求 和 的值；（）若 f（ ）= （ ） ，求 cos（+ ）的值7已知向量 =（cosx，sinx） ， =（3， ） ，x0，（1）若 ，求 x 的值；（2）记 f（x）= ，求 f（x ）的最大值和最小值以及对应的 x 的值8已知函数 的部分图象如图所示（1）求函数 f（x）的解析式；第 2 页（共 20 页）（2）在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别是 a，b，
3、c，若（2ac）cosB=bcosC，求 的取值范围9函数 f（x）=2sin（x+ ） （0，0 ）的部分图象如图所示，M 为最高点，该图象与 y 轴交于点 F（0， ） ，与 x 轴交于点 B，C ，且MBC 的面积为 （）求函数 f（x）的解析式；（）若 f（ ）= ，求 cos2的值10已知函数 （）求 f（x）的最大值及相应的 x 值；（）设函数 ，如图，点 P，M，N 分别是函数 y=g（x ）图象的零值点、最高点和最低点，求 cosMPN 的值11设函数 f（x ）=sin（x ）+sin（x ） ，其中 03，已知 f（ ）=0（）求 ；第 3 页（共 20 页）（）将函数 y
4、=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再将得到的图象向左平移 个单位，得到函数 y=g（x）的图象，求 g（x）在， 上的最小值12在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b， c，已知 2（tanA +tanB）=+ （）证明：a+b=2c ；（）求 cosC 的最小值13如图，A、B、C 、D 为平面四边形 ABCD 的四个内角（）证明：tan = ；（）若 A+C=180，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5 ，求 tan +tan +tan +tan 的值14已知函数 f（x ）= sin2x cos2x（）求 f（x）的最小周期和最小值；（）
5、将函数 f（x）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数 g（ x）的图象当 x 时，求 g（x ）的值域15已知函数 f（x ）=sin（ x）sinx cos2x（I）求 f（x）的最小正周期和最大值；（II）讨论 f（x）在 ， 上的单调性16已知函数 f（x ）=sin（3x+ ） （1）求 f（x）的单调递增区间；（2）若 是第二象限角， f（ ）= cos（ + ）cos2，求 cossin的值第 4 页（共 20 页）17设 f（x） =2 sin（ x）sinx （sinx cosx） 2（）求 f（x）的单调递增区间；（）把 y=f（x）的图象上所有点的横
6、坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再把得到的图象向左平移 个单位，得到函数 y=g（x）的图象，求 g（ ）的值18已知函数 f（x ）=sin（x ）+cos （x ） ，g（x）=2sin 2 （）若 是第一象限角，且 f（）= ，求 g（）的值；（）求使 f（x）g（x ）成立的 x 的取值集合19已知向量 =（m，cos2x ） ， =（sin2x，n） ，函数 f（x）= ，且 y=f（x）的图象过点（ ， ）和点（ ，2） （）求 m，n 的值；（）将 y=f（x）的图象向左平移 （0 ）个单位后得到函数 y=g（x ）的图象，若 y=g（x）图象上的最高点到点（0，3）的
7、距离的最小值为 1，求y=g（x ）的单调递增区间第 5 页（共 20 页）三角函数及解三角形练习题参考答案与试题解析一解答题（共 16 小题）1 （2017遂宁模拟）在ABC 中，3sinA +4cosB=6，4sinB+3cosA=1 ，求 C 的大小【分析】对已知式平方，化简，求出 sin（A +B）= ，确定 A+B 的值，利用三角形的内角和求出 C 的大小【解答】解：两边平方 （3sinA+4cosB） 2=36 得 9sin2A+16cos2B+24sinAcosB=36 （4sinB+3cosA） 2=1 得 16sin2B+9cos2A+24sinBcosA=1 +得：（9si
8、n 2A+9cos2A）+（16cos 2B+16sin2B） +24sinAcosB+24sinBcosA=37 即 9+16+24sin（A+B）=37 所以 sin（A+B）= ，所以 A+B= 或者若 A+B= ，则 cosA3cosA 3 1，则 4sinB+3cosA1 这是不可能的 所以 A+B=因为 A+B+C=180 所以 C=【点评】本题考查同角三角函数基本关系的运用，考查计算能力，是基础题2 （2017浙江模拟）已知 3sintan=8，且 0第 6 页（共 20 页）（）求 cos；（）求函数 f（x）=6cosxcos（x）在0， 上的值域【分析】 （）利用同角三角函
9、数的基本关系求得 cos的值（）利用三角恒等变换化简函数 f（x ）的解析式，再利用余弦函数的定义域和值域，求得函数在0， 上的值域【解答】解：（）3sintan=3 =8，且 0 ，cos 0， 为锐角 =8，求得 cos= ，或 cos=3（舍去） ，sin= ，综上可得，cos= （）函数 f（x）=6cosxcos（x）=6cosx（cosx +sinx ） =2cos2x+4 sinxcosx=cos2x+1+2 sin2x=3（ cos2x+ sin2x）=3cos（2x） ，在0， 上，2x ， ，f（x）在此区间上先增后减，当 2x=0时，函数 f（x）取得最大值为 3，当 2
10、x=时，函数 f（x）取得最小值为 3cos（）=3cos=1，故函数在0， 上的值域为1，3【点评】本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的定义域和值域，属于基础题3 （2017海淀区一模）已知 是函数 f（x）=2cos 2x+asin2x+1 的一个零点（）求实数 a 的值；（）求 f（x）的单调递增区间【分析】 （）利用函数的零点的定义，求得实数 a 的值（）利用三角恒等变化化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得f（x）的单调递增区间第 7 页（共 20 页）【解答】解：（）由题意可知 ，即 ，即 ，解得 （）由（）可得 = =，函数 y=sinx 的递增区间为 ，k Z由 ，kZ
11、，得 ，kZ ，所以，f（x ）的单调递增区间为 ，kZ 【点评】本题主要考查函数的零点的定义，三角恒等变换、正弦函数的单调性，属于中档题4 （2017衡阳三模）已知函数 f（x）= sin（2x+ ）+sin 2x（1）求函数 f（x）的最小正周期；（2）若函数 g（x）对任意 xR，有 g（x）=f （x+ ） ，求函数 g（x）在 ，上的值域【分析】 （1）利用两角和的正弦函数公式及二倍角公式化简函数 f（x ） ，再由周期公式计算得答案；（2）由已知条件求出 g（ x）= sin（2x + ）+ ，当 x ， 时，则 2x+ ，由正弦函数的值域进一步求出函数 g（x）在 ， 上的值域【
12、解答】解：（1）f（x） = sin（2x+ ）+sin 2x= sin2x+ cos2x+sin2x第 8 页（共 20 页）= sin2x+= sin2x+1 = sin2x+ ，f（ x）的最小正周期 T= ；（2）函数 g（x）对任意 xR，有 g（x）=f （x+ ） ，g （x）= sin2（x+ ）+ = sin（2x + ）+ ，当 x ， 时，则 2x+ ，则 sin（2x+ ）1，即 g（x） ，解得g（x）1综上所述，函数 g（x）在 ， 上的值域为： ，1【点评】本题考查了三角函数的周期性及其求法，考查了函数值域的求法，是中档题5 （2016北京）已知函数 f（x）=2
13、sinxcosx+cos2x（ 0）的最小正周期为 （1）求 的值；（2）求 f（x）的单调递增区间【分析】 （1）利用倍角公式结合两角和的正弦化积，再由周期公式列式求得 的值；（2）直接由相位在正弦函数的增区间内求解 x 的取值范围得 f（x）的单调递增区间【解答】解：（1）f（x） =2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x= = 由 T= ，得 =1；（2）由（1）得，f （x ） = 再由 ，得 第 9 页（共 20 页）f（ x）的单调递增区间为 （kZ ） 【点评】本题考查 y=Asin（x+ ）型函数的图象和性质，考查了两角和的正弦，属中档题6 （2014重庆）已知
14、函数 f（x）= sin（x+） （0， ）的图象关于直线 x= 对称，且图象上相邻两个最高点的距离为 （）求 和 的值；（）若 f（ ）= （ ） ，求 cos（+ ）的值【分析】 （）由题意可得函数 f（x ）的最小正周期为 求得 =2再根据图象关于直线 x= 对称，结合 可得 的值（）由条件求得 sin（ ）= 再根据 的范围求得 cos（ ）的值，再根据 cos（+ ）=sin=sin （ ）+ ，利用两角和的正弦公式计算求得结果【解答】解：（）由题意可得函数 f（x ）的最小正周期为， =，=2再根据图象关于直线 x= 对称，可得 2 +=k+ ，k z结合 可得 = （）f（ ）=
15、 （ ） ， sin（ ）= ，sin（ ）= 再根据 0 ，cos（ ）= = ，cos（+ ）=sin=sin （ ）+ =sin（ ）cos +cos（ ）sin= + = 第 10 页（共 20 页）【点评】本题主要考查由函数 y=Asin（x+ ）的部分图象求函数的解析式，两角和差的三角公式、的应用，属于中档题7 （2017江苏）已知向量 =（cosx，sinx） ， =（3， ） ，x 0，（1）若 ，求 x 的值；（2）记 f（x）= ，求 f（x ）的最大值和最小值以及对应的 x 的值【分析】 （1）根据向量的平行即可得到 tanx= ，问题得以解决，（2）根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出【解答】解：（1） =（ cosx，sinx ） ， =（3， ） ， ， cosx=3sinx，tanx= ，x0，x= ，（2）f（x ）= =3cosx sinx=2 （ cosx sinx）=2 cos（x+ ） ，x0，x+ ， ，1 cos（x+ ） ，当 x=0 时，f（x）有最大值，最大值 3，当 x= 时， f（x）有最小值，最小值 2 【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质，属于基础题8 （2017锦州一模）已知函数 的部分图象如图所示（1）求函数 f（x）的解析式；
