1、山东省日照一中 2015 届高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的 4 个选项中，只有一项符合题目要求.）1 （5 分）已知 a，bR，i 是虚数单位，若 ai 与 2+bi 互为共轭复数，则（a+bi） 2=（）A 54i B 5+4i C 34i D 3+4i2 （5 分）设集合 A=xR|x1|2，B=y R|y=2x，x R，则 AB=（）A B5 （5 分）若 a，b，c 为实数，且 ab0，则下列命题正确的是（）A ac2bc 2 B C D a2abb 26 （5 分）把函数 y=sin3x 的图象适当变化就可以得到
2、 y= （sin3x cos3x）的图象，这个变化可以是（）A 沿 x 轴方向向右平移 B 沿 x 轴方向向左平移C 沿 x 轴方向向右平移 D 沿 x 轴方向向左平移7 （5 分）如图，在OAB 中，P 为线段 AB 上的一点， ，且 ，则（）A B C D8 （5 分）函数 y= 的图象大致为（）A BC D9 （5 分）设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且满足 S20 0，S 210，则中最大的项为（）A B C D10 （5 分）给出如下性质：最小正周期为 ；图象关于直线 x= 对称；在（ ， ）上是增函数则同时具有上述性质的一个函数是（）A y=sin（ + ） B y=cos
3、（ ） C y=sin（2x ） D y=cos（2x+ ）二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分，请将答案填在答题纸上）11 （5 分）已知数列a n中， a1=3，a n+1= +1，则 a2014=12 （5 分）已知 x，y 满足条件 若目标函数 z=ax+y（其中 a0）仅在点（2，0）处取得最大值，则 a 的取值范围是13 （5 分）已知 =2 ， =3 ， =4 ，若 =7 ， （a、b均为正实数） ，则类比以上等式，可推测 a、b 的值，进而可得 a+b=14 （5 分）已知 x0，y0，且 ，若 x+2ym 2+2m 恒成立，则实数 m 的取值范围是15
4、 （5 分）定义：如果函数 y=f（x）在定义域内给定区间上存在 x0（ax 0b） ，满足f（x 0）= ，则称函数 y=f（x）是上的“ 平均值函数”，x 0 是它的一个均值点例如 y=|x|是上的“平均值函数 ”，0 就是它的均值点给出以下命题：函数 f（x）=cosx1 是上的“平均值函数”；若 y=f（x）是上的“ 平均值函数”，则它的均值点 x0 ；若函数 f（x）=x 2mx1 是上的“平均值函数”，则实数 m 的取值范围是 m（0，2） ；若 f（x）=lnx 是区间（ba 1）上的“平均值函数”，x 0 是它的一个均值点，则 lnx0其中的真命题有 （写出所有真命题的序号）三
5、、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16 （12 分）已知不等式 x25ax+b0 的解集为x|x4 或 x1（1）求实数 a，b 的值；（2）若 0x1， f（x）= ，求 f（x）的最小值17 （12 分）已知单调递增的等比数列a n满足：a 2+a3+a4=28，且 a3+2 是 a2，a 4 的等差中项（1）求数列a n的通项公式；（2）若 bn=an an，S n=b1+b2+bn，求使 Sn+n2n+150 成立的正整数 n 的最小值18 （12 分）已知向量 =（sinx， ） ， =（cosx，1） （1）当 时，求 cos2xs
6、in2x 的值；（2）设函数 f（x）=2（ ） ，已知在ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为a、b、c，若 a= ，b=2 ，sinB= ，求 f（x）+4cos （2A+ ） （x ）的取值范围19 （12 分）为迎接 2014 年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量 p 万件与促销费用 x 万元满足：p=3 （其中 0xa，a 为正常数） 已知生产该产品还需投入成本 10+2p 万元（不含促销费用） ，产品的销售价格定为（4+ ）元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求（）将该产品的利润 y 万元
7、表示为促销费用 x 万元的函数；（）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值20 （13 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，通项公式为 ，（）计算 f（1） ，f（2） ，f（3）的值；（）比较 f（n）与 1 的大小，并用数学归纳法证明你的结论21 （14 分）已知函数 f（x） =（ax 2+x+a）e x（1）若函数 y=f（x）在点（0，f（0） ）处的切线与直线 3xy+1=0 平行，求 a 的值；（2）当 x时，f（x） e4 恒成立，求实数 a 的取值范围山东省日照一中 2015 届高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 10 个
8、小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的 4 个选项中，只有一项符合题目要求.）1 （5 分）已知 a，bR，i 是虚数单位，若 ai 与 2+bi 互为共轭复数，则（a+bi） 2=（）A 54i B 5+4i C 34i D 3+4i考点： 复数代数形式的乘除运算 专题： 数系的扩充和复数分析： 由条件利用共轭复数的定义求得 a、b 的值，即可得到（ a+bi） 2 的值解答： 解：ai 与 2+bi 互为共轭复数，则 a=2、b=1，（ a+bi） 2=（2+i） 2=3+4i，故选：D点评： 本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，虚数单位 i 的幂运算
9、性质，属于基础题2 （5 分）设集合 A=xR|x1|2，B=y R|y=2x，x R，则 AB=（）A B4 （5 分） “sinx= ”是“ x= ”的（）A 充要条件 B 充分不必要条件C 必要不充分条件 D 既不充分又不必要条件考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题： 简易逻辑分析： 根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论解答： 解：若 x= 满足 sinx= ，但 x= 不成立，即充分性不成立，若 x= ，则 sinx= 成立，即必要性成立，故“sinx= ”是“ x= ”的必要不充分条件，故选：C点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据三角函数之间的关系是解决
10、本题的关键5 （5 分）若 a，b，c 为实数，且 ab0，则下列命题正确的是（）A ac2bc 2 B C D a2abb 2考点： 不等式比较大小；不等关系与不等式 专题： 不等式的解法及应用分析： 本题可以利用基本不等关系，判断选项中的命题是否正确，正确的可加以证明，错误的可以举反例判断，得到本题结论解答： 解：选项 A，c 为实数，取 c=0，ac2=0，bc 2=0，此时 ac2=bc2，故选项 A 不成立；选项 B， = ，ab0，ba0，ab 0， 0，即 ，故选项 B 不成立；选项 C，ab0，取 a=2，b=1 ，则 ， ，此时 ，故选项 C 不成立；选项 D，ab0，a2a
11、b=a（ab）0，a2ababb2=b（ab）0，abb 2故选项 D 正确，故选 D点评： 本题考查了基本不等关系，本题难度不大，属于基础题6 （5 分）把函数 y=sin3x 的图象适当变化就可以得到 y= （sin3x cos3x）的图象，这个变化可以是（）A 沿 x 轴方向向右平移 B 沿 x 轴方向向左平移C 沿 x 轴方向向右平移 D 沿 x 轴方向向左平移考点： 函数 y=Asin（ x+）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用 专题： 三角函数的图像与性质分析： 由条件根据函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，可得结论解答： 解：函数 y= （ sin3xcos3x）=sin
12、（3x ）=sin3（x ） ，把函数 y=sin3x 的图象沿 x 轴方向向右平移 个单位，可得 y= （sin3x cos3x）的图象，故选：C点评： 本题主要考查函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，属于基础题7 （5 分）如图，在OAB 中，P 为线段 AB 上的一点， ，且 ，则（）A B C D考点： 向量在几何中的应用；相等向量与相反向量 专题： 计算题分析： 根据相等向量的定义及向量的运算法则：三角形法则求出 ，利用平面向量基本定理求出 x，y 的值解答： 解：由题意， ， ，即 ， ，即 故选 A点评： 本题以三角形为载体，考查向量的加法、减法的运算法则；利用运算法则将未
13、知的向量用已知向量表示，是解题的关键8 （5 分）函数 y= 的图象大致为（）A BC D考点： 余弦函数的图象；奇偶函数图象的对称性 专题： 三角函数的图像与性质分析： 由于函数 y= 为奇函数，其图象关于原点对称，可排除 A，利用极限思想（如 x0+，y +）可排除 B，C ，从而得到答案 D解答： 解：令 y=f（x）= ，f（ x）= = =f（x） ，函数 y= 为奇函数，其图象关于原点对称，可排除 A；又当 x0+，y +，故可排除 B；当 x+，y0，故可排除 C；而 D 均满足以上分析故选 D点评： 本题考查奇偶函数图象的对称性，考查极限思想的运用，考查排除法的应用，属于中档题
14、9 （5 分）设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且满足 S20 0，S 210，则中最大的项为（）A B C D考点： 等差数列的前 n 项和 专题： 等差数列与等比数列分析： 由等差数列的性质和求和公式易得 a10+a110 且 a110，可得 n10 时，S 10 最大，而 a10 最小，故 最大解答： 解：由题意显然公差 d0，S20= =10（a 1+a20）0，a1+a200，a 10+a110；同理由 S210 可得 a1+a210，a 110，结合 a10+a11 0 可得 a100，n10 时，S 10 最大，而 a10 最小，故 最大 故选：C点评： 本题考查等差数列的
15、求和公式和性质，属基础题10 （5 分）给出如下性质：最小正周期为 ；图象关于直线 x= 对称；在（ ， ）上是增函数则同时具有上述性质的一个函数是（）A y=sin（ + ） B y=cos（ ） C y=sin（2x ） D y=cos（2x+ ）考点： 正弦函数的单调性；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的对称性 专题： 三角函数的图像与性质分析： 利用函数的最小正周期为 可排除 A，B，利用图象的单调递增区间进一步排除D，即可得答案解答： 解：A，y=sin （ + ）的最小正周期 T= =4，故不满足；B，y=cos （ ）的最小正周期 T= =4，故不满足；C，令 y=f（x） =
16、sin（2x ） ，则 f（ ）=sin （ ）=sin =1，为最大值，f（ x）=sin （2x ）的图象关于直线 x= 对称，且其周期 T= =，同时具有性质、，符号题意；由 2k 2x 2k ，k Z 解得：x ，kZ，从而当 k=1 时，有函数 f（x）=sin （2x ）在（ ， ）上是增函数D，y=cos（2x+ ） ，由 2k2x+ 2k+，k Z 可解得其单调递减区间为， kZ，故不符合；故选：C点评： 本题考查三角函数的周期性与对称性及其求法，以及单调递增区间的求法，突出排除法在解选择题中的应用，属于中档题二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分，请将答
17、案填在答题纸上）11 （5 分）已知数列a n中， a1=3，a n+1= +1，则 a2014= 考点： 数列递推式 专题： 点列、递归数列与数学归纳法分析： 由题意可知a n1为周期数列且周期为 2，a 11=2，即可求出答案解答： 解： ，a n1为周期数列且周期为 2，a 11=2，a20141=a21= ， 故答案为： 点评： 本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础12 （5 分）已知 x，y 满足条件 若目标函数 z=ax+y（其中 a0）仅在点（2，0）处取得最大值，则 a 的取值范围是（ ，+） 考点： 简单线性规划的应用 专题： 不等式的解法及应用分析： 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出 a 的取值范围解答： 解：作出不等式对应的平面区域，由 z=ax+y 得 y=ax+z，a0，此时目标函数的斜率 k=a0，要使目标函数 z=ax+y 仅在点 A（2，0）处取得最大值，则此时ak AB= ，即 a ，故答案为：（ ，+）
