1、- 1 -第 5课时 指数函数1根式：(1) 定义：若 axn，则 x称为 a的 n次方根 当 为奇数时， 与次方根记作_； 当 n为偶数时，负数 a没有 n次方根，而正数 a有两个 n次方根且互为相反数，记作_(a0).(2) 性质： n)(； 当 为奇数时， an； 当 n为偶数时， _ )0(a2指数：(1) 规定： a 0 (a0)； a -p ； (,mna.(2) 运算性质： rsrr,0( (a0, r、 sQ) asr,)( (a0, r、 Q) bbrr,0( (a0, r、 sQ)注：上述性质对 r、 sR均适用.3指数函数： 定义：函数 称为指数函数，1) 函数的定义域为
2、 ；2) 函数的值域为 ；3) 当_时函数为减函数，当_时为增函数. 函数图像：1) 过点 ，图象在 ；2) 指数函数以 为渐近线(当 10a时，图象向 无限接近 x轴，当 1a时，图象向 无限接近 x轴)；3)函数 xxy与的图象关于 对称. 函数值的变化特征： 10a1a基础过关- 2 - 与0x 与 与0x 与0x 与 与0x 例 1. 已知 a= 91,b=9.求： （1） ;31583327aa （2） 1)(ab.解：（1）原式= 327a. 312a 21)38( 2135= 2167)534(=a 21.a= 9，原式=3.（2）方法一 化去负指数后解.1)(1 baaba=
3、,91a+b= .82方法二 利用运算性质解. .)( 1111 abaa= ,9ba+b= .82变式训练 1：化简下列各式（其中各字母均为正数）:（1） ;)(6531232ba（2） .)4()(213212231 ba解：（1）原式= .10653126136513123 baba（2）原式=- .451445)(4)(2 23231231361231361 abba例 2. 函数 f(x)=x2-bx+c满足 f(1+x)=f(1-x)且 f(0)=3,则 f(bx)与 f(cx)的大小关系是 （ ）A.f(bx)f(c x) B.f(bx)f(c x)C.f(bx)f(c x) D
4、.大小关系随 x的不同而不同解：A变式训练 2：已知实数 a、b 满足等式 ba)31(2，下列五个关系式：0 ba;ab0;0ab;ba0;a=b. 其中不可能成立的关系式有 （ ）A. 1个 B. 2个 C.3 个 D.4 个典型例题- 3 -解：B例 3. 求下列函数的定义域、值域及其单调区间：（1）f(x)=3 452x; （2）g(x)=-( 5)21(4xx.解：（1）依题意 x2-5x+40, 解得 x4 或 x1,f（x）的定义域是（-，14，+）.令 u= ,49)5(522x（-，14，+），u0，即 2x0，而 f(x)=3 452x3 0=1,函数 f(x)的值域是1，
5、+）.u= 49)25(x,当 x（-，1时，u 是减函数，当 x4，+）时，u 是增函数.而 31,由复合函数的单调性可知，f（x）=3 52x在（-，1上是减函数，在4，+）上是增函数.故 f（x）的增区间是4，+），减区间是（-，1.（2）由 g(x)=-( ,5)21(45)2(42xxxx 函数的定义域为 R，令 t=( 1x (t0),g(t)=-t 2+4t+5=-(t-2)2+9,t0,g(t)=-(t-2) 2+99,等号成立的条件是 t=2,即 g(x)9,等号成立的条件是( x)=2，即 x=-1，g（x）的值域是（-，9.由 g(t)=-(t-2)2+9 (t0),而
6、t=( x21是减函数，要求 g(x)的增区间实际上是求 g(t)的减区间， 求 g(x)的减区间实际上是求 g(t)的增区间.g（t）在（0，2上递增，在2，+）上递减，由 0t=( x)12,可得 x-1, 由 t=( x)212,可得 x-1.g（x）在-1，+）上递减，在（-，-1上递增，故 g(x)的单调递增区间是（-，-1，单调递减区间是-1，+）.变式训练 3：求下列函数的单调递增区间： （1）y=( 26)x;(2)y=2 62x.解：（1）函数的定义域为 R.令 u=6+x-2x2,则 y=( u)1.二次函数 u=6+x-2x2的对称轴为 x= 41,在区间 41，+）上，
7、u=6+x-2x 2是减函数，又函数 y=( )2u是减函数，- 4 -函数 y=( 26)1x在 41，+）上是增函数.故 y=( 26x单调递增区间为 ，+）.（2）令 u=x2-x-6,则 y=2u,二次函数 u=x2-x-6的对称轴是 x= 21,在区间 1，+）上 u=x2-x-6是增函数.又函数 y=2u为增函数，函数 y=2 62x在区间 21，+）上是增函数.故函数 y=2 62x的单调递增区间是 21，+）.例 4设 a0,f(x)= xae是 R上的偶函数.（1）求 a的值；（2）求证：f(x)在（0，+）上是增函数.（1）解： f（x）是 R上的偶函数，f（-x）=f（x
8、）， ,eexxxaa（a- )e1(xa=0对一切 x均成立，a- =0，而 a0,a=1. （2）证明 在（0，+)上任取 x1、x 2，且 x1x 2, 则 f(x1)-f(x2)= 1ex + 1x- 2ex- 2= )e(12x ( ).21x x 1x 2, ,e21x有 .0e12xx 10,x 20,x 1+x20, 21x1, 21ex-10.f(x 1)-f(x2)0,即 f(x1)f(x 2),故 f(x)在（0,+）上是增函数. 变式训练 4：已知定义在 R上的奇函数 f(x)有最小正周期 2，且当 x(0,1)时，f(x)= 142x. （1）求 f（x)在-1，1上
9、的解析式；（2）证明：f(x)在（0，1）上是减函数.（1）解： 当 x(-1,0)时，-x(0,1).f（x）是奇函数，f（x）=-f（-x）=- .142xx由 f(0)=f(-0)=-f(0)，且 f(1)=-f(-1)=-f(-1+2)=-f(1),- 5 -得 f(0)=f(1)=f(-1)=0.在区间-1，1上，有f （x）= 1,00)(142,xxxx(2)证明 当 x(0,1)时，f(x)= .142x设 0x 1x 21,则 f(x1)-f(x2)= ,)(1421122 xxxx0x 1x 21, 12x0，2 -10,f(x 1)-f(x2)0,即 f(x1)f(x 2
10、),故 f(x)在（0，1）上单调递减.1 bN a， abN，log aN b(其中 N0， a0， a1)是同一数量关系的三种不同表示形式，因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算.在运算中，根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同底.2处理指数函数的有关问题，要紧密联系函数图象，运用数形结合的思想进行求解.3含有参数的指数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题最基本的分类方案是以“底”大于 1或小于 1分类.4含有指数的较复杂的函数问题大多数都以综合形式出现，与其它函数(特别是二次函数)形成的函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要注意知识的相互渗透或综合.小结归纳
