1、不等式的基本知识（一）不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：(1)对称性： (2)传递性：ab caba,(3)加法法则： ； (同向可加)cdcdb,(4)乘法法则： ； c0, c0,(同向同正可乘)acdba(5)倒数法则： (6)乘方法则：b10, )1*(0nNbabn且(7)开方法则： )1*(nNaban且2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差变形判断符号结论）3、应用不等式性质证明不等式（二）解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式 的解集：0022 acbxacbxa或设相应的一元二次方程 的两根为 ， ，则不等式的解的各种情
2、2121x且、 acb42况如下表：2、简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿偶不穿；（3）根据曲线显现 ()fx的符号变化规律，写出不等式的解集。 如 ： xx12033、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为 0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。 ()()()0()0; 0fxgfxfxfxgg 4
3、、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题若不等式 在区间 上恒成立,则等价于在区间 上AfDDminfxA若不等式 在区间 上恒成立,则等价于在区间 上Bx aB（三）线性规划1、用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式 Ax+By+C0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0 某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点( )，把它的坐标（ )代入 Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，yx, yx,所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（ x
4、0,y0)，从 Ax0+By0+C 的正负即可判断 Ax+By+C0 表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当 C0 时，常把原点作为此特殊点）3、线性规划的有关概念：线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量 x、y 的约束条件，这组约束条件都是关于 x、y 的一次不等式，故又称线性约束条件线性目标函数：关于 x、y 的一次式 z=ax+by 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x、y 的解析式，叫线性目标函数线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y ）叫可行解由所有可行解组成的集合叫
5、做可行域使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：（1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）依据线性目标函数作参照直线 ax+by 0， 在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解（四）基本不等式 2ab1若 a,bR,则 a2+b22ab,当且仅当 a=b 时取等号.2如果 a,b 是正数，那么 ).“(号时 取当 且 仅 当 baab变形： 有:a+b ；ab ,当且仅当 a=b 时取等号.ab223如果 a,bR+,a b=P(定值), 当且仅当 a=b 时,a+b 有最小
6、值 ;P2如果 a,bR+,且 a+b=S(定值 ),当且仅当 a=b 时,ab 有最大值 .4S注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大” （2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”4.常用不等式有：（1） 2 21abab(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）a、 b、 cR， 22abcc（当且仅当 c时，取等号） ；（3）若 0,abm，则bma（糖水的浓度问题） 。不等式主要题型讲解（一） 不等式与不等关系题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式）1. 设 ，
7、， ，试比较 的大小2a12pa24aqqp,（二） 解不等式题型三：解不等式解不等式 。 3 .2(1)0x251x2. 不等式 的解集为x|-1x2，则 =_, b=_210axba3. 关于 的不等式 的解集为 ，则关于 的不等式 的解集为xx),1(x02xba题型四：恒成立问题4. 关于 x 的不等式 a x2+ a x+10 恒成立，则 a 的取值范围是_5. 若不等式 对 的所有实数 都成立，求 的取值范围.21m1xxm6. 已知 且 ，求使不等式 恒成立的实数 的取值范围。0,xy19xyxym（三）基本不等式 2ab题型五：求最值7. 求下列函数的值域 （1） y3 x 2
8、 （2）当 时，求 的最大值。12x 2 (82)yx8. （耐克函数型）求 的值域。2710()xyx注意：在应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数 的单调性。()afx9. （用耐克函数单调性）求函数 的值域。254xy（1） 若实数满足 ，则 的最小值是 .2baba3（2） 已知 ，且 ，求 的最小值。0,xy19xyxy（3） 已知 x，y 为正实数，且 x 2 1，求 x 的最大值.y 22 1 y 2（4） 已知 a，b 为正实数，2baba30，求函数 y 的最小值.1ab题型六：利用基本不等式证明不等式10. 已知 为两两不相等的实数，求证：cba, cab
9、cba2211. 已知 a、b、c ，且 。求证：R1abc18abc（四）线性规划题型八：目标函数求最值12. 满足不等式组 0,8732yx，求目标函数 yxk3的最大值13. 已知 ,xy满足约束条件：340xy,则2xy的最小值是14. 已知变量23, 0.1xyxy满 足 约 束 条 件 若 目 标 函 数 zaxy（其中 a0）仅在点（3，0）处取得最大值，则 a 的取值范围为 。15. 已知实数 满足 如果目标函数 的最小值为 ，则实数 等于（ ）xy，12xm， ， zxy1m题型九：实际问题某饼店制作的豆沙月饼每个成本 35 元，售价 50 元；凤梨月饼每个成本 20 元，售
10、价 30 元。现在要将这两种月饼装成一盒，个数不超过 10 个，售价不超过350 元，问豆沙月饼与凤梨月饼各放几个，可使利润最大？又利润最大为多少？复习不等式的基本知识参考答案高中数学必修内容练习-不等式1. ；2. ；pq3. 当 或 时，1+ ；当 时，1+ ；当 时，1+ 01x43logx2lx413logx2lx43logx2log4. ba（0l,l2Qpbabalg)lgRQP。R1lg)(5. 6. 或 ；|1x27. ） ；(,),38. 不等式 的解集为x|-1x2，则 =_-6_, b=_6_20aba9. ）.)(10. 解：当 a0 时，不等式的解集为 ； 2 分1当
11、 a0时，a(x )(x1)0；当 a0时，原不等式等价于(x )(x1) 01 a1不等式的解集为 ；.6分或当0a1时，1 ，不等式的解集为 ； .8分a11xa当 a1时， 1，不等式的解集为 ； .10分当 a1时，不等式的解为 .12分11. _0x 4_12. ）2m13. ,1614. 解：（1）y3x 2 2 值域为 ，+ ）12x 2 6 6（2）当 x0 时， yx 2 2；1x当 x 0 时， y x = （ x ）2 =21x 1x值域为（，22，+ ）15. （1）解 ，5,4014543yx21当且仅当 ，即 时，上式等号成立，故当 时， 。1xx may（2）当
12、，即 x2 时取等号 当 x2 时， 的最大值为 8。(82)yx16. 解析一：当 ,即 时, （当且仅当 x1 时取“”号）。421)59yx（解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令 t=x1，化简原式在分离求最值。2(1)7(+05=ttty）当 ,即 t= 时, （当 t=2 即 x1 时取“”号）。429yt17. 解：令 ，则24()xt25x224(2)t因 ，但 解得 不在区间 ，故等号不成立，考虑单调性。10,ttt1t,因为 在区间 单调递增，所以在其子区间 为单调递增函数，故 。y,2, 52y所以，所求函数的值域为 。5,218. （条件不等式）（1） 解：
13、都是正数， ba3和 ba3632baba当 时等号成立，由 及 得 即当 时， 的最小值是 6ba321ba3（2） 解： ，190,xy9106yxxyx当且仅当 时，上式等号成立，又 ，可得 时，9y14,2min（3） 解：x x x1 y 2 2下面将 x， 分别看成两个因式：x 即 x x 34 1 y 2 2 342（4） 解：法一：a ， ab b30 2bb 1 30 2bb 1 2 b 2 30bb 1由 a0 得，0b15令 tb+1，1t 16，ab 2（t ）34t 2 8 2t 2 34t 31t 16t 16t ab18 y 当且仅当 t4，即 b3，a6 时，等
14、号成立。118法二：由已知得：30aba2b a2b2 30ab22 ab 2 ab令 u 则 u22 u300， 5 u3ab 2 2 2 3 ，ab18，yab 211819. 已知 为两两不相等的实数，求证：c, cc2220. 正数 a，b，c 满足 abc 1，求证：(1a)(1b)(1c)8 abc21. 已知 a、b、c ，且 。求证：R1abc18abc证明： a、b、c ， 。 。同理 ， 。上述三个不等2a12acb12abc式两边均为正，分别相乘，得。当且仅当 时取等号。1128bcababA3c22. 解： 若设污水池长为 x 米，则宽为 （米）水池外圈周壁长： （米）中间隔墙长： （米）池底面积：200（米 2）目标函数： 23. 424.)21,3(25. 126. ),( 。27. 5解：设一盒內放入 x 个豆沙月饼，y 个凤梨月饼，利润为 z 元则 x，y 必须满足 ，目标函数为 z15x10y
