1、全国 2010 年度 4 月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）1已知 2 阶行列式 ， ，则 （ B ）mba21 ncb21 21cabA B C Dnmnm)(nmncacab 2121212设 A , B , C 均为 n 阶方阵， ， ，则 （ D ）BAABA ACB B CAB C CBA D BCA)()()()(3设 A 为 3 阶方阵， B 为 4 阶方阵，且 ， ，则行列式 之值为（ A ）1|A2|B|BA B C2 D8828|)(|2| 3AB4 ， ， ， ，则 （ B 32311a3231
2、1a103P10Q）A PA B AP C QA D AQ32311aP0Ba323115已知 A 是一个 矩阵，下列命题中正确的是（ C ）4A若矩阵 A 中所有 3 阶子式都为 0，则秩( A)=2B若 A 中存在 2 阶子式不为 0，则秩( A)=2C若秩( A)=2，则 A 中所有 3 阶子式都为 0D若秩( A)=2，则 A 中所有 2 阶子式都不为 06下列命题中错误的是（ C ）A只含有 1 个零向量的向量组线性相关 B由 3 个 2 维向量组成的向量组线性相关C由 1 个非零向量组成的向量组线性相关 D2 个成比例的向量组成的向量组线性相关7已知向量组 线性无关， 线性相关，则
3、（ D ）321,31A 必能由 线性表出 B 必能由 线性表出12,31C 必能由 线性表出 D 必能由 线性表出3,21 2注： 是 的一个极大无关组321,38设 A 为 矩阵， ，则方程组 Ax=0 只有零解的充分必要条件是 A 的秩（ D ）nmnA小于 m B等于 m C小于 n D等于 n 注：方程组 Ax=0 有 n 个未知量9设 A 为可逆矩阵，则与 A 必有相同特征值的矩阵为（ A ）A B C DT21AA，所以 A 与 有相同的特征值|)(| EET T10二次型 的正惯性指数为（ C ）21321321, xxxf A0 B1 C2 D3，正惯性指数为 2212332
4、1)(),( yxf 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）11行列式 的值为_20198721098720 12设矩阵 ， ，则 _0231ABBAT13BT 16213设 ， ，若向量 满足 ，则 _T)2,0(T)4,3(32TTT)8,35()4,026()1,39(23 14设 A 为 n 阶可逆矩阵，且 ，则| _nA1| |1|1|15设 A 为 n 阶矩阵， B 为 n 阶非零矩阵，若 B 的每一个列向量都是齐次线性方程组 Ax=0 的解，则 _|个方程、 个未知量的 Ax=0 有非零解，则 0|A16齐次线性方程组 的基础解系所含解向量的个数为_32
5、01xx，基础解系所含解向量的个数为 0312A 123rn17设 n 阶可逆矩阵 A 的一个特征值是 ，则矩阵 必有一个特征值为_312AA 有特征值 ，则 有特征值 ， 有特征值 321)(1212318设矩阵 的特征值为 ，则数 _02x,4x由 ，得 21401x19已知 是正交矩阵，则 _10/baAba由第 1、2 列正交，即它们的内积 ，得 00)(220二次型 的矩阵是_3231321 64),( xxxf 0312三、计算题（本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分）21计算行列式 的值3322cbaD解： 22332233221cbaccba 2222011cbac
6、c )()(1)( baababa22已知矩阵 ， ，求（1） ；（2） )3,12(B)3,2(CCBAT2A解：（1） ；964),(AT（2）注意到 ，所以132),(TCB13)()(2 ACBATTT 962423设向量组 ，求向量组的秩T4T3T2T1 (1,),)0,1(,(1,0),(,3) 及一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量解： 1032),(4321A123010230，向量组的秩为 3， 是10200421,一个极大无关组， 2324已知矩阵 ， （1）求 ；（2）解矩阵方程 10A354B1ABAX解：（1） 023),(E103， ；10
7、101A02（2） BAX231943525问 a 为何值时，线性方程组 有惟一解？有无穷多解？并在有解时求6231xxa出其解（在有无穷多解时，要求用一个特解和导出组的基础解系表示全部解） 解： 632041),(abA2304a030241a时， ，有惟一解，此时3a3)(,(Arb),(bA01243a0124， ；01201213x时， ，有无穷多解，此时3anArb2)(,( ),(bA02341， ，通解为 ，其中 为任0231012/31332x12/30kk意常数26设矩阵 的三个特征值分别为 ，求正的常数 a 的值及可逆矩阵 P，使302aA5,21521P解：由 ，得 ，
8、521)9(2303| aaA 42aE320对于 ，解 ：10)(xAE， ，取 ；AE200132x1p0对于 ，解 ：2)(xAE， ，取 ；AE12001321x2p01对于 ，解 ：53)(xAE， ，取 AE200132x3p1令 ，则 P 是可逆矩阵，使 1),(321pP 502AP四、证明题（本题 6 分）27设 A， B， 均为 n 阶正交矩阵，证明 11)(BA证： A， B， 均为 n 阶正交阵，则 ， ， ，所以TT 1)()(AT11)()( BA全国 2010 年 7 月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分
9、，共 20 分）1设 3 阶方阵 ，其中 （ ）为 A 的列向量，若),(321Ai3,1|B，则 （ C ）6|),2(| 3|6|),(| 3211A B C6 D122计算行列式 （ A ）3200513A B C120 D180181803)2(1023)(2051323051 3若 A 为 3 阶方阵且 ，则 （ C ）|1A|A B2 C4 D821， |418|3A4设 都是 3 维向量，则必有（ B ）4321,A 线性无关 B 线性相关4321,C 可由 线性表示 D 不可由 线性表示1432,5若 A 为 6 阶方阵，齐次方程组 Ax=0 基础解系中解向量的个数为 2，则
10、（ C ）)(ArA2 B3 C4 D5由 ，得 4)(r)(r6设 A、 B 为同阶方阵，且 ，则（ C ）)(rAA A 与 B 相似 B C A 与 B 等价 D A 与 B 合同|注： A 与 B 有相同的等价标准形7设 A 为 3 阶方阵，其特征值分别为 ，则 （ D ）0,12|2|EA0 B2 C3 D24的特征值分别为 ，所以 E2,344|A8若 A、 B 相似，则下列说法错误的是（ B ）A A 与 B 等价 B A 与 B 合同 C D A 与 B 有相同特征值|B注：只有正交相似才是合同的9若向量 与 正交，则 （ D ）)1,2(),3(ttA B0 C2 D42由内
11、积 ，得 46tt10设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值分别为 ，则（ B ）0,1A A 正定 B A 半正定 C A 负定 D A 半负定对应的规范型 ，是半正定的02231zz二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）11设 ， ，则 _42103A01BABB 24356012设 A 为 3 阶方阵，且 ， 则 _3|A|19|1|11 13三元方程 的通解是_321x，通解是 3321xx 10021k14设 ，则与 反方向的单位向量是_),(2,13|115设 A 为 5 阶方阵，且 ，则线性空间 的维数是_3)(Ar 0|AxW的维数等于 基础解系所含向量的
12、个数： 0|xW0x 235rn16125)/(25|15| 331 A17若 A、 B 为 5 阶方阵，且 只有零解，且 ，则 _0Ax3)(Br)(Ar只有零解，所以 可逆，从而 0x )(r18实对称矩阵 所对应的二次型 _102 ),(321xf32231321),( xxxf 19设 3 元非齐次线性方程组 有解 ， ，且 ，则 的通bA13 212)(Arbx解是_是 的基础解系， 的通解是 01)(212AxbAx0132k20设 ，则 的非零特征值是_3T由 ，可得 ，设 的非零特征值是 ，142),(T AATT14)(2则 ， 142三、计算题（本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分）21计算 5 阶行列式 201102D
