1、 1全等三角形专题讲解（一）知识储备1、全等三角形的概念： （1）能够重合的两个图形叫做全等形。（2）两个三角形是全等形，就说它们是全等三角形。两个全等三角形，经过运动后一定重合，相互重合的顶点叫做对应顶点；相互重合的边叫做对应边；相互重合的角叫做对应角。（3）全等三角形的表示：如图，ABC 和DEF 是全等三角形，记作ABCDEF，符号“”表示全等，读作“全等于”。注意：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。2、全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等，对应角相等。【例 1】如图，ABCDEF，则有：AB=DE，AC=DF，BC=EF；A=D，B=E，C=F。 3、全
2、等三角形的判定定理： S.A.S “边角边”公理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。【例 2】A.S.A “角边角”公理：两角和它们的所夹边对应相等的两个三角形全等。【例 3】A.A.S “角角边”公理：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。【例 4】S.S.S “边边边”公理：三边对应相等的两个三角形全等。【例 5】H.L “斜边直角边“公理2斜边和一条直角对应相等的两个直角三角形全等。【例 6】（二）双基回眸1、下列说法中，正确的个数是 （ ）全等三角形的周长相等 全等三角形的对应角相等全等三角形的面积相等 面积相等的两个三角形全等A4 B3 C2 D12、如果 ABC
3、DEF，则 AB 的对应边是_，AC 的对应边是_，C 的对应角是_，DEF 的对应角是_3、如图，ABCBAD，A 和 B、C 和 D 是对应顶点，如果AB5，BD6，AD4，那么 BC 等于 （ ）A6 B5 C4 D无法确定 4、如图，ABCADE，若B80，C30，DAC35，则EAC 的度数为 （ ）A40 B35 C30 D255、能确定ABCDEF 的条件是 （ ）AABDE，BCEF，AEBABDE，BCEF，CECAE，ABEF，BDDAD，ABDE，BE6、如图，已知ABC 的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和ABC 全等的图形是 （ ）A甲和乙 B乙和丙 C只有乙
4、 D只有丙3（三）例题经典例 1：如图，ABCDCB（1）若D74DBC38，则A_，ABC_；（2）对应边 AC ，AB= ；（3）如果 AOBDOC，则 AO= _，BO= _，A=_ ，ABC= 例 2：如图，AB、CD 相交于 O 点，AOCO，ODOB求证：DB例 3：如图，PMPN，MN求证：AMBN例 4：如图，AC BD求证：OAOB，OCOD例 5：如图，RPQ 中，RPRQ，M 为 PQ 的中点求证：RM 平分PRQ4例 6：如图，ABBD，CDBD，ADBC求证：（1）ABDC：（2）ADBC例 7：阅读下题及一位同学的解答过程，回答问题：如图，AB 和 CD 相交于点
5、O，且 OAOB，AC。那么AOD 与COB全等吗？若全等，试写出证明过程；若不全等，请说明理由。答：AODCOB证明：在AOD 和COB 中，),(),对COBAD AODCOB （ASA）问：这位同学的回答及证明过程正确吗？为什么？例 8：如图，在MPN 中，H 是高 MQ 和 NR 的交点，且 MQNQ求证：HNPM.例 6 图例 7 图5例 9：如图，AD=AE，1=2，点 D、E 在 BC 上，BD=CE。求证：ABDACE例 10：如图，已知 ADCB，AD=CB，AE=BF，求证：（1）AFDBEC （2）DFCE.拓展变式例 1： 如图, AOB 是一个任意角，在边 OA、OB
6、 上分别取 OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与 M,N 重合，过角尺顶点 C 的射线 OC 便是AOB 的平分线，为什么?例 2：要测量河两岸相对的两点 A、B 的距离，可以在 AB 的垂线 BF 上取两点 C、D，使CD=BC，再定出 BF 的垂线 DE，使 A、C、E 在一条直线上，这时测得的 DE 的长就是 AB 的长。写出已知和求证，并且进行证明。例 9 图6实战演练一、填空题1、如图，ABE 和ADC 是ABC 分别沿着 AB，AC 翻折 180形成的若1232853，则 的度数为_2、已知：如图，ABAC，BDAC 于 D，CEAB 于 E.欲证明 BDCE，需证明
7、_，理由为_3、已知：如图，AEDF，AD，欲证 ACEDBF，需要添加条件_,证明全等的理由是_；或添加条件_，证明全等的理由是_；也可以添加条件_，证明全等的理由是_4、如图，根据 SAS，如果 ABAC， ，即可判定 ABDACE.5、如图，BD 垂直平分线段 AC，AEBC，垂足为 E，交 BD 于 P 点，PE3cm，则 P 点到直线AB 的距离是_. 6、如图，在等腰 RtABC 中，C90，ACBC，AD 平分BAC 交 BC 于 D，DEAB 于 D，若 AB10，则BDE 的周长等于. 第 4题E DCBA第 5 题E CDPAB第 6题EDCBA第 2 题 第 3 题第 1
8、 题77、如图，ABCDEB，ABDE，EABC，则C 的对应角为 ，BD 的对应边为 . 8、如图，ADAE，12，BDCE，则有ABD ，理由是 . 9、如图，ADBC，DEAB，DFAC，D、E、F 是垂足，BDCD，那么图中的全等三角形有_对.二、选择题1、AD 是ABC 的角平分线，作 DEAB 于 E，DFAC 于 F，下列结论错误的是（ ）DEDF BAEAF CBDCD DADEADF2、下列语句中，正确的有（ ）（1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等（2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等（3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等A.1
9、个 B.2 个 C.3 个 D.4 个3、下列说法中，正确的是（ ）A.相等的角是直角 B.不相交的两条线段平行 C.两直线平行，同位角互补 D.经过两点有且只有一条直线4、如图，若ABEACF，且 AB5，AE2，则 EC 的长为（ ）A.2 B.3 C.5 D.2.55、如图，12，BCEF，欲证ABCDEF，则还须补充的一个条件是（ ）EDAB C1 2第 8题BAEDC第 7题图第 9题AF(8) CEB D第 4题F ECBA第 5 题8A.ABDE B.ACEDFB C.BFEC D.ABCDEF6、如图，ABC 是不等边三角形，DEBC，以 D、E 为两个顶点画位置不同的三角形，
10、使所画的三角形与ABC 全等，这样的三角形最多可画出（ ）A.2 个 B.4 个 C.6 个 D.8 个7、如图，ABC 中，ADBC，D 为 BC 中点，则以下结论不正确的是（ ）A.ABDACD B.BC C.AD 是 BAC 的平分线 D.ABC 是等边三角形8、如图，12，CD，AC、BD 交于 E 点，下列结论中正确的有（ ）DAECBE CEDE DEACBE EAB 是等腰三角形A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个9、如图，在ABC 中，ABAC，AC 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，AB10，BCD的周长为 18，则 BC 的长为（ ）A.8 B.
11、6 C.4 D.2三、解答题1、如图，已知线段 a、b，求作：RtABC，使ACB90，BCa，ACb（不写作法，保留作图痕迹）.ABC第 7题第 6 题B第 8题2(12)CBA 1EDAba92、如图，BP、CP 是ABC 的外角平分线，则点 P 必在BAC 的平分线上，你能说出其中的道理吗？3、如图，已知12，34，ECAD，求证：ABBE.4、如图，工人师傅制作了一个正方形窗架，把窗架立在墙上之前，在上面钉了两块等长的木条 GF 与 GE，E、F 分别是 AD、BC 的中点.（1）G 点一定是 AB 的中点吗？说明理由；（2）钉这两块木条的作用是什么？5、如图，已知点 A、E、F、D
12、在同一条直线上，AEDF，BFAD，CEAD，垂足分别为F、E，BFCE，试说明 AB 与 CD 的位置关系.6、阅读下题及其证明过程：GFED CBAAPB CD1234AFCEBD10已知：如图，D 是ABC 中 BC 边上一点，EBEC，ABEACE，试说明BAE 与CAE 相等的理由.理由：在AEB 和AEC 中，AECB所以AEBAEC(第一步)所以BAECAE(第二步)问：上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理根据；若不正确，请指出错在哪一步？并写出你认为正确的推理过程.7、如图（1），在四边形 ABCD 中，ADBC，ABCDCB，ABDC，AEDF.（1）试说明 BFCE 的理由.（2）当 E、F 相向运动，形成如图（2）时，BF 和 CE 还相等吗？请说明你的结论和理由.8、已知：如图，ABAC，DBDC，（1）若 E、F、G、H 分别是各边的中点，求证：EHFG.（2）若连结 AD、BC 交于点 P，问 AD、BC 有何关系？证明你的结论.9、如图，在AFD 和BEC 中，点 A、E、F、C 在同一条直线上，有下面四个论断：（A）ADBCEF（ ） （ ）图（2）图（1）AB CDEF
