1、全真优教中考数学第 1 页（共 21 页）初中数学一元二次方程压轴题精选试卷一选择题（共 10 小题，满分 60 分，每小题 6 分）1 （6 分） （2013 武汉模拟）如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4，O 为矩形 ABCD 的中心，以 D 为圆心 1 为半径作 D，P 为D 上的一个动点，连接 AP、OP，则AOP 面积的最大值为（ ）A4 B C D2 （6 分） （2015 广州）已知 2 是关于 x 的方程 x22mx+3m=0 的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形 ABC 的两条边长，则三角形 ABC 的周长为（ ）A10 B14 C10 或 14 D8 或
2、 103 （6 分） （2004 临沂）若 x1、x 2 是关于 x 的方程 x2+bx3b=0 的两个根，且x12+x22=7那么 b 的值是（ ）A1 B7 C1 或 7 D7 或14 （6 分） （2011 河南模拟）某商场购进一批运动服用了 1000 元，每件按 10 元卖出，假如全部卖出这批运动服所得的钱数与买进这批运动服所用的钱数的差就是利润，按这样计算，这次买卖所得的利润刚好是买进 11 件运动服所用的钱数，则这批运动服有（ ）A10 件 B90 件 C110 件 D150 件5 （6 分） （2005 漳州）关于 x 的一元二次方程 x22x4=0 的两根为 x1，x 2，那么
3、代数式+ 的值为（ ）A B C2 D26 （6 分） （2005 云南）若 x1、x 2 是方程 x2+3x+2=0 的两个根，那么 x12+x22 的值等于（ ）A3 B5 C 7 D13全真优教中考数学第 2 页（共 21 页）7 （6 分） （2002 聊城）如果关于 x 的方程 x22（1k）x+k 2=0 有实数根 、，则 a+ 的取值范围是（ ）A+ 1 B+ 1 C+ D +8 （6 分） （2000 河北）在 RtABC 中，C=90，a、b、c 分别是A 、B、C 的对边，a、b 是关于 x 的方程 x27x+c+7=0 的两根，那么 AB 边上的中线长是（ ）A B C5
4、 D29 （6 分） （2000 内江）一元二次方程：x 22（a+1）x+a 2+4=0 的两根是 x1，x 2，且|x1x2|=2，则 a 的值是（ ）A4 B3 C2 D110 （6 分） （1999 烟台）若 a，b，c 为三角形三边，则关于的二次方程 x2+（ab）x+c 2=0的根的情况是（ ）A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根C没有实数根 D无法确定二填空题（共 6 小题，满分 30 分，每小题 5 分）11 （5 分） （2013 新疆）如果关于 x 的一元二次方程 x24x+k=0 有实数根，那么 k 的取值范围是 12 （5 分） （2013 攀枝花）设 x1，x
5、 2 是方程 2x23x3=0 的两个实数根，则 的值为 13 （5 分） （2013 曲靖模拟）定义新运算“*”，规则： ，如 1*2=2，若 x2+2x3=0 的两根为 x1，x 2，且 x1x 2，则 x1*x2= 全真优教中考数学第 3 页（共 21 页）14 （5 分） （2013 瑞昌市校级模拟）三角形的每条边的长都是方程 x27x+10=0 的根，则三角形的周长是 15 （5 分） （2012 岳阳）若关于 x 的一元二次方程 kx2+2（k+1）x+k1=0 有两个实数根，则 k 的取值范围是 16 （5 分） （2012 淄博）一个三位数，其各位上的三个数字的平方和等于其中两
6、个数字乘积的 2 倍，请写出符合上述条件的一个三位数 三解答题（共 7 小题，满分 61 分）17 （8 分） （2008 安顺）如图，已知等边 ABC，以边 BC 为直径的半圆与边 AB，AC 分别交于点 D，点 E，过点 D 作 DFAC，垂足为点 F（1）判断 DF 与 O 的位置关系，并证明你的结论；（2）过点 F 作 FHBC，垂足为点 H若等边ABC 的边长为 4，求 FH 的长（结果保留根号）18 （8 分） （2012 秋 南通校级期中）如图，AE 是O 的直径，CD 是O 的切线，切点为 C，直线 BP 交O 于 A、B 两点且垂直于 CD，垂足为点 D，（1）求证：AC 平
7、分PAE； （2）若 AD+DC=6，AB=8，求O 的半径19 （9 分） （2005 宁德）已知：如图，直线 PA 交O 于 A、E 两点，PA 的垂线 DC 切O 于点 C，过 A 点作 O 的直径 AB（1）求证：AC 平分DAB；（2）若 DC=4，DA=2，求O 的直径全真优教中考数学第 4 页（共 21 页）20 （8 分） （2014 亳州一模）端午节期间，某食品店平均每天可卖出 300 只粽子，卖出 1只粽子的利润是 1 元经调查发现，零售单价每降 0.1 元，每天可多卖出 100 只粽子为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降 m（0m 1）元（1）零售单价下降 m
8、 元后，该店平均每天可卖出 只粽子，利润为 元（2）在不考虑其他因素的条件下，当 m 定为多少时，才能使该店每天获取的利润是 420元并且卖出的粽子更多？21 （8 分） （2014 杭州模拟）阅读下列材料：求函数 的最大值解：将原函数转化成 x 的一元二次方程，得 x 为实数，= =y+40，y 4因此，y 的最大值为4根据材料给你的启示，求函数 的最小值22 （12 分） （2013 合肥模拟）实验与操作：小明是一位动手能力很强的同学，他用橡皮泥做成一个棱长为 4cm 的正方体（1）如图 1 所示，在顶面中心位置处从上到下打一个边长为 1cm 的正方形孔，打孔后的橡皮泥块的表面积为 cm
9、2；（2）如果在第（1）题打孔后，再在正面中心位置（如图 2 中的虚线所示）从前到后打一个边长为 1cm 的正方形通孔，那么打孔后的橡皮泥块的表面积为 cm 2；（3）如果把（1） 、 （2）中的边长为 1cm 的通孔均改为边长为 acm（a 1）的通孔，能否使橡皮泥块的表面积为 118cm2？如果能，求出 a，如果不能，请说明理由全真优教中考数学第 5 页（共 21 页）23 （8 分） （2011 安徽模拟）合肥市百货集团旗舰店 2010 年春节期间的各项商品销售收入中，家用电器类收入为 600 万元，占春节销售总收入的 40%，该旗舰店预计 2012 年春节期间各项商品销售总收入要达到
10、2160 万元，且计划从 2010 年到 2012 年，每年经营收入的年增长率相同，问该旗舰店预计 2011 年春节期间各项商品销售总收入为多少万元？全真优教中考数学第 6 页（共 21 页）初中数学一元一次方程压轴题精选试卷参考答案与试题解析一选择题（共 10 小题，满分 60 分，每小题 6 分）1 （6 分） （2013 武汉模拟）如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4，O 为矩形 ABCD 的中心，以 D 为圆心 1 为半径作 D，P 为D 上的一个动点，连接 AP、OP，则AOP 面积的最大值为（ ）A4 B C D【考点】切线的性质；矩形的性质菁优网版权所有【分析】当 P
11、点移动到平行于 OA 且与D 相切时，AOP 面积的最大，由于 P 为切点，得出 MP 垂直与切线，进而得出 PMAC，根据勾股定理先求得 AC 的长，进而求得 OA 的长，根据ADM ACD，求得 DM 的长，从而求得 PM 的长，最后根据三角形的面积公式即可求得；【解答】解：当 P 点移动到平行于 OA 且与D 相切时，AOP 面积的最大，如图，P 是 D 的切线，DP 垂直与切线，延长 PD 交 AC 于 M，则 DMAC，在矩形 ABCD 中，AB=3 ，BC=4，AC= =5，OA= ，AMD=ADC=90， DAM=CAD，ADMACD， = ，AD=4，CD=3，AC=5 ，DM
12、= ，PM=PD+DM=1+ = ，AOP 的最大面积= OAPM= = ，故选 D全真优教中考数学第 7 页（共 21 页）【点评】本题考查了圆的切线的性质，矩形的性质，平行线的性质，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质，本题的关键是判断出 P 处于什么位置时面积最大；2 （6 分） （2015 广州）已知 2 是关于 x 的方程 x22mx+3m=0 的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形 ABC 的两条边长，则三角形 ABC 的周长为（ ）A10 B14 C10 或 14 D8 或 10【考点】解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质菁优
13、网版权所有【专题】压轴题【分析】先将 x=2 代入 x22mx+3m=0，求出 m=4，则方程即为 x28x+12=0，利用因式分解法求出方程的根 x1=2，x 2=6，分两种情况：当 6 是腰时，2 是等边；当 6 是底边时，2 是腰进行讨论注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验【解答】解：2 是关于 x 的方程 x22mx+3m=0 的一个根，224m+3m=0， m=4，x28x+12=0，解得 x1=2，x 2=6当 6 是腰时，2 是底边，此时周长=6+6+2=14；当 6 是底边时，2 是腰，2+26，不能构成三角形所以它的周长是 14故选 B【点评】此题主要考查了一元二次方
14、程的解，解一元二次方程因式分解法，三角形三边关系定理以及等腰三角形的性质，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验3 （6 分） （2004 临沂）若 x1、x 2 是关于 x 的方程 x2+bx3b=0 的两个根，且x12+x22=7那么 b 的值是（ ）A1 B7 C1 或 7 D7 或1【考点】根与系数的关系；解一元二次方程-因式分解法；根的判别式菁优网版权所有【专题】压轴题全真优教中考数学第 8 页（共 21 页）【分析】根据一元二次方程根与系数的关系和代数式变形列出方程求则可设 x1，x 2 是关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0，a，b，c 为常数）的两个实数
15、根，则x1+x2= ，x 1x2= 根据 x12+x22=（x 1+x2） 22x1x2 代入数值列出方程解即可【解答】解：x 1、x 2 是关于 x 的方程 x2+bx3b=0 的两个根，得 x1+x2=b，x 1x2=3b又 x12+x22=7，则（x 1+x2） 22x1x2=b2+6b=7，解得 b=7 或 1，当 b=7 时， =49840，方程无实数根，应舍去，取 b=1故选 A【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是经常使用的一种解题方法4 （6 分） （2011 河南模拟）某商场购进一批运动服用了 1000 元，每件按 10 元卖出
16、，假如全部卖出这批运动服所得的钱数与买进这批运动服所用的钱数的差就是利润，按这样计算，这次买卖所得的利润刚好是买进 11 件运动服所用的钱数，则这批运动服有（ ）A10 件 B90 件 C110 件 D150 件【考点】一元二次方程的应用；分式方程的应用菁优网版权所有【专题】销售问题；压轴题【分析】等量关系为：总售价成本 1000=1 件的成本11，把相关数值代入求正整数解即可【解答】解：设有 x 件运动服10x1000= 11，10x21000x=11000，即 x2100x1100=0，（x110 ） （x+10）=0，解得 x1=110，x 2=10（不合题意，舍去） ，经检验 x=11
17、0 是原方程的解故选 C【点评】考查一元二次方程的应用；得到利润的等量关系是解决本题的关键5 （6 分） （2005 漳州）关于 x 的一元二次方程 x22x4=0 的两根为 x1，x 2，那么代数式+ 的值为（ ）A B C2 D2全真优教中考数学第 9 页（共 21 页）【考点】根与系数的关系菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】由根与系数的关系得到：x 1+x2= =2，x 1x2= =4，然后把所求代数式化成根与系数相关的代数式，再代入其值即可求出代数式的值【解答】解：x 的一元二次方程 x22x4=0 的两根为 x1， x2，x1+x2= =2，x 1x2= =4，则 = = 故选 B
18、【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系解此类题目要会代数式变形为两根之积或两根之和的形式一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0）的根与系数的关系为：x1+x2= ，x 1x2= 6 （6 分） （2005 云南）若 x1、x 2 是方程 x2+3x+2=0 的两个根，那么 x12+x22 的值等于（ ）A3 B5 C 7 D13【考点】根与系数的关系菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】设 x1，x 2 是关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0，a，b，c 为常数）的两个实数根，则 x1+x2= ，x 1x2= 根据 x12+x22=（x 1+x2） 22x1x2 即可求
19、解【解答】解：根据题意 x1+x2=3，x 1x2=2，所以 x12+x22=（x 1+x2） 22x1x2=94=5，故选 B【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系和代数式变形，将根与系数的关系与代数式变形相结合是经常使用的一种解题方法7 （6 分） （2002 聊城）如果关于 x 的方程 x22（1k）x+k 2=0 有实数根 、，则 a+ 的取值范围是（ ）A+ 1 B+ 1 C+ D +【考点】根与系数的关系；根的判别式菁优网版权所有【专题】压轴题全真优教中考数学第 10 页（共 21 页）【分析】由于关于 x 的方程 x22（1 k）x+k 2=0 有实数根 、，则判别式0，由
20、此可以确定 k 的取值范围，然后利用根与系数的关系确定 a+ 的取值范围【解答】解：a=1，b= 2（1k） ，c=k 2，=b24ac=2（ 1k） 241k20，k ，a+=2（1 k）=22k，而 k ，+1故选 A【点评】将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法8 （6 分） （2000 河北）在 RtABC 中，C=90，a、b、c 分别是A 、B、C 的对边，a、b 是关于 x 的方程 x27x+c+7=0 的两根，那么 AB 边上的中线长是（ ）A B C5 D2【考点】根与系数的关系；直角三角形斜边上的中线；勾股定理菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】由于 a、b 是关于 x 的方程 x27x+c+7=0 的两根，由根与系数的关系可知：a+b=7， ab=c+7；由勾股定理可知：a 2+b2=c2，则（a+b） 22ab=c2，即 492（c+7）=c 2，由此求出 c，再根据直角三角形斜边中线定理即可得中线长【解答】解：a、b 是关于 x 的方程 x27x+c+7=0 的两根，根与系数的关系可知：a+b=7，ab=c+7；由直角三角形的三边关系可知：a 2+b2=c2，则（a+b） 22ab=c2，即 492（ c+7）=c 2，解得 c=5 或 7（舍去） ，再根据直角三角形斜边中线定理得：中线长为 答案：AB 边上的中线长是 故选 B
