小学数学奥林匹克竞赛真题集锦及解答.doc

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1、1小学数学奥林匹克竞赛真题集锦及解答一、填空题1三个连续偶数,中间这个数是 m,则相邻两个数分别是_m-2_和_m+2_ _。2有一种三位数,它能同时被 2、3、7 整除,这样的三位数中,最大的一个是_966_,最小的一个是_126_。解题过程:237=42;求三位数中 42 的倍数 126、168、9663小丽发现:小表妹和读初三哥哥的岁数是互质数,积是 144,小表妹和读初三哥哥的岁数分别是_9_岁和_16_岁。解题过程:144=222233 ;(9、16)=14一个四位数,它的第一个数字等于这个数中数字 0 的个数,第二个数字表示这个数中数字 1 的个数,第三个数字表示这个数中数字 2

2、的个数,第四个数字等于这个数中数字 3 的个数,那么这个四位数是_1210_。52310 的所有约数的和是_6912_。解题过程:2310=235711;约数和=(1+2 )(1+3)(1+5)(1+7)(1+11)6已知 2008 被一些自然数去除,得到的余数都是 10,这些自然数共有_11_个。解题过程:2008-10=1998;1998=23 337;约数个数 =(1+1)(1+3)(1+1)=16(个)其中小于 10 的约数共有 1,2,3,6,9;16-5=11(个)7从 1、2、3、1998、1999 这些自然数中,最多可以取多少个数,才能使其中每两个数的差不等于 4?_ 1000

3、 _。解题过程:1,5,9, 13,1997(500 个) 隔 1 个取 1 个,共取 250 个2,6,10,14,1998(500 个)隔 1 个取 1 个,共取 250 个3,7,11,15,1999(500 个)隔 1 个取 1 个,共取 250 个4,8,12,16,1996(499 个)隔 1 个取 1 个,共取 250 个8黑板上写有从 1 开始的若干个连续的奇数:1,3,5,7,9,11,13擦去其中的一个奇数以后,剩下的所有奇数之和为 1998,那么擦去的奇数是_27_。2解题过程:1+3+5+(2n-1 )=n2;4545=2025;2025-1998=279一个 1994

4、 位的整数,各个数位上的数字都是 3。它除以 13,商的第 200 位(从左往右数)数字是_5_,商的个位数字是_6_,余数是_5_。解题过程:33333333313=256410 25641010在小于 5000 的自然数中,能被 11 整除,并且数字和为 13 的数,共有_18_个。解题过程:能被 11 整除的条件是:奇数位数字和与偶数位数字和相差为 11 的倍数;1 位数不满足条件;2 位数也不满足条件(各位数字应相等,数字和不等于 13);应为 3 或 4 位数;13=12+1;偶数位数字和=1,奇数位数字和=12 时,共有 14 个;偶数位数字和=12,奇数位数字和=1 时,共有 4

5、 个;14+4=18(个)11设 n 是一个四位数,它的 9 倍恰好是其反序数(例如:123 的反序数是 321) ,则n_1089_。解题过程:千位只能是 1;个位只能是 9;百位只能是 0 或 1;如百位是 1,则十位必须为 0, 但所得数 1109 不满足题意;如百位是 0,则十位必须为 8,得数 1089 满足题意12555555 的约数中,最大的三位数是_555_。解题过程:555555= 35113791;3537=55513设 a 与 b 是两个不相等的自然数,如果它们的最小公倍数是 72,那么 a 与 b 之和可以有_17_种不同的值。解题过程:72=22233;a=72 ,b

6、=(1+3)(1+2)-1=12-1=11;a=36,b=8 或 24;a=24,b=9 或 18;a=18,b=8;a=9,b=8;11+6=1714小明的两个衣服口袋中各有 13 张卡片,每张卡片上分别写着 1,2,3,13。如果从这两个口袋中各拿出一张卡片来计算它们所写两数的乘积,可以得到许多不相等的乘积,那么,其中能被 6 整除的乘积共有_21_个。解题过程:61,2,3,13 共 13 个;127,8,9,13=614,16,18,26 共 7 个;910=615 共 1 个; 13+7+1=21(个)15一列数 1,2,4,7,11,16,22,29,这列数的组成规律是第 2 个数

7、比第 1 个数多31;第 3 个数比第 2 个数多 2;第 4 个数比第 3 个数多 3;依此类推。那么这列数左起第1992 个数除以 5 的余数是_2_。解题过程:a 2-a1=1;a3-a2=2;an-1-an-2=n-2;an-an-1=n-1;an-a1=1+2+3+n-1=n(n-1)/2;an= n(n-1)/2+1;a1992=1992(1992-1)/2+1=9961991+1=(995+1)(1990+1)+116两个自然数的和是 50,它们的最大公约数是 5,则这两个数的差是_ 20 或 40 _。解题过程:(a 、b)=5;5|a,5|b;a=5,b=45 或 a=15,

8、b=3517将一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数,它与原数相加,得到的和恰好是某个自然数的平方,这个和是_121_。解题过程:和可能为两位数,也可能为三位数,但肯定是 11 的倍数,即 11 的平方。18100 以内所有被 5 除余 1 的自然数的和是_970_。解题过程:1+6+11+16+91+96= (1+96)202=970199 个连续的自然数,它们都大于 80,那么其中质数至多_4_个。解题过程:9 个连续的自然数,末尾可能是 0-9,末尾是 0、2、4、6、8 的一定被 2 整除,末尾是5 的一定被 5 整除,每 连续 3 个自然数中一定有一个是 3 的倍数,只有末

9、尾是1、3、7、9 的数可能是质数于是 质数只可能在这 5 个连续的奇数中,所以质数个数不能超过 420如果一个自然数的约数的个数是奇数,我们称这个自然数为“希望数” ,那么,1000 以内最大的“希望数”是_961_。解题过程:自然数的因数都是成对出现的,比如 1 和本身是一对,出现奇数个因数的时候是因为其中有一对因数是相等的,即这个自然数是完全平方数。1000 以内最大的完全平方数是 312=961,所以这个希望数是 96121两个数的最大公约数是 21,最小公倍数是 126。这两个数的和是_105 或 147_。解题过程:126=2123;这 两个数是 42 和 63,或 21 和 12

10、622甲数是 36,甲乙两数的最小公倍数是 288,最大公约数是 4,乙数应该是_32_。解题过程: 4 | 36 48=32 364=9 28849=8423一个三位数能同时被 2、5、7 整除,这样的三位数按由小到大的顺序排成一列,中间的一个是_560_。解题过程:257=70;702,3, 4,13,14=140,210,280,910,98024有四个互不相等的自然数,最大数与最小数的差等于 4,最小数与最大数的积是一个奇数,而这四个数的和是最小的两位奇数,那么这四个数的乘积是_30_。解题过程:最小数、最大数均为奇数,中 间有一个偶数,4 个数和为 11,分别为 1、2、3、525两

11、个整数相除得商数是 12 和余数是 26,被除数、除数、商数及余数的和等于 454,除数是_30_。解题过程:设除数是 X,则 12X+26+X+12+26=454;X=3026在 123100 的积的尾部有_21_个连续的零。解题过程:尾数为 5 的共 10 个,尾数 1 个 0 的 9 个,2 个 0 的 1 个,共 21 个 027有 0、1、4、7、9 五个数字,从中选出四个数组成一个四位数(例如 1409) ,把其中能被 3 整除的这样的四位数,从小到大排列起来,第 5 个数的末位数字是_9_。解题过程:1047、1074、1407、1470、 1704、1740、4017、4071

12、、4107、41701479、1497、1749、179428一些四位数,百位数字都是 3,十位数字都是 6,并且他们既能被 2 整除又能被 3 整除。甲是这样四位数中最大的,乙是最小的,则甲乙两数的千位数字和个位数字(共四个数字)的总和是_18_。解题过程:求?36?中能被 3 整除的偶数;甲为 9366,乙为 1362;9+6+1+2=1829把自然数按由小到大的顺序排列起来组成一串数:1、2、3、9、10、11、12、,把这串数中两位以上的数全部隔开成一位数字,组成第二串数:1、2、9、1、0、1、1、1、2、1、3、。则第一串数中 100 的个位数字 0 在第二串数中是第_192_个数

13、。解题过程:1-9(共 9 个), 10-99(共 180 个),100(共 3 个)30某个质数与 6、8、12、14 之和都仍然是质数,一共有_1_个满足上述条件的质数。解题过程:除 2 和 5 以外,其它质数的个位都是 1,3,7,9;56,8,12,14 都是偶数,加上唯一的偶数 质数 2 和仍然是偶数,所以不是 2;14 加上任何尾数是 1 的质数,最后的尾数都是 5,一定能被 5 整除;12 加上任何尾数是 3 的质数,尾数也是 5;8 加上任何尾数是 7 的质数,尾数也是 5;6 加上任何尾数是 9 的质数,尾数也是 5;所以,这个质数的末位一定不是 1,3,7,9;只有 5 符

14、合31已知 a 与 b 的最大公约数是 12,a 与 c 的最小公倍数是 300,b 与 c 的最小公倍数也是300。那么满足上述条件的自然数 a、b、c 共有_30_组。 (例如a12,b300,c300,与 a300,b12,c300 是不同的两个自然数组)解题过程:(a,b)=12,a=12m,b=12n(m,n=1 或 5 或 25,且(m ,n)=1);a,c=300,b,c=300,c=25k(k=1,2,3,4,6,12);当 m=1,n=1 时,a=12,b=12,c=25k当 m=1,n=5 时,a=12,b=60,c=25k当 m=1,n=25 时,a=12,b=300,c

15、=25k 当 m=5,n=1 时,a=60,b=12,c=25k当 m=25,n=1 时,a=300,b=12,c=25k故有 30 组32从左向右编号为 1 至 1991 号的 1991 名同学排成一行。从左向右 1 至 11 报数,报数为11 的同学原地不动,其余同学出列;然后留下的同学再从左向右 1 至 11 报数,报数为 11的同学留下,其余同学出列;留下的同学第三次从左向右 1 至 11 报数,报到 11 的同学留下,其余同学出列。那么最后留下的同学中,从左边数第一个人的最初编号是_1331_。解题过程:111111=133133在 1,9,8,9 后面写一串这样的数字:先计算原来这

16、 4 个数的后两个之和 8917,取个位数字 7 写在 1,9,8,9 的后面成为 1,9,8,9,7;再计算这 5 个数的后两个之和9716;取个位数字 6 写在 1,9,8,9,7 的后面成为 1,9,8,9,7,6;再计算这 6个数的后两个之和 7613,取个位数字 3 写在 1,9,8,9,7,6 的后面成为1,9,8,9,7,6,3。继续这样求和,这样填写,成为数串1,9,8,9,7,6,3,9,2,1,3,4那么这个数串的前 398 个数字的和是_1990_。6解题过程:1,9,|8 ,9,7,6,3,9,2,1,3,4,7,1,|8,9,7,6,3,398-2=396;39612

17、=33;8+9+7+6+3+9+2+1+3+4+7+1=60;6033+10=1990二、判断题1两个连续整数中必有一个奇数一个偶数。 ( )2偶数的个位一定是 0、2、4、6 或 8。 ( )3奇数的个位一定是 1、3、5、7 或 9。 ( )4所有的正偶数均为合数。 ( )5奇数与奇数的和或差是偶数。 ( )6偶数与奇数的和或差是奇数。 ( )7奇数与奇数的积是奇数。 ( )8奇数与偶数的积是偶数。 ( )9任何偶数的平方都能被 4 整除。 ( )10任何奇数的平方被 8 除都余 1。 ( )11相邻偶数最大公约数为 2,最小公倍数为它们乘积的一半。 ( )12任何一个自然数,不是质数就是

18、合数。 ( )13互质的两个数可以都不是质数。 ( ) 14如果两个数的积是它们的最小公倍数,这两个数一定是互质数。 ( )三、计算题1能不能将(1)505;(2)1010 写成 10 个连续自然数之和?如果能,把它写出来;如果不能,说明理由。解题过程:S=n+(n+1)+ (n+2)+(n+3)+(n+4)+(n+5)+(n+6)+(n+7)+(n+8)+(n+9)=10n+45(一定是奇数)(1)505=45+46+47+48+49+50+51+52+53+54(2)1010 是偶数,不能写成 10 个连续自然数之和72 (1)从 1 到 3998 这 3998 个自然数中,有多少个能被

19、4 整除?(2)从 1 到 3998 这 3998 个自然数中,有多少个数的各位数字之和能被 4 整除?解题过程:(1)39984=999(个)2(2)考虑个位,选法有 10 种;十位, 选法有 10 种;百位 选法有 10 种;选定之后个位、十位、百位数字之和除以 4 的余数有 3 种情况,余 0、余 1、余 2、余 3,对应这四种在千位上刚好有一种与之对应,共有 1000 个;1000-1=999(个)3请将 1,2,3,99,100 这一百个自然数中既是奇数又是合数的自然数排成一行,使每两个相邻的数都不互质(若一行写不下,可移至第二行接着写,若第二行仍写不下,可移至第三行接着写) 。解题

20、过程:9,15,21, 27,33,39,45,51,57,63,69,75,81,87,93,9915,25,35,55,65,85,9521,35,49,77,9133,55,77,9925,35,55,65,85,95;15,9,21,27,33,39,45,51,57,63,69,75,81,87,93,99;77,91,494一个自然数除以 8 得到的商加上这个数除以 9 的余数,其和是 13。求所有满足条件的自然数。解题过程:设这个数为 n,除以 9 的余数 r8,所以除以 8 得到的商 q13-8=5,且 q13n=8q+k=9p+r=k=9p+r-8p=9p+r-8(13-r)

21、=9(p+r)-104=4q=5,n=85+4=44q=6,n=86+4=52q=7,n=87+4=60q=8,n=88+4=68q=9,n=89+4=76q=10,n=810+4=84q=11,n=811+4=928q=12,n=812+4=100q=13,n=813+4=1085有红、黄、蓝、绿四种颜色的卡片,每种颜色的卡片各有 3 张。相同颜色的卡片上写相同的自然数,不同颜色的卡片上写不同的自然数。老师把这 12 张卡片发给 6 名同学,每人得到两张颜色不同的卡片。然后老师让学生分别求出各自两张卡片上两个自然数的和。六名同学交上来的答案分别为:92、125、133、147、158、191

22、。老师看完 6 名同学的答案后说,只有一名同学的答案错了。问:四种颜色卡片上所写各数中最小数是多少?解题过程:设四张卡片上的数从小到大分别为 A、B、C、D,则六位同学所计算的分别为A+B、A+C、A+D、B+C、B+D、C+D 这 6 个和数,且最小的两个依次为A+B、A+C,最大的两个依次 为 C+D、B+D。(A+B)+(C+D)=(A+C)+(B+D)=(A+D)+(B+C);而 92+191=283=125+158,133+147=280283;所以,A+B=92, A+C=125,B+D=158,C+D=191;133、147 中有一个不正确。若 147是正确的,则 B+C=147

23、,A+D=283-147=136。C-B=(A+C)-(A+B)=125-92=33 = C=90,B=57,A=92-57=35,D=191-90=101若 133是正确的,则 A+D=133,B+C=283-133=150。C-B=(A+C)-(A+B)=125-92=33 = B=50,C=83,A=92-50=42,D=191-83=108所以,四种颜色卡片上所写各数中最小数是 35 或 42。6有三个数字能组成 6 个不同的三位数,这 6 个三位数的和是 2886,求所有这样的 6 个三位数中最小的三位数。 (说明理由)解题过程:设这三个数字从小到大分别为 A、B、C,显然,它们互不

24、相等且都不等于 0。则 222(A+B+C)=2886 = A+B+C=2886222=13百位数为 1 是最小的,另两个数分别为 3 和 9;所以最小的三位数为 1397求小于 1001 且与 1001 互质的所有自然数的和。解题过程:100171113121000=(11000)10002 500500971421994(7994)1422710711122990(11990)902450451326988(13988)7623803877+154+231+924=(77+924)122=600691+182+273+910=(91+910)102=5005143+286+429+858=

25、(143+858)62=3003500500710714504538038+6006+5005+3003 3603608三张卡片,在它们上面各写一个数字(如图) 。从中抽出一张、二张、三张,按任意次序排列起来,可以得到不同的一位数、二位数、三位数。请你将其中的质数都写出来。解题过程:2、3、13、 23、319一串数排成一行,它们的规律是这样的:头两个数都是 1,从第三个数开始,每一个数都是前两个数的和,也就是:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,。问:这串数的前100 个数是(包括第 100 个数)有多少个偶数?解题过程:1003=33 (个)110从小到大写出 5 个质数,使后

26、面的数都比前面的数大 12。解题过程:5,17,29, 41,5311有 15 位同学,每位同学都有编号,它们是 1 号到 15 号。1 号同学写了一个自然数,2号说:“这个数能被 2 整除” ,3 号说“这个数能被 3 整除” ,依次下去,每位同学都说,这个数能被他的编号数整除,1 号作了一一验证,只有编号相邻的两位同学说得不对,其余同学都对,问:(1)说得不对的两位同学,他们的编号是哪两个连续自然数?(2)如果告诉你,1 号写的数是五位数,请求出这个数。 (写出解题过程)解题过程:(1)如果 15 号说的不对,那么这个数不能被 15 整除,则它不能被 3 或者 5 之一整除,即 3 号或者

27、 5 号说的不对,这与相邻编号两位同学说的不对矛盾!故而这个数能被 15 整除,同时也能被 3 和 5 整除。同理,如果 14 号不对,那么它不能被 2 或者7 整除,矛盾。即这个数能被 14 整除,也能被 2 和 7 整除;同理,如果 12 号不对,那么它不能被 4 整除,矛盾。即这个数能被 4 和 12 整除。那么这个数能被 2*5=1010整除。将 2 到 15 中能被整除这个数的数划去, 发现编号相邻的只有 8 和 9,即 8 号和 9 号说的不对。(2)1 号写的数 为 N。N 能被 22 * 3 * 5 * 7 * 11 * 13 = 60060 整除,不能被 23 或者32 整除;而又已知 N 是五位数,故 N=60060。12一个自然数被 8 除余 1,所得的商被 8 除也余 1,再把第二次所得的商被 8 除后余 7,最后得到一个商是 a(见短除式(1) ) 。又知这个自然数被 17 除余 4,所得的商被 17 除余15,紧后得到一个商是 a 的 2 倍(见短除式(2) ) ,求这个自然数。解题过程:N=8 (8(8a+7)+1)+1=17(172a+15)+4= a=3= N=1993

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