初中圆复习已经整理.doc

1、- 1 -初中圆复习一、圆的概念集合形式的概念：1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线） ；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都

2、相等的一条直线。二、点与圆的位置关系1、点在圆内 点 在圆内；drC2、点在圆上 点 在圆上；B3、点在圆外 点 在圆外；A三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 无交点；r2、直线与圆相切 有一个交点；d3、直线与圆相交 有两个交点；drd=rr d四、圆与圆的位置关系外离（图 1） 无交点 ；dRr外切（图 2） 有一个交点 ；相交（图 3） 有两个交点 ；Rrdr内切（图 4） 有一个交点 ；r内含（图 5） 无交点 ；d周1rRd周3rRd五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直

3、平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论，即： 是直AB径 弧 弧 ABCDECD 弧 弧 中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在 中， 弧 弧OABCDB六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称 1 推 3 定理，即上述四个结论中，只要知道其中的 1 个相等，则可以推出其它的3 个结论，即： ； ；AOB

4、DEAB ； 弧 弧CF周2rRd周4rRd周5rRdOE DCBAOC DA B- 2 -七、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即： 和 是弧 所对的圆心角和圆周角AOBCAB 22、圆周角定理的推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在 中， 、 都是所对的圆周角OCD 推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在 中， 是直径 或AB90 是直径90推论 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在 中，CO 是直角三角形或 9

5、0注意 ：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在 中， O四边 是内接四边形ABCD 180CBAD180BEC九、切线的性质与判定定理1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即： 且 过半径 外端MNOAA 是 的切线2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上 三个定理及推论也称二 推一定理：即： 过圆心；过

6、切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即： 、 是的两条切线PAB ； 平分OPA十一、圆幂定理1、相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在 中，弦 、 相交于点 ，BCD PA推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在 中，直径 ， O 2CEB2、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在 中， 是切线， 是割线OPABrddCBAOFEDC BA

7、OCBAOD CBAOCB AOCB AOEDCBANM AOPBAOPO DCBAO EDCB A- 3 - 2PACB3、割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如右图） 。即：在 中， 、 是割线OPBE CD十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图： 垂直平分 。12A即： 、 相交于 、 两点OB 垂直平分12十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长： 中，12RtOC；21AB（2）外公切线长： 是半径之差； 内公切线长： 是2 2CO半径之和 十四、圆内正多边形的计算（1）正三角

8、形 在 中 是正三角形，有关计算在 中进OABCRtBD行： ；:1:32D（2）正四边形同理，四边形的有关计算在 中进行，RtOAE：:1:2OEA（3）正六边形同理，六边形的有关计算在 中进行，tB.:3B十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：（1）弧长公式： ；180nRl（2）扇形面积公式： 236Sl：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 nR：扇形弧长 ：扇形面积lS lBAO2、圆柱： （1）圆柱侧面展开图=2S侧表 底 2rh（2）圆柱的体积： 2V3、圆锥侧面展开图（1） =S侧表 底 2Rr（2）圆锥的体积： 13VhD EC BPAOBAO1 O2CO2O1BADCB

9、AOECBA DOBAO周周周周周周周周 C1D1DCBA- 4 -十六、内切圆及有关计算。（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。（2）ABC 中，C=90，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径 r= 。 cba（3）S ABC = ，其中 a，b，c 是边长，r 是内)(21r切圆的半径。（4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。如图，BC 切O 于点 B，AB 为弦，ABC 叫弦切角，DBE=A。 练习题1若O 的半径为 4cm，点 A 到圆心 O 的距离为 3cm，那么点 A 与O 的位置关系是( ) A点 A 在圆内 B点

10、 A在圆上 c点 A 在圆外 D不能确定2已知O 的半径为 5,弦 AB 的弦心距为 3,则 AB 的长是 3如图，MN 是半径为 1 的O 的直径，点 A 在O 上，AMN=30 ，B 为 AN 弧的中点，点 P 是直径 MN 上一个动点，则求 PA+PB 的最小值4 如图 2，已知 BD 是O 的直径，O 的弦 ACBD 于点E，若 AOD=60 ，则DBC 的度数为 5与直线 L 相切于已知点的圆的圆心的轨迹是_6已知直角三角形的两直角边长分别为 5 和 12，则它的外接圆半径 R=_，内切圆半径 r=_7O 的半径为 6，O 的一条弦 AB 为 6 ，以 3 为半径的同心圆与直线 AB

11、 的位置关系是 8PA 、 PB 是O 的切线，切点是 A 、B，APB=50，过A 作 O 直径 AC，连接 CB，则PBC=_9如图 4，AB 是 O 的直径，弦 AC、BD 相交于 P，则CD AB 等于AsinBPC BCos BPC CTan BPC Dcot BPC10如图 5，点 P 为弦 AB 上一点，连结 OP，过 PC 作PCOP，PC 交O 于 C，若 AP=4， PB=2，则 PC 的长是A 2B2 C2 D311圆的最大的弦长为 12 cm，如果直线与圆相交，且直线与圆心的距离为 d，那么A、 d12 cm12如图 6，在以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB

12、是小圆的切线，P 为切点，设 AB=12，则两圆构成圆环面积为_13如图 7，PE 是O 的切线，E 为切点，PAB、PCD 是割线，AB=35 ，CD =50，ACDB =12，则PA=_14如 图 8， AB 是 O 的 直 径 ， 点 D 在 AB 的 延 长 线 上 ， 且BD=OB， 点 C 在 O 上 ， CAB=30， 求证：DC 是O 的切线B EOA DB1RrC BAO周2EDCBAo_N_M_B_A_P _O- 5 -15 如图，AB 既是C 的切线也是D 的切线，C 与D相外切，C 的半径 r=2，D 的半径 R=6，求四边形 ABCD的面积。16如 图 10， BC

13、是 O 的 直 径 ， A 是 弦 BD 延 长 线 上 一 点 ，切 线 DE 平 分 AC 于 E， 求 证 ：(1) AC 是O 的切线 (2)若 ADDB=32，AC=15 ，求O 的直径(12 分) 17如图 11，AB 是O 的直径，点 P 在 BA 的延长线上，弦 CD AB，垂足为 E，且 PC2=PEPO(1)求证：PC 是O 的切线；(2) 若 OEEA=12， PA=6，求O 的半径；(3)求sinPCA 的值(12 分)18如图，O 的两条割线 AB、AC 分别交圆 O 于 D、B 、E、C ，弦 DF/AC 交 BC 于 C（1）求证： ；GBFA（2）若 CFAE求

14、证：ABC 为等腰三角形19.如图 12，AB 是O 的直径，弦 CDAB 与点 E，点 P 在O 上，1=C，（1）求证：CBPD ；（2）若 BC=3，sinP= ，求O 的直径。3520如图 13，ABC 内接于O，AB 是O 的直径，PA 是过A 点的直线，PACB（l）求证：PA 是 O 的切线；（2）如果弦 CD 交 AB 于 E，CD 的延长线交 PA 于F，AC 8，CE：ED6：5，AE ： EB2：3，求 AB 的长和 ECB 的正切值 21如图，在 RtABC 中，B90，A 的平分线交 BC于点 D，E 为 AB 上的一点，DE DC，以 D 为圆心，DB 长为半径作D

15、，求证：（l）AC 是D 的切线；（2）ABEB AC 22如图，AB 是 O 的直径，以 OA 为直径的 ；与O1的弦 AC 相交于 D， DEOC，垂足为 E（l）求证： ADDC；（2）求证： DE 是 的切线；1（3）如果 OEEC，请判断四边形 OED 是什么四边1O形，并证明你的结论 1OA BCDE考点一：与圆相关概念的应用利用与圆相关的概念来解决一些问题是必考的内容，在复习中准确理解与圆有关的概念，注意分清它们之间的区别和联系.1.运用圆与角（圆心角，圆周角），弦，弦心距，弧之间的关系进行解题【例 1】 已知：如图所示，D CAB图 10 图 11AB CDE A BCDPOE

16、F图 12 ABCDEO FG- 6 -在ABO 中，AOB=90，B=25，以 O 为圆心，OA 长为半径的圆交 AB 于 D，求弧 AD 的度数.【例 2】 如图，A、B、C 是O 上的三点，AOC=100，则ABC 的度数为（ ）. 30 . 45 . 50 . 602.利用圆的定义判断点与圆，直线与圆、圆与圆的位置关系【例 3】 已知O 的半径为 3cm，A 为线段 OM 的中点，当 OA满足：（1）当 OA=1cm 时，点 M 与O 的位置关系是 .（2）当 OA=1.5cm 时，点 M 与O 的位置关系是 .（3）当 OA=3cm 时，点 M 与O 的位置关系是 .【例 4】 O

17、的半径为 4，圆心 O 到直线 l 的距离为 3，则直线 l 与O 的位置关系是（ ）. 相交 . 相切 . 相离 . 无法确定【例 5】 两圆的半径分别为 3cm 和 4cm，圆心距为 2cm，那么两圆的位置关系是_.3.正多边形和圆的有关计算【例 6】 已知正六边形的周长为 72cm，求正六边形的半径，边心距和面积.4.运用弧长及扇形面积公式进行有关计算【例 7】 如图，矩形 ABCD 中，BC=2，DC=4，以 AB 为直径的半圆 O 与 DC相切于点 E，则阴影部分的面积为5.运用圆锥的侧面弧长和底面圆周长关系进行计算【例 8】 已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的母线长与底面

18、半径长的比是 .考点二：圆中计算与证明的常见类型1.利用垂径定理解题垂径定理及其推论中的三要素是：直径、平分、过圆心，它们在圆内常常构成圆周角、等分线段、直角三角形等，从而可以应用相关定理完成其论证或计算.【例 1】 在O 中，弦 CD 与直径 AB 相交于点 P，夹角为 30，且分直径为 15 两部分，AB=6，则弦 CD 的长为 . 2 . 4 . 4 . 22.利用“直径所对的圆周角是直角”解题“直径所对的圆周角是直角”是非常重要的定理，在解与圆有关的问题时，常常添加辅助线构成直径所对的圆周角，以便利用上面的定理.【例 2】 如图，在O 的内接ABC 中，CD是 AB 边上的高，求证：A

19、CD=OCB.3.利用圆内接四边形的对角关系解题圆内接四边形的对角互补，这是圆内接四边形的重要性质，也揭示了确定四点共圆的方法.【例 3】 如图，四边形 ABCD 为圆内接四边形，E 为 DA 延长线上一点，若C45，AB ，则点 B 到 AE2的距离为_.4. 判断圆的切线的方法及应用判断圆的切线的方法有三种：（1）与圆有惟一公共点的直线是圆的切线；（2）若圆心到一条直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线；（3）经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.【例 4】 如图，O 的直径 AB=4，ABC=30，BC= ，D34是线段 BC 的中点.（ 1）试判断点 D 与O 的位置关

20、系，并说明理由.（2）过点 D 作 DEAC，垂足为点 E，求证：直线 DE 是O 的切线. 【例 5】 如图，已知 O 为正方形 ABCD 对角线上一点，以 O 为圆心，OA 的长为半径的O 与 BC 相切于 M，与 AB、AD 分别相交于 E、F，求证 CD 与O 相切.【例 6】 如图，半圆 O 为ABC 的外接半圆，AC 为直径，D为劣弧 上一动点，P 在 CB 的延长线上，且有BAP=BDA.求证：AP 是半圆 O 的切线.【巩固练习】1. 选择题：1. O 的半径为 R，点 P 到圆心 O 的距离为 d，并且 dR，则 P 点 A.在O 内或圆周上 B.在O 外C.在圆周上 D.在

21、O 外或圆周上2. 由一已知点 P 到圆上各点的最大距离为 5，最小距离为 1，则圆的半径为 A、2 或 3 B、3 C、4 D、2 或 43.如图，O 中，ABDC 是圆内接四边形，BOC=110，则BDC 的度数是 A.110 B.70 C.55 D.1254.在O 中，弦 AB 垂直并且平分一条半径，则劣弧 AB 的度数BOAP C- 7 -DEBACO等于 A.30 B.120 C.150 D.605.直线上有一点到圆心 O 的距离等于O 的半径，则直线与O 的位置关系是 、相离 、相切 、相切或相交 、相交6、如图，切O 于，交O 于点、，若PA5，PBB，则的长是 、10 、5 、

22、 、2537如图，某城市公园的雕塑是由 3 个直径为 1m 的圆两两相垒立在水平的地面上，则雕塑的最高点到地面的距离为 A B. C. D. 22238、已知两圆的圆心距是 9，两圆的半径是方程 2x217x+35=0的两根，则两圆有 条切线。A、 1 条 B、2 条 C、3 条 D、4 条9、如果等腰梯形有一个内切圆并且它的中位线等于 20cm，则梯形的腰长为 、 、 、 、10 如图，O 1和O 2相交于 A、B 两点，且 A O1、A O2分别是两圆的切线，A 是切点，若O 1的半径 r=3，O 2的半径R=4，则公共弦 AB 的长为 A、2 B、4.8 C、3 D、2.411、水平放置

23、的排水管（圆柱体）截面半径是 1cm，水面宽也是 1cm，则截面有水部分（弓形）的面积是 A、 B、 C、 D、 或 二. 填空题：12.6cm 长的一条弦所对的圆周角为 90，则此圆的直径为 。 13.在O 中，AB 是直径，弦 CD 与 AB 相交于点 E，若 ，则 CE=DE（只需填一个适合的条件） 。14.在圆内接四边形 ABCD 中，ABC=521，则D= 。15.若三角形的外心在它的一条边上，那么这个三角形是 。16.如图，圆内接四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于 E 点，AB=120，CD=70则AEB= 。 17已知两个圆的半径分别为 8 cm 和 3 cm，两个圆的

24、圆心距为 7 cm，则这两个圆的外公切线长为 。18.如图，O 中，弦 AB弦 CD 于 E，OFAB 于 F，OGCD 于G，若 AE=8cm，EB=4cm，则 OG= cm。19. 已知圆锥的母线长为 5 厘米，底面半径为 3 厘米，则它的侧面积为 。四.解答题20.如图在ABC 中，C=90，点 O 为 AB 上一点，以 O 为圆心的半圆切 AC 于 E，交 AB 于 D，AC=12，BC=9，求 AD 的长。21.如图在O 中，C 为 ACB 的中点，CD 为直径，弦 AB 交 CD 于点 P，又 PECB 于 E，若 BC=10，且 CEEB=32，求 AB 的长 22.已知：如图，A 是以 EF 为直径的半圆上的一点，作 AGEF交 EF 于 G，又 B 为 AG 上一点，EB 的延长线交半圆于点 K，- 8 -求证： EKBA223.已知：如图，ABC 内接于O，AE 是O 的直径，CD 是ABC 中 AB 边上的高，求证：ACBC=AECD