1、11四边形经典 考点 1 特殊的平行四边形的性质与判定1矩形的定义、性质与判定（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。（2）矩形的性质：矩形的对角线_；矩形的四个角都是_角。矩形具有_的一切性质。矩形是轴对称图形，对称轴有_条，矩形也是中心对称图形，对称中心为_的交点。矩形被对角线分成了_个等腰三角形。（3）矩形的判定有一个是直角的平行四边形是矩形；有三个角是_的四边形是矩形；对角线_ _的平行四边形是矩形。温馨提示：矩形的对角线是矩形比较常用的性质，当对角线的夹角中，有一个角为 60 度时，则构成一个等边三角形；在判定矩形时，要注意利用定义或对角线来判定时，必须先证明此四边形为平
2、行四边形，然后再一个角为直角或对角线相等。很多同学容易忽视这个问题。2菱形的定义、性质与判定（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。（2）菱形的性质菱形的_都相等；菱形的对角线互相_ _，并且每一条对角线_一组对角；菱形也具有平行四边形的一切性质。菱形即是轴对称图形也是中心对称图形，对称轴有_ _条。（3）菱形的面积菱形的面积=底高，菱形的面积= ab，其中 a，b 分别为菱形两条对角线的长。菱形被对角线分成了 4 个全等的直角三角形。21（4）菱形的判定：_都相等的四边形是菱形；对角线_的平行四边形是菱形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形。温馨提示：在利用菱形的判定时，也要注意所
3、要证明的四边形是不是平行四边形，而你用的判定定理需不需要证明它是平行四边形，有对角线时，通常考虑利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形来证明，否则一般不利用此定理。3正方形的性质及判定方法（1）正方形的性质：正方形的四个角都是_，四条边都_；正方形的两条对角线_，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形即是轴对称图形也是中心对称图形。正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（2）正方形的判定方法：有一组邻边相等的_ _是正方形；对角线互相_的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形；对角线_的菱形是正方形。温馨提示：无论是正方形的性质还是正方形的判定，它的中心思想就是正方形即是矩形
4、，又是菱形，如果都从这个出发，则一切的性质与判定就都有了。但要注意在利用对角线判定正方形时， “平分”这个前提，因为只有对角线平分了，此四边形才是平行四边形了，然后再证明是矩形又是菱形。考点 2 梯形的概念及判定方法221梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。（1）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形；（2）直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。在初中阶段重点研究等腰梯形。2等腰梯形的性质与判定性质：（1）等腰梯形中，同一底上的两个角相等；（2）等腰梯形的对角线相等；判定：（1）同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；（2）对角线相等的梯形是等腰梯形；（3）有两个腰相等
5、的梯形是等腰梯形。3梯形中常用的辅助线：梯形的辅助线 分割后的图形 图形示意1.平移一腰将梯形分割成一个平行四边形和一个三角形2.平移两腰 将梯形分割成两个平行四边形和一个三角形3.平移对角线将梯形分割成一个平行四边形和一个三角形4.作双高将梯形分割成一个矩形形和一个三角形5.延长两腰将梯形分割成两个三角形6.连接一顶点和一腰中点将梯形分割成一个三角形温馨提示：在涉及梯形的题目中，通常要添加辅助线，把梯形问题转化为三角形或平行四边形题，然后再利用这两种图形的性质解题，所以掌握常用的辅助线对解决梯形问题，至关重要，所以平时同学们要注意搜集或留意辅助线的作法，使它们变成自己的东西。中考热点难点突破
6、例 1：如图，菱形 ABCD 中，B60，AB2，E、F 分别是 BC、CD 的中点，连接 AE、EF、AF，则AEF 的周长为（ ）A B C D3 324例 2：如图，把矩形 沿 对折后使两部分重合，若 ，则 =（ ）AEF150AEFA110 B115 C120 D130BACD第 1 题图例 1 题图例 2 题图33一、选择题1如图，在菱形 ABCD 中，AB = 5，BCD = 120，则对角线 AC 等于（ ）A 20 B15 C 10 D52如图，将一个长为 10cm，宽为 8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ）A
7、B C D210cm20c240cm280c3如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，M 、N 分别是边 AB、AD 的中点，连接 OM、ON、MN，则下列叙述正确的是（ ）A AOM 和AON 都是等边三角形 B四边形 MBON 和四边形 MODN 都是菱形C四边形 AMON 与四边形 ABCD 是位似图形 D四边形 MBCO 和四边形 NDCO 都是等腰梯形4.如图，在菱形 ABCD 中，A=110，E，F 分别是边 AB 和 BC 的中点，EP CD 于点 P，则 FPC=（ ）A35 B45 C50 D555. 将矩形纸片 ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形
8、AECF若 AB3，则 BC 的长为( )A1 B2 C 2 D 6如图，将矩形 沿对角线 折叠，使 落在 处， 交 于 ，则下列结论不一定成立的是（ ）ABCDCBADEA B EDC DE sinA7如图，正方形 ABCD 的边长为 8，M 在 DC 上，且 DM=2，N 是 AC 上一动点，则 DN+MN 的最小值为（ ）A8 B8 C2 D10178已知等腰梯形 ABCD 的中位线 EF 的长为 6，腰 AB 的长为 5，则等腰梯形的周长为（ ）A11 B16 C17 D229如图， ABCD 的周长是 28， ABC 的周长是 22，则 AC 的长为 ( )A6 B 12 C 4 D
9、 810如图，正方形 ABCD 内有两条相交线段 MN、EF，M 、 N、 E、 F 分别在边 AB、CD 、AD、BC 上CDABE第 6 题图ADE PCB F第 4 题图DBCANMO第 3 题图第 10 题图ABCD第 8 题图OA DCB第 9 题图第 7 题图A BCD FEOA BCD44小明认为：若 MN = EF，则 MNEF；小亮认为: 若 MNEF，则 MN = EF你认为A仅小明对 B仅小亮对 C两人都对 D两人都不对 11如图，菱形 ABCD 的边长为 10cm，DEAB， 3sin5A，则这个菱形的面积= cm212如图，等腰梯形 ABCD 中， ， 则梯形 ABC
10、D 的周长是 .ADBC 6047ADBC， ，13 ）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，使它为矩形的条件可以是 14在等腰梯形 ABCD 中，ADBC, AD 3cm , AB4cm, B 60, 则下底 BC 的长为 cm .15如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为 若墙上钉子间的距离 则 度16cm， 16cm， 1第 15 题图A B C16.我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形若一个四边形 的中点四边形是一个矩形，ABCD则四边形 可以是 ABCD17.在四边形 中，对角线 与 互相平分，交点为 在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形ACBDOABC成
11、为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是 18 ）如果用 4 个相同的长为 3 宽为 1 的长方形，拼成一个大的长方形，那么这个大的长方形的周长可以是_19如图边长为 1 的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点 A 顺时针旋转 ，则这两个正方形重叠45部分的面积是 20 如图，在梯形 ABCD 中，DCAB，DA CB，若 AB10，DC4，tanA2，则这个梯形的面积是_三、解答题21如图 ，ABCD 是菱形，对角线 AC 与 BD 相交于 O， 306ACDB，（1）求证：ABD 是正三角形； （2）求 AC 的长（结果可保留根号） 22.已知：如图，四边形 ABCD 是菱
12、形，过 AB 的中点 E 作 AC 的垂线 EF，交 AD 于点 M，交 CD 的延长线于点 F.（1）求证：AM= DM；（2）若 DF=2，求菱形 ABCD 的周长23如图所示，在 RtABC 中， 90 将 RtABC 绕点 顺时针方向旋转 60得到 DE ， 点 在 上，再将 沿着 所在直线翻转 18得到 F 连接 （1）求证：四边形 是菱形；（2）连接 B并延长交 A于 G， 连接 C，AD CB 第 19 题图EDCAB第 12 题图 第 13 题图第 20 题图ODCBA第 23 题图A DF CEGB第 11 题图BACDFM第 22 题图E55请问：四边形 ABCG是什么特殊
13、平行四边形？为什么？24如图：已知在 中， ， 为 边的中点，过 ADBC点 作 ，垂足分别为 .DEF ， EF，（1） 求证： ； （2）若 ，求证：四边形 是正方形. 90A25如图，在等腰梯形 ABCD 中，C=60 ，AD BC，且 AD=DC，E 、F 分别在 AD、DC 的延长线上，且 DE=CF，AF、BE 交于点 P（1）求证：AF=BE；（2）请你猜测BPF 的度数，并证明你的结论26如图，在梯形 ABCD 中，ABCD，BD AD，BC=CD，A=60，CD=2cm .(1)求CBD 的度数；(2)求下底 AB 的长.27 如图， 为直角，点 为线段 的中点，点 是射线
14、上的一个动点（不与点 重合） ，连结 ，作ABMCBDBMBAD，垂足为 ，连结 ，过点 作 ，交 于 BEDEEFF（1）求证： ；F（2） 在什么范围内变化时，四边形 是梯形，并说明理由；（3） 在什么范围内变化时，线段 上存在点 ，满足条件 ，并说明理ADG14DA由28如图，四边形 ABCD 是正方形，ABE 是等边三角形，M 为对角线 BD（不含 B 点）上任意一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60得到BN，连接 EN、AM、CM. 求证：AMBENB； 当 M 点在何处时，AMCM 的值最小；当 M 点在何处时，AMBMCM 的值最小，并说明理由； 当 AMBMCM 的最小值为
15、 时，求正方形的边长.1328数学课上，张老师出示了问题：如图 1，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是边 BC 的中点 ，且 EF 交正方形外角90AEF的平行线 CF 于点 F，求证：AE=EFDCG经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取 AB 的中点 M，连接 ME，则 AM=EC，易证 ，所以MC AE在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图 2，如果把“点 E 是边 BC 的中点”改为“点 E 是边 BC 上（除 B，C 外）的任意一点” ，其它条件不变，那么结论“AE= EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（
16、2）小华提出：如图 3，点 E 是 BC 的延长线上（除 C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由D EFPBA第 25 题图CA BC第 26 题图D60A DFC GEB图 1A DFC GEB图 2A DFC GEB图 3ABCDFEMEA DB CNM第 24 题图D CBEAF66参考答案基础知识回放答案：相等 直 平行四边形 2 对角线 4 直角 相等 四条边 垂直平分 平分 2 四11 12 13条边 互相垂直 直角 相等 相等 矩形 垂直 相等14 15 16 17 18 19 20中考
17、效能测试一、选择题1D【解析】本题考查了菱形的性质和等边三角形的判定。根据菱形的性质知：AB=BC, B+ BCD=180,又有BCD=120 ，B=60,所以三角形 ABC 为等边三角形，所以 AC=AB=5。2A 【解析】本题考查了三角形中位线的性质、矩形、菱形的面积的计算等知识点。矩形对折两次后，所得的矩形的长、宽分别为原来的一半，即为 5 cm，4 cm，而沿两邻边中点的连线剪下，剪下的部分打开前相当于所得菱形的沿对角线两次对折的图形，所以菱形的两条对角线的长分别为 5 cm，4 cm，所以菱形的面积为 5410 cm2.也可以根据三角形中位线的性质求出剪下的部分的面积占矩形21面积的
18、比例求出菱形的面积。3C【解析】本题考查了菱形的有关性质和位似图形的定义。在 中，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，ABORt，但 AO 与 OM 和 AM 的大小却无法判断，所以无法判断 是等边三角形。同样，我们也无法BMAO AN和M判断 BM 是否等于 OB 和 BM 是否等于 OC，所以也无法判断平行四边形 MBON 和 MODN 是菱形，也无法判断四边形 MBCO 和 NDCO是等腰梯形。根据位似图形的定义可知四边形 MBCO 和四边形 NDCO 是位似图形，故本题选 C。4C5D.【解析】本题综合考查了利用等腰三角形的性质和三角函数及方程的知识求解问题的能力，由题意得C
19、AB=ECB=30，不妨设 BC=x，则由三角函数的知识可得 EB= x，AB= x，3即 x=3，解得 x= ,故选 D。336C7D【解析】本题的关键是找到点 N 的位置，使 DN+MN 的和最小，因为 B、D 关于直线 AC 对称，所以 BM 与 AC 的交点即为点 N 的位置，此时有最小值，BM 的长度就是 DN+MN 的最小值.根据勾股定理 BM= =10，故答案为 D.BC2+CM28D【解析】过点 D 作 DEAC，交 AC 的延长线于点 C。则此等腰梯形的周长就为三角形 DBE 的周长，即等于此梯形的中位线的 2 倍加上腰长的 2 倍即可。9D 10D【解析】本题综合考查了菱形
20、的性质、等腰三角形的性质、三角形全等、直角三角形斜边上的中线的性质、三角形的内角和等知识点，是一道综合性很强的题目。解答本题应首先延长 PF 交 AB 的延长线于点 G，根据题意，利用角角边可证明 ，于是得到 ，BGFCPGFPC第 10 题答图ABCDE PFG77PF=FG，所以在 中，EF 是斜边上的中线，于是得到 FE=FG，所以 ，又因为 E、F 分别为中点，所以EGPRt GEB=FB，所以，FE=FG=BF，所以 ，又因为A=110，所以 ,因此，BFEGFC 07B,解得 。01872FC051160 121713答案不唯一，如 AC=BD， BAD=90o，等 1471512
21、0 【解析】本题考查了菱形和等边三角形的性质。如图，连接 AB，由题意可知 AB=AC=BC=16cm，ABC 是等边三角形，所以ACB=60，2=180-60=120，由菱形的性质可得1=2=120。16菱形（对角线互相垂直的四边形均可） 【解析】本题考查中点四边形的识别能力，其实质是三角形的中位线定理。由三角形中位线可知中点四边形的各边是原四边形的对角线的中位线，若中点四边形是矩形，则需原四边形的对角线互相垂直。17AC=BD，【解析】本题考查了矩形的判定方法， 是一道开放性问题.由对角线 AC 与 BD 互相平分，可知四边形 ABCD 是平行四边形.根据“对角线相等的平行四边形是矩形”可
22、添加条件“AC=BD” ；根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可考虑添加条件“ABC=90”.1814 或 16 或 26【解析】本题考查了学生的空间想象能力和发散思维能力。解答本题最好能将所有的拼法画出来后再进行求解。本题的不同拼法有：19 【解析】根据题意知： ，则 ,且 为等腰直角三角形，所以 。212AC12DEC12DCE所以， 。12()(1 ）阴 影 EDABCSS易错易混点：有的学生因没有挖掘出 为等腰直角三角形这一条件，进而使求阴影部分的面积陷入困境。2042 【解析】本题难度中等，考查等腰梯形的知识.如图，作 DEAB，CFAB，垂足分别为 E、F，根据题意可得：矩形
23、CDEF，ADEBCF，所以 CD=EF=4，所以 AE=BF= =3.1()2ABCD因为 tanA= =2，DEA所以 DE=6，所以这个梯形的面积是 42.1()2BCDEABC1288三、解答题21 （1）证明：AC 是菱形 ABCD 的对角线，AC 平分BCD 又ACD=30，BCD=60 BAD 与BCD 是菱形的一组对角，BAD =BCD=60 AB 、AD 是菱形的两条边， ABD 是正三角形ABD（2）解：O 为菱形对角线的交点， 在 中， ，13902ACDBCO， ， RtCO tanta30OCD ， ，答 的长为 tan30263AA6322 （1）略证：四边形 AB
24、CD 是菱形，AB CD,AB=AD. ACEF, AM=AE. AE= AB, AM= AD.AM=DM.21（2）提示:证明AME DMF .DF=AE=2.菱形 ABCD 的周长为 16.23 （1）证明： RtDEC 是由 tAB 绕 C点旋转 60得到， 60A， D 是等边三角形，又 tBF 是由 t 沿 所在直线翻转 180得到 90ACFBAC， C 是平角点 F、 B、 C 三点共线 AF 是等边三角形 A3 分 D 四边形 D是菱形（2）四边形 G是矩形证明：由（1）可知： A 是等边三角形， EC于 EC B ， AGB AG四边形 G是平行四边形，而 90 四边形 AG
25、是矩形24 （1） ， DFC ， ， ，90BEB， 是 的中点， ， .CDBECFD （2） ，A ， ， ，90DF90A四边形 为矩形. ， ， 四边形 为正方形EBCF AE25 （1）BA=AD ， BAE= ADF， AE=DF， BAE ADF ， BE=AF ；（2）猜想BPF=120 .A DF CEGB99A DFC GEBM由（1）知BAEADF ， ABE=DAF .BPF=ABE+BAP= BAE ， 而 ADBC ， C=ABC=60 ，BPF=120 .26解：(1)A60，BDAD ABD30.又ABCDCDBABD30. BCCDCBDCDB30.(2)A
26、BDCBD30ABC60A.AD BCCD 2cm 在 RtABD 中，AB2AD4cm27 （1）在 中，RtEB， ，AC12， ，C90EFCB， ， ，BEFEFBD 90EDB DD（2）由（1） ，而 ，A，即 若 ，则 ， CA C CF， 当 或 时，四边形 为梯形B4504590AACFE（3）作 ，垂足为 ，则 GHDGHB， 又 为 中点， 为 的中点 为 的中垂线1A1FDGHD 点 在 上， ，FEF 180EFE 180 3180 60又 ， 90AED39A当 时， 上存在点 ，满足条件3 EG4DA28解：（1）正确证明：在 上取一点 ，使 ，连接 ABMACM
27、E ， 45135是外角平分线， ， CFDFF ， ，E90EB90ABCF （ASA） BAAC E（2）正确A DFC GEBNABCDFEMGH1010证明：在 的延长线上取一点 BAN使 ，连接 NCE45P四边形 是正方形，ABDENACF（ASA ） E7 （2010 年宁德市） （本题满分 13 分）如图，四边形 ABCD 是正方形，ABE 是等边三角形，M 为对角线 BD（不含 B 点）上任意一点，将BM 绕点 B 逆时针旋转 60得到 BN，连接 EN、AM、CM. 求证：AMBENB； 当 M 点在何处时，AMCM 的值最小；当 M 点在何处时，AMBMCM 的值最小，并
28、说明理由； 当 AMBMCM 的最小值为 时，求正方形的边长.13【答案】解：ABE 是等边三角形，BABE，ABE60.MBN60，MBNABNABEABN.即BMANBE.又MBNB，AMBENB（SAS）.当 M 点落在 BD 的中点时，AMCM 的值最小.如图，连接 CE，当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时，AMBMCM 的值最小. 9 分理由如下：连接 MN.由知，AMBENB，AMEN.MBN60，MBNB，BMN 是等边三角形.BMMN.AMBMCMENMNCM. 根据“两点之间线段最短” ，得 ENMNCMEC 最短当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时，AMBMCM 的值最小，即等于 EC 的长.EA DB CNMFEA DB CNM
