1、 1 / 13相似三角形一、 知识概述1.平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。2.平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。3.相似三角形的定义对应边成比例、对应角相等的两个三角形叫做相似三角形4.相似三角形的基本性质相似三角形的对应边成比例、对应角相等相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。相似三角形的周长比等于相似比面积比等于相似比的平方温馨提示：全等三角形一定是相似三角形，其相似比 k=1所以全等三角形是相似三角形的特例其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例相似比
2、具有顺序性例如ABCABC的对应边的比，即相似比为 k，则ABCABC 的相似比 ，当且仅当它们全等时，才有 k=k=1相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出5. 相似三角形的判定定理平行于三角形一边的直线和其他两边或其延长线相交，所得的三角形与原三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似；两角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。温馨提示：（1）判定三角形相似的几条思路：条件中若有平行，可采用判定定理 1；条件中若有一对角相等(包括隐含的公共角或对顶角)，可再找一对角相等或找夹边对应成
3、比例；条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；但是，在选择利用判定定理 2 时，一对对应角相等必2 / 13须是成比例两边的夹角对应相等条件中若有等腰关系，可找顶角相等或底角相等，也可找腰和底对应成比例。（2）在综合题中，注意相似知识的灵活运用，并熟练掌握线段代换、等比代换、等量代换技巧的应用，培养综合运用知识的能力。（3）运用相似的知识解决一些实际问题，要能够在理解题意的基础上，把它转化为纯数学知识的问题，要注意培养当数学建模的思想。6. 位似定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比因
4、此，位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比 注意：（1）位似图形是相似图形的一个特例，位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形（2）两个位似图形不仅相似而且对应点连线交于一点，对应边平行或在同一直线上7.三角形的重心三角形三条中线的交点叫做三角形的重心三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍二、 相似三角形解题思路：1、寻找相似三角形对应元素的方法与技巧正确寻找相似三角形的对应元素是分析与解决相似三角形问题的一项基本功通常有以下几种方法：(1)相似三角形有公共角或对顶角时，公共角或对顶角是最明显的对应
5、角；相似三角形中最大的角(或最小的角)一定是对应角；相似三角形中，一对相等的角是对应角，对应角所对的边是对应边，对应角的夹边是对应边；(2)相似三角形中，一对最长的边(或最短的边)一定是对应边；对应边所对的角是对应角；对应边所夹的角是对应角2、常见的相似三角形的基本图形：3 / 13学习三角形相似的判定，要与三角形全等的判定相比较，把证明三角形全等的思想方法迁移到相似三角形中来；对一些出现频率较高的图形，要善于归纳和记忆；对相似三角形的判定思路要善于总结，形成一整套完整的判定方法如：(1)“平行线型”相似三角形，基本图形见上节图“见平行，想相似”是解这类题的基本思路；(2)“相交线型”相似三角
6、形，如上图其中各图中都有一个公共角或对顶角“见一对等角，找另一对等角或夹等角的两边成比例”是解这类题的基本思路；(3)“旋转型”相似三角形，如图若图中1=2，B=D(或C=E)，则ADEABC，该图可看成把第一个图中的ADE 绕点 A 旋转某一角度而形成的温馨提示：从基本图形入手能较顺利地找到解决问题的思路和方法，能帮助我们尽快地找到添加的辅助线以上“平行线型”是常见的，这类相似三角形的对应元素有较明显的顺序，“相交线型”识图较困难，解题时要注意从复杂图形中分解或添加辅助线构造出基本图形4 / 13ACDBEAB C DE相似三角形专题分类练习讲解题型一：线段的比、黄金分割1.在比例尺 1：1
7、0000 的地图上，相距 2cm 的两地的实际距离是（ ）A200cm B200dm C200m D200km2.若 则下列各式中不正确的是（ ）A B C D3.若 ，则 =_；已知 ，则 =_；已知 ，且 ，则52yxyx 32yxy653zyx623z。_,4.若 且 ，则 =_。04xx5.2 和 8 的比例中项是_；线段 2与 8的比例中项为_。6.已知 a ：b ：c2 ：3 ：4，且 2a3b2c10，求 a， b，c 的值。题型二：相似的性质1.如果两个相似三角形的面积比为 34，则它们的周长比为_。2.已知ABCDEF，且 AB：DE=1：2，则ABC 的面积与DEF 的面积
8、之比为 3.如图,DEBC，ADBD=23，则 ADE 的面积四边形 DBCE 的面积=_。4.如图，已知等边三角形 ABC 的边长为 2，DE 是它的中位线，则下面四个结论：（1）DE=1， （2）CDECAB， （3）CDE 的面积与CAB 的面积之比为 1：4.其中正确的有：_个5.如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，ADE 与BCE 面积之比为 4 ：9，那么ADE 与ABE 面积之比为_6.平行四边形 ABCD 中，AB=28，E、F 是对角线 AC 上的两点，且 AE=EF=FC，DE 交 AB 于点 M，MF 交 CD 于点 N，则 CN=_。5 / 13变 式 2图 HMD
9、EFG CBA第 3 题 第 4 题 第 5 题 第 6 题7.如图，已知平行四边形 ABCD 中，E 是 AB 边的中点，DE 交 AC 于点 F，AC，DE 把平行四边形 ABCD 分成的四部分的面积分别为 S1，S 2，S 3，S 4下面结论：只有一对相似三角形；EF：ED=1：2； S 1：S 2：S 3：S 4=1：2：4 ：5其中正确的结论是（ ）A B C D8.如图，大正方形中有 2 个小正方形，如果它们的面积分别是 S1、S 2 ，那么 S1、S 2 的大小关系是（ ）A S1 S2 B. S1 = S2 C. S1S2 D. S1、 S2 的大小关系不确定9.如图，在正方形
10、 ABCD 中，点 E 在 AB 边上，且 AEEB21，AFDE 于 G 交 BC 于 F，则AEG的面积与四边形 BEGF 的面积之比为（ ）A.12 B.14 C.49 D.2310.如图，已知 DEBC，CD 和 BE 相交于点 O， 49，则 AEEC 为（ ）DESCOBA.21 B.23 C.49 D.5411.已知三个边长为 2，3，5 的正方形按图 4 排列，则图中阴影部分的面积为_第 7 题 第 8 题 第 9 题 第 10 题 第 11 题12.如图在ABC 中，矩形 DEFG，G、F 在 BC 上，D、E 分别在 AB、AC 上，AHBC 交 DE 于M，DGDE12，
11、BC12 cm，AH8 cm，求矩形的各边长。13.已知如图，正方形 ABCD 中，AB2，E 是 BC 的中点， DFAE ，F 为垂足，求DFA 的面积 和1S四边形 CDFE 的面积 。2S6 / 13题型三：相似的有关证明1.已知：如图，梯形 ABCD 中，ABDC，E 是 AB 的中点，直线 ED 分别与对角线 AC 和 BC 的延长线交于 M、N 点求证：MD：MEND：NE2.如图，D 在 AB 上，且 DE BC，交 AC 于 E，F 在 AD 上，且 ，求证：AEF ACDABFD23.如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 A 作 AEBC，垂足为 E，连接 DE，F 为线
12、段 DE 上一点，且AFE=B（1）求证：ADF DEC；（2）若 AB=8，AD=6 ，AF=4 ，求 AE 的长题型四：函数与相似1. 如图，正方形 ABCD 中，AB1，G 为 DC 中点，E 为 BC 上任一点，（E 点与点 B、点 C 不重合）设 BE，过 E 作 GA 平行线交 AB 于 F，设 AFEC 面积为 ，写出 与 的函数关系式，并指出自变量 的取值范围。ND CA E BM7 / 132.如图，ABCD 是矩形，AH2，HD4，DE2，EC1，F 是 BC 上任一点（F 与点B、点 C 不重合），过 F 作 EH 的平行线交 AB 于 G，设 BF 为 ，四边形 HGF
13、E 面积为 ，写出 与 的函数关系式，并指出自变量 的取值范围。3.如图，有一块直角梯形铁皮 ABCD，AD3cm，BC6cm，CD4cm，现要截出矩形 EFCG，（E 点在 AB 上，与点 A、点 B 不重合），设 BE ，矩形 EFCG 周长为 ，（1）写出 与 的函数关系式，并指出自变量 取值范围；（2） 取何值，矩形 EFCG 面积等于直角梯形 ABCD 面积的 。4.如图，已知抛物线 y x 21 与 x 轴交于 A、 B 两点，与 y 轴交于点 C （1）求 A、 B、 C 三点的坐标 （2）过点 A 作 AP CB 交抛物线于点 P，求四边形 ACBP 的面积 （3）在 x 轴上
14、方的抛物线上是否存在一点 M，过 M 作 MG x 轴于点 G，使以 A、 M、 G 三点为顶点的三角形与 PCA 相似？若存在，请求出 M 点的坐标；否则，请说明理由A BOPCxy8 / 135.如图，已知ABC 的三个顶点坐标分别为 A(-4，0)、B(1，0)、C(-2，6)(1)求经过 A、B、C 三点的抛物线解析式；(2)设直线 BC 交 y 轴于点 E，连接 AE，求证：AE=CE;(3)设抛物线与 y 轴交于点 D，连接AD 交 BC 于点 F， 试问以 A、B、F，为顶点的三角形与ABC 相似吗？请说明理由题型五、圆与相似1.（2013绥化）如图，点 A，B，C，D 为O 上
15、的四个点，AC 平分BAD，AC 交 BD 于点E，CE=4，CD=6，则 AE 的长为（ ）A.4 B.5 C.6 D.72.如图，AB 为O 的直径，D 是弧 BC 的中点，DEAC 交 AC 的延长线于 E，O 的切线 BF交 AD 的延长线于点 F。(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若 DE3，O 的半径为 5，求 BF 的长。3.如图，RtABC 中，C=90，O 为直角边 BC 上一点，以 O 为圆心，OC 为半径的圆恰好与斜边 AB 相切于点 D，与 BC 交于另一点 E（1）求证：AOCAOD；（2）若 BE=1，BD=3,求O 的半径及图中阴影部分的面积 S ACBDEO
16、9 / 134.如图O 是ABC 外接圆，AB 是直径，D 是 AB 延长线上一点，AEDC 的延长线于点 E，且 AC 平分EAB。 （1）求证:DE 是O 的切线；(2) 若 AB=6, AE=4, 求 BC 和 BD 的长5.（2012 辽宁）如图，AB 是O 的直径，点 C 在O 上，CAB 的平分线交O 于点 D，过点 D 作 AC 的垂线交 AC 的延长线于点 E，连接 BC 交 AD 于点 F。（1）猜想 ED 与O 的位置关系，并证明你的猜想；（2）若 AB6，AD5，求 AF 的长。 6.（2013十堰）如图 1，ABC 中，CA=CB，点 O 在高 CH 上，ODCA 于点
17、 D，OECB 于点 E，以 O 为圆心，OD 为半径作O（1）求证：O 与 CB 相切于点 E；（2）如图 2，若O 过点 H，且 AC=5，AB=6，连接 EH，求BHE 的面积10 / 13FB CA DPyx12345678-1 1 2 3 4 5 6-1 ABPo题型六、因动点产生的相似问题1D 是ABC 的 AB 边上一点，过 A、D 及三角形边上的一点 E 的三角形与ABC 相似，画出示意图。D 是 RtABC 的 BC 边上一点，过 C、D 及三角形边上的一点 E 的三角形与ABC 相似，画出示意图。2已知 RtOAB 在直角坐标系中的位置如图，P（3，4）为 OB 的中点，点
18、 C 为折线 OAB 上的动点，线段PC 把 RtOAB 分成两部分，问点 C 在什么位置时，分割得到的三角形与OAB 相似？画出所有符合要求的线段，写出点 C 的坐标。第 2 题 第 3 题 第 4 题3在直角坐标系中有两点 A（4，0） ，B（0，2） ，如果点 C 在 x 轴上（C 与 A 不重合） ，当点 C 的坐标为 时，使得由点 B、O、C 组成的三角形与AOB 相似。 4已知：如图，P 是边长为 4 的正方形 ABCD 内一点，且 PB=3，BFBP，垂足为 B，请在射线 BF 上找一点 M，使以 B、M、C 为顶点的三角形与ABP 相似。5. 正方形 ABCD 边长为 4， M、 N 分别是 BC、 CD 上的两个动点，当 M 点在 BC 上运动时，保持 AM 和 MN 垂直.（1）证明： Rt ABMRt MCN；（2）设 BM=x，梯形 ABCN 的面积为 y，求 y 与 x 之间的函数关系式；当 M 点运动到什么位置时，四边形 ABCN 面积最大，并求出最大面积；（3）当 M 点运动到什么位置时 Rt ABMRt AMN，求此时 x 的值. DBAM CNCABDDACByx12345-1-2-3-41 2 3 4 5-1-2-3-4-5BAo
