1、第 1 页（共 31 页）2017 年 05 月 21 日数学（因式分解难题）2一填空题（共 10 小题）1已知 x+y=10，xy=16，则 x2y+xy2 的值为 2两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成 2（x1） （x9） ；另一位同学因看错了常数项分解成 2（x2） （x4） ，请你将原多项式因式分解正确的结果写出来： 3若多项式 x2+mx+4 能用完全平方公式分解因式，则 m 的值是 4分解因式：4x 24x3= 5利用因式分解计算：202 2+202196+982= 6ABC 三边 a，b，c 满足 a2+b2+c2=ab+bc+ca，则ABC 的
2、形状是 7计算：1 222+3242+5262+1002+1012= 8定义运算 ab=（1a）b，下面给出了关于这种运算的四个结论：2（2）=3a b=ba若 a+b=0，则（aa）+（b b）=2ab若 ab=0，则 a=1 或 b=0其中正确结论的序号是 （填上你认为正确的所有结论的序号） 9如果 1+a+a2+a3=0，代数式 a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8= 10若多项式 x26xb 可化为（x+a ） 21，则 b 的值是 二解答题（共 20 小题）11已知 n 为整数，试说明（n +7） 2（n 3） 2 的值一定能被 20 整除12因式分解：4x 2y4xy+y1
3、3因式分解（1）a 3ab2第 2 页（共 31 页）（2） （xy） 2+4xy14先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若 m2+2mn+2n26n+9=0，求 m 和 n 的值解：m 2+2mn+2n26n+9=0m 2+2mn+n2+n26n+9=0（m+n） 2+（n3） 2=0m+n=0，n3=0m=3，n=3问题：（1）若 x2+2y22xy+4y+4=0，求 xy 的值（2）已知ABC 的三边长 a，b，c 都是正整数，且满足a2+b26a6b+18+|3c|=0，请问ABC 是怎样形状的三角形？15如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”如 4=
4、2202，12=4 222，20=6 242，因此 4，12，20 这三个数都是和谐数（1）36 和 2016 这两个数是和谐数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为 2k+2 和 2k（其中 k 取非负整数） ，由这两个连续偶数构造的和谐数是 4 的倍数吗？为什么？（3）介于 1 到 200 之间的所有“和谐数”之和为 16如图 1，有若干张边长为 a 的小正方形、长为 b 宽为 a 的长方形以及边长为 b 的大正方形的纸片（1）如果现有小正方形1 张，大正方形2 张，长方形3 张，请你将它们第 3 页（共 31 页）拼成一个大长方形 （在图 2 虚线框中画出图形） ，并运用面积之间的关系，将多
5、项式 a2+3ab+2b2 分解因式（2）已知小正方形与大正方形的面积之和为 169，长方形的周长为 34，求长方形的面积（3）现有三种纸片各 8 张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接） ，求可以拼成多少种边长不同的正方形17 （1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图 1 所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图 2用两种不同的方法，计算图 2 中长方形的面积；由此，你可以得出的一个等式为： （2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图 3 所示请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；请你用拼图等方法推出 2
6、a2+5ab+2b2 因式分解的结果，画出你的拼图18已知 a+b=1，ab=1，设 s1=a+b，s 2=a2+b2，s 3=a3+b3，s n=an+bn（1）计算 s2；（2）请阅读下面计算 s3 的过程：因为 a+b=1，ab=1，所以 s3=a3+b3=（a+b） （a 2+b2） ab（a+b ）=1 s2（1）=s 2+1= 你读懂了吗？请你先填空完成（2）中 s3 的计算结果，再用你学到的方法计算第 4 页（共 31 页）s4（3）试写出 sn2，s n1，s n 三者之间的关系式；（4）根据（3）得出的结论，计算 s619 （1）利用因式分解简算：9.8 2+0.49.8+0
7、.04（2）分解因式：4a（a 1） 2（1 a）20阅读材料：若 m22mn+2n28n+16=0，求 m、n 的值解：m 22mn+2n28n+16=0，（m 22mn+n2）+（n 28n+16）=0（mn） 2+（n4） 2=0，（mn ） 2=0， （n 4） 2=0，n=4，m=4根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知 x2+2xy+2y2+2y+1=0，求 xy 的值（2）已知ABC 的三边长 a、b、c 都是正整数，且满足 a2+b26a8b+25=0，求ABC 的最大边 c 的值（3）已知 ab=4，ab+c 26c+13=0，则 ab+c= 21仔细阅读下面例题，解答问题
8、：例题：已知二次三项式 x24x+m 有一个因式是（x+3） ，求另一个因式以及 m 的值解：设另一个因式为（x+ n） ，得 x24x+m=（x+3） （x+n ） ，则 x24x+m=x2+（n+3）x+3nn+3=4m=3n 解得：n= 7，m=21另一个因式为（x7） ，m 的值为 21问题：（1）若二次三项式 x25x+6 可分解为（x2） （x+a） ，则 a= ；（2）若二次三项式 2x2+bx5 可分解为（2x1） （x+5） ，则 b= ；第 5 页（共 31 页）（3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式 2x2+5xk 有一个因式是（2x3） ，求另一个因式以及 k
9、的值22分解因式：（1）2x 2x；（2）16x 21；（3）6xy 29x2yy3；（4）4+12 （xy）+9（xy） 223已知 a，b，c 是三角形的三边，且满足（a+b+c） 2=3（a 2+b2+c2） ，试确定三角形的形状24分解因式（1）2x 44x2y2+2y4（2）2a 34a2b+2ab225图是一个长为 2m、宽为 2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形（1）图中的阴影部分的面积为 ；（2）观察图请你写出三个代数式（m+n ） 2、 （m n） 2、mn 之间的等量关系是 （3）若 x+y=7，xy=10，则（x y） 2=
10、（4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示如图，它表示了 （5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n） （m+3n ）=m2+4mn+3n2第 6 页（共 31 页）26已知 a、b、c 满足 ab=8，ab+c 2+16=0，求 2a+b+c 的值27已知：一个长方体的长、宽、高分别为正整数 a、b 、c ，且满足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006，求：这个长方体的体积28 （x 24x） 22（x 24x）1529阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（ x+1） +x（x+1） 2=（ 1+x）1+x +x（x+1）=（ 1+x） 2（1+x）
11、=（ 1+x） 3（1）上述分解因式的方法是 ，共应用了 次（2）若分解 1+x+x（x+1）+x （x+1） 2+x（x +1） 2004，则需应用上述方法 次，结果是 （3）分解因式：1+x+x（x+1）+x （x+1） 2+x（x+1） n（n 为正整数） 30对于多项式 x35x2+x+10，如果我们把 x=2 代入此多项式，发现多项式x35x2+x+10=0，这时可以断定多项式中有因式（ x2） （注：把 x=a 代入多项式能使多项式的值为 0，则多项式含有因式（xa） ） ，于是我们可以把多项式写成：x35x2+x+10=（ x2） （x 2+mx+n） ，（1）求式子中 m、n
12、的值；（2）以上这种因式分解的方法叫试根法，用试根法分解多项式 x32x213x10 的因式第 7 页（共 31 页）第 8 页（共 31 页）2017 年 05 月 21 日数学（因式分解难题）2参考答案与试题解析一填空题（共 10 小题）1 （2016 秋望谟县期末）已知 x+y=10，xy=16 ，则 x2y+xy2 的值为 160 【分析】首先提取公因式 xy，进而将已知代入求出即可【解答】解：x+y=10，xy=16，x 2y+xy2=xy（x+y）=1016=160故答案为：160【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键2 （2016 秋新宾县期末）两位
13、同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成 2（x1） （x9） ；另一位同学因看错了常数项分解成2（x 2） （x4） ，请你将原多项式因式分解正确的结果写出来： 2（x3） 2 【分析】根据多项式的乘法将 2（x1） （x9）展开得到二次项、常数项；将2（x 2） （x4）展开得到二次项、一次项从而得到原多项式，再对该多项式提取公因式 2 后利用完全平方公式分解因式【解答】解：2（x1） （x9）=2x 220x+18；2（x 2） （x4）=2x 212x+16；原多项式为 2x212x+182x212x+18=2（x 26x+9）=2（x3） 2【点评】根据错误解
14、法得到原多项式是解答本题的关键二次三项式分解因式，看错了一次项系数，但二次项、常数项正确；看错了常数项，但二次项、一次项正确第 9 页（共 31 页）3 （2015 春昌邑市期末）若多项式 x2+mx+4 能用完全平方公式分解因式，则m 的值是 4 【分析】利用完全平方公式（a+b） 2=（a b） 2+4ab、 （ab） 2=（a+b） 24ab 计算即可【解答】解：x 2+mx+4=（x2） 2，即 x2+mx+4=x24x+4，m=4故答案为：4【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟记有关完全平方的几个变形公式是解题关键4 （2015 秋利川市期末）分解因式：4x 24x3= （2x3
15、） （2x+1） 【分析】ax 2+bx+c（a0）型的式子的因式分解，这种方法的关键是把二次项系数 a 分解成两个因数 a1，a 2 的积 a1a2，把常数项 c 分解成两个因数 c1，c 2 的积 c1c2，并使 a1c2+a2c1 正好是一次项 b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=（a 1x+c1） （a 2x+c2） ，进而得出答案【解答】解：4x 24x3=（2x3） （2x+1） 故答案为：（2x3） （2x+1） 【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确分解各项系数是解题关键5 （2015 春东阳市期末）利用因式分解计算：202 2+202196+982= 9000
16、0 【分析】通过观察，显然符合完全平方公式【解答】解：原式=202 2+2x202x98+982=（ 202+98） 2=3002第 10 页（共 31 页）=90000【点评】运用公式法可以简便计算一些式子的值6 （2015 秋浮梁县校级期末）ABC 三边 a，b ， c 满足 a2+b2+c2=ab+bc+ca，则ABC 的形状是 等边三角形 【分析】分析题目所给的式子，将等号两边均乘以 2，再化简得（ab）2+（a c） 2+（bc） 2=0，得出：a=b=c，即选出答案【解答】解：等式 a2+b2+c2=ab+bc+ac 等号两边均乘以 2 得：2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+
17、2ac，即 a22ab+b2+a22ac+c2+b22bc+c2=0，即（a b） 2+（ ac） 2+（bc） 2=0，解得：a=b=c，所以，ABC 是等边三角形故答案为：等边三角形【点评】此题考查了因式分解的应用；利用等边三角形的判定，化简式子得a=b=c，由三边相等判定ABC 是等边三角形7 （2015 秋鄂托克旗校级期末）计算：1 222+3242+5262+1002+1012= 5151 【分析】通过观察，原式变为 1+（3 222）+（5 242）+（101 21002） ，进一步运用高斯求和公式即可解决【解答】解：1 222+3242+5262+1002+1012=1+（3 222）+（5 242）+（ 10121002）=1+（3+2）+（5+4）+（7+6）+（101+100）=（ 1+101）1012=5151
