1、1第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件【考纲下载】1理解命题的概念2了解“若 p，则 q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系3理解必要条件、充分条件与充要条件的含义1命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题2四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系3充分条件与必要条件(1)若 pq，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件(2)若 pq，则 p 与 q 互
2、为充要条件(3)若 p/ q，且 q/ p，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件1一个命题的否命题与这个命题的否定是同一个命题吗？提示：不是，一个命题的否命题是既否定该命题的条件，又否定该命题的结论，而这个命题的否定仅是否定它的结论2 “p 是 q 的充分不必要条件”与“p 的一个充分不必要条件是 q”两者的说法相同吗？提示：两者说法不相同 “p 的一个充分不必要条件是 q”等价于“q 是 p 的充分不必2要条件” ，显然这与“p 是 q 的充分不必要条件”是截然不同的1(2013福建高考)已知集合 A1，a，B1,2,3，则“a3”是“AB”的( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C
3、充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 A 当 a3 时，A 1,3，AB；反之，当 AB 时，a2 或 3，所以“a3”是“AB”的充分而不必要条件2命题“若 x2y 2，则 xy”的逆否命题是( )A “若 xy，则 x2y 2” B “若 xy，则 x2y 2”C “若 xy ，则 x2y 2” D “若 xy，则 x2y 2”解析：选 C 根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若 x2y 2，则xy”的逆否命题是“若 x y，则 x2y 2”3(教材习题改编)命题“如果 b24ac0，则方程 ax2bxc0(a0) 有两个不相等的实根”的否命题、逆命题和逆否命题中，真命题
4、的个数为( )A0 B1 C 2 D3解析：选 D 原命题为真，则它的逆否命题为真，逆命题为“若方程ax2bxc0(a0)有两个不相等的实根，则 b24ac0” ，为真命题，则它的否命题也为真4命题“若 f(x)是奇函数，则 f(x)是奇函数”的否命题是 ( )A若 f(x)是偶函数，则 f(x) 是偶函数B若 f(x)不是奇函数，则 f(x )不是奇函数C若 f(x)是奇函数，则 f(x)是奇函数D若 f(x) 不是奇函数，则 f(x)不是奇函数解析：选 B 原命题的否命题是既否定题设又否定结论，故“若 f(x)是奇函数，则f(x)是奇函数”的否命题是 B 选项5下面四个条件中，使 ab 成
5、立的充分而不必要的条件是 ( )Aab1 Bab1 Ca 2b 2 Da 3b 3解析：选 A 由 ab1，且 b1b，得 ab；反之不成立.3考点一 四种命题的关系 例 1 (1)命题“若 x1，则 x0”的否命题是( )A若 x1，则 x0 B若 x1，则 x0C若 x1，则 x0 D若 x1，则 x0(2)命题“若 x，y 都是偶数，则 xy 也是偶数”的逆否命题是( )A若 xy 是偶数，则 x 与 y 不都是偶数B若 xy 是偶数，则 x 与 y 都不是偶数C若 xy 不是偶数，则 x 与 y 不都是偶数D若 xy 不是偶数，则 x 与 y 都不是偶数自主解答 (1)因为“x1”的否
6、定为“x1” ， “x0” 的否定为“x0” ，所以命题“若 x1，则 x0”的否命题为：“若 x1，则 x0” (2)由于“x，y 都是偶数”的否定表达是“x，y 不都是偶数” ， “xy 是偶数”的否定表达是“xy 不是偶数” ，故原命题的逆否命题为“若 x y 不是偶数，则 x 与 y 不都是偶数” 答案 (1)C (2)C【互动探究】试写出本例(2)中命题的逆命题和否命题，并判断其真假性解：逆命题：若 xy 是偶数，则 x，y 都是偶数是假命题否命题：若 x，y 不都是偶数，则 xy 不是偶数是假命题 【方法规律】判断四种命题间关系的方法(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题
7、的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题(2)原命题和逆否命题、逆命题和否命题有相同的真假性，解题时注意灵活应用1命题 p：“若 ab，则 ab2 012 且 ab”的逆否命题是 ( )A若 ab2 012 且 a b，则 ab4B若 ab2 012 且 ab ，则 abC若 ab2 012 或 ab ，则 abD若 ab2 012 或 a b，则 ab解析：选 C “且”的否定是 “或” ，根据逆否命题的定义知，逆否命题为“若ab2 012 或 ab，则 ab” 2下列命题中为真命题的是( )A命题“若 xy，则 x
8、|y|”的逆命题B命题“若 x1，则 x21”的否命题C命题“若 x1，则 x2x20”的否命题D命题“若 x20，则 x1”的逆否命题解析：选 A A 中逆命题为“若 x| y|，则 xy ”是真命题；B 中否命题为“若 x1，则 x21”是假命题；C 中否命题为“若 x1，则 x2x20”是假命题；D 中原命题是假命题，从而其逆否命题也为假命题考点二 命题的真假判断 例 2 (1)下列命题是真命题的是( )A若 ，则 xy1x 1yB若 x21，则 x1C若 xy ，则 x yD若 xy，则 x2y 2(2)(2014济南模拟)在空间中，给出下列四个命题：过一点有且只有一个平面与已知直线垂
9、直；若平面外两点到平面的距离相等，则过这两点的直线必平行于该平面；两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线；两个相互垂直的平面，一个平面内的任意一直线必垂直于另一平面内的无数条直线其中正确的是( )A B C D自主解答 (1)取 x1 排除 B；取 xy1 排除 C；取 x2，y1 排除 D，5故选 A.(2)对于，由线面垂直的判定可知正确；对于，若点在平面的两侧，则过这两点的直线可能与该平面相交，故错误；对于，两条相交直线在同一平面内的射影可以为一条直线，故错误；对于，两个相互垂直的平面，一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面内的无数条与交线垂直的直线，故正确综上可知，选 D.答案
10、(1)A (2)D【方法规律】命题的真假判断方法(1)给出一个命题，要判断它是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可(2)由于原命题与其逆否命题为等价命题，有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假给出下列命题：函数 ysin(x k )(kR)不可能是偶函数；已知数列a n的前 n 项和 Sna n1(aR，a0)，则数列 an一定是等比数列；若函数 f(x)的定义域是 R，且满足 f(x)f (x2) 3，则 f(x)是以 4 为周期的周期函数；过两条异面直线外一点能作且只能作出一条直线和这两条异面直线同时相交其中所有正确的命题有_( 填正确命题的序号) 解析：
11、当 k 时，y sin(xk)就是偶函数，故错；当 a1 时，S n0，则 an12的各项都为零，不是等比数列，故错；由 f(x)f(x 2)3，则 f(x2)f(x 4)3，相减得 f(x)f(x 4)0，即 f(x)f (x4)，所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数， 正确；过两条异面直线外一点，有时没有一条直线能与两条异面直线都相交，故错综上所述，正确的命题只有.答案：6高频考点 考点三充 要 条 件 1充分条件、必要条件是每年高考的必考内容，多以选择题的形式出现，难度不大，属于容易题2高考对充要条件的考查主要有以下三个命题角度：(1)判断指定条件与结论之间的关系；(2)探求某结论成
12、立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件；(3)与命题的真假性相交汇命题例 3 (1)(2013 北京高考) “ ”是“曲线 ysin(2x )过坐标原点”的( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件(2)(2012四川高考)设 a、b 都是非零向量，下列四个条件中，使 成立的充分条件a|a| b|b|是( )Aab Ba bCa2b Da b 且|a|b|(3)给出下列命题：“数列a n为等比数列”是“数列a nan1 为等比数列”的充分不必要条件；“a2”是“函数 f(x)|xa|在区间2 ，)上为增函数 ”的充要条件；“m3”是“直线(m3)x
13、my20 与直线 mx6y50 互相垂直”的充要条件；设 a，b，c 分别是ABC 三个内角 A，B，C 所对的边，若 a1，b ，则3“A30”是“B60”的必要不充分条件其中真命题的序号是_自主解答 (1)当 时，ysin(2x) sin 2x，则曲线 ysin 2x 过坐标原点，所以“ ”“曲线 ysin(2 x)过坐标原点” ；当 2 时，ysin(2x 2)sin 2x，则曲线 ysin 2x 过坐标原点，所以“ ”/“曲线 ysin(2x )过坐标原点” ，所以“”是“曲线 ysin(2x )过坐标原点”的充分而不必要条件(2) ， 分别是与 a，b 同方向的单位向量，由 ，得 a
14、 与 b 的方向相同而 aba|a| b|b| a|a| b|b|7时，a 与 b 的方向还可能相反故选 C.(3)对于，当数列a n为等比数列时，易知数列 anan1 是等比数列，但当数列 anan1 为等比数列时，数列a n未必是等比数列，如数列 1,3,2,6,4,12,8 显然不是等比数列，而相应的数列 3,6,12,24,48,96 是等比数列，因此正确；对于，当 a2 时，函数 f(x)|xa|在区间2，)上是增函数，因此不正确；对于，当 m3 时，相应的两条直线互相垂直，反之，这两条直线垂直时，不一定有 m3，也可能 m0.因此不正确；对于，由题意得 ，若 B60，则 sin A
15、 ，注意到 ba，故 A30，反之，当 A30ba sin Bsin A 3 12时，有 sin B ，由于 ba，所以 B60 或 B120，因此正确综上所述，真命题32的序号是.答案 (1)A (2)C (3)充要条件问题的常见类型及解题策略(1)判断指定条件与结论之间的关系解决此类问题应分三步：确定条件是什么，结论是什么；尝试从条件推结论，从结论推条件；确定条件和结论是什么关系(2)探究某结论成立的充要、充分、必要条件解答此类题目，可先从结论出发，求出使结论成立的必要条件，然后再验证得到的必要条件是否满足充分性(3)充要条件与命题真假性的交汇问题依据命题所述的充分必要性，判断是否成立即可
16、1(2014西安模拟)如果对于任意实数 x， x表示不超过 x 的最大整数，那么“x y”是“| x y|1 成立 ”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 A 若x y，则 |xy| 1；反之，若|xy| 1，如取 x1.1，y0.9，则x 8y，即“xy”是“| xy| 1 成立”的充分不必要条件2已知 p： 0，若 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 a 的1x 1取值范围是( )A(2，1 B2，1 C 3,1 D2，)解析：选 A 不等式 0，解得 x2 或 x0 可以化为 (x1)(x a)0，当a1 时，解得 x1 或 x1 时，不
17、等式(x1)(xa)0 的解集是 (，1) (a，)，此时a1，故1sin x 1sin xxsin x1 不一定成立，即 xsin2x1/ xsin x1.综上，可知“xsin 2x1”是“ xsin x1”的必要不充分条件答案 C点评 判断 p、q 之间的关系，只需判断两个命题 A：“ 若 p，则 q”和 B：“若 q，则 p”的真假(1)若 pq，则 p 是 q 的充分条件；(2)若 qp，则 p 是 q 的必要条件；(3)若 pq 且 qp，则 p 是 q 的充要条件；(4)若 pq 且 q/ p，则 p 是 q 的充分不必要条件；(5)若 p/ q 且 qp，则 p 是 q 的必要不
18、充分条件；10(6)若 p/ q 且 q/ p，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件2集合法集合法就是利用满足两个条件的参数取值所构成的集合之间的关系来判断充要关系的方法主要解决两个相似的条件难以进行区分或判断的问题典例 2 若 A：log 2a1，B： x 的二次方程 x2(a1) xa20 的一个根大于零，另一根小于零，则 A 是 B 的( )A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件解题指导 分别求出使 A、 B 成立的参数 a 的取值所构成的集合 M 和 N，然后通过集合 M 与 N 之间的关系来判断解析 由 log2a1，解得 0a2，所以满足条件 A 的
19、参数 a 的取值集合为M a|0a2；而方程 x2(a1)xa20 的一根大于零，另一根小于零的充要条件是f(0)0，即 a20 ，解得 a2，即满足条件 B 的参数 a 的取值集合为 Na|a2 ，显然MN，所以 A 是 B 的充分不必要条件答案 B点评 利用集合间的关系判断充要条件的方法记法 条件 p、q 对应的集合分别为 A、B关系 AB BA A BB A AB A B 且B A结论p 是 q 的充分条件p 是 q 的必要条件p 是 q 的充分不必要条件p 是 q 的必要不充分条件p 是 q 的充要条件p 是 q 的既不充分也不必要条件3.等价转化法等价转化法就是在判断含有逻辑联结词“否”的有关条件之间的充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断典例 3 已知条件 p： 1，条件 q：x 2xa 2a，且 q 的一个充分不必要条4x 1 件是 p，则 a 的取值范围是 _解题指导 “ q 的一个充分不必要条件是 p”等价于“p 是 q 的一个必要不充分条件”
