1、第 1 页 共 15 页裂项相消法利用列项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面剩两项，再就是通项公式列项后，有时需要调整前面的系数，使列项前后等式两边保持相等。（1 ）若是a n等差数列，则 ,)1.(1nnada )1.(22nnad（2 ） 1）（3 ） )()(1knkn（4 ） )12(12)）（5 ） )()()(1nnn（6 ） n1（7 ） )(nkk1.已知数列 的前 n 项和为 ， （1 ）求数列 的通项公式；（2 ）设 ，求数列 的前 n 项和为 第 2 页 共 15 页解析 (1) 时, 得: 即 3 分在中令 , 有 , 即
2、 ，5 分故对2.已知a n是公差为 d 的等差数列，它的前 n 项和为 Sn，S 4=2S2+8（）求公差 d 的值；（）若 a1=1，设 Tn 是数列 的前 n 项和，求使不等式 Tn 对所有的nN*恒成立的最大正整数 m 的值；解析（）设数列a n的公差为 d， S4=2S2+8，即 4a1+6d=2(2a1+d) +8，化简得：4d=8 ，解得 d=24 分（）由 a1=1，d=2，得 an=2n-1，5 分 = 6 分 Tn=第 3 页 共 15 页= ，8 分又 不等式 Tn 对所有的 nN*恒成立， ，10 分化简得：m 2-5m-60，解得：-1m6 m 的最大正整数值为 61
3、2 分3.)已知各项均不相同的等差数列a n的前四项和 S4=14,且 a1,a3,a7 成等比数列. ()求数列a n的通项公式;()设 Tn 为数列 的前 n 项和,求 T2 012 的值. 答案 ()设公差为 d,由已知得 (3 分)解得 d=1 或 d=0(舍去), a1=2. (5 分)故 an=n+1. (6 分)() = = - ,(8 分)Tn= - + - + - = - = . (10 分)T2 012= . (12 分)4.)已知数列a n是等差数列, - =8n+4,设数列|a n|的前 n 项和为 Sn,数列 的前 n 项和第 4 页 共 15 页为 Tn. (1)求
4、数列a n的通项公式;(2)求证: Tn1. 答案 (1)设等差数列a n的公差为 d,则 an=a1+(n-1)d. (2 分 ) - =8n+4,(an+1+an)(an+1-an)=d(2a1-d+2nd)=8n+4. 当 n=1 时,d(2a 1+d)=12;当 n=2 时,d(2a 1+3d)=20. 解方程组 得 或 (4 分)经检验知,a n=2n 或 an=-2n 都满足要求 . an=2n 或 an=-2n. (6 分)(2)证明: 由(1)知:a n=2n 或 an=-2n. |an|=2n. Sn=n(n+1). (8 分) = = - . Tn=1- + - + - =
5、1- . (10 分) Tn1. (12 分)5.已知等差数列a n的公差为 2,前 n 项和为 Sn,且 S1,S2,S4 成等比数列 .()求数列a n的通项公式;第 5 页 共 15 页()令 bn=(-1)n-1 ,求数列 bn的前 n 项和 Tn.答案 查看解析解析 ()因为 S1=a1,S2=2a1+ 2=2a1+2,S4=4a1+ 2=4a1+12,由题意得(2a 1+2)2=a1(4a1+12),解得 a1=1,所以 an=2n-1.()b n=(-1)n-1 =(-1)n-1=(-1)n-1 .当 n 为偶数时 ,Tn= - + -=1-= .当 n 为奇数时 ,第 6 页
6、共 15 页Tn= - +- + + + =1+ = .所以 Tn=6. 已知点 的图象上一点，等比数列的首项为 ，且前 项和() 求数列 和 的通项公式；() 若数列 的前 项和为 ，问 的最小正整数 是多少？解析解：() 因为 ，所以 ，所以 ， ，又数列 是等比数列，所以 ，所以 ，第 7 页 共 15 页又 公比 ，所以 ，因为 ，又 ，所以 ，所以 ，所以数列 构成一个首项为 1，公差为 1 的等差数列， ，所以 ，当 时， ，所以 . （6 分）() 由() 得， （10 分）由 得 ，满足 的最小正整数为 72. （12 分）7. 在数列 ， 中， ， ，且 成等差数列，成等比数
7、列（ ）. （）求 ， ， 及 ， ， ，由此归纳出 ， 的通项公式，并证明你的结论；（）证明： .解析 （）由条件得 ，第 8 页 共 15 页由此可得 .猜测 . （4 分）用数学归纳法证明：当 时，由上可得结论成立.假设当 时，结论成立，即 ，那么当 时，.所以当 时，结论也成立.由，可知 对一切正整数都成立. （7 分）（）因为 .当 时，由（）知 .所以第 9 页 共 15 页.综上所述，原不等式成立. (12 分）8.已知数列 的前 项和是 ，且 （）求数列 的通项公式；（）设 ， ，求使 成立的最小的正整数 的值解析 （1） 当 时， ，由 ， 1 分当 时， 是以 为首项， 为公比的等比数列 4 分故 6 分（2 ）由（1 ）知 ，8 分第 10 页 共 15 页，故使 成立的最小的正整数 的值 . 12 分9. 己知各项均不相等的等差数列a n的前四项和 S4=14，且 a1，a 3，a 7 成等比数列（I）求数列 an的通项公式；（II）设 Tn 为数列 的前 n 项和，若 Tn 对 恒成立，求实数 的最小值解析 122. （）设公差为 d. 由已知得 3 分解得 ，所以 6 分（） ， 9 分对 恒成立，即 对 恒成立
