1、第 1 页 共 18 页函数的奇偶性中山七 欧阳志平 【教学目标】一、 知识目标1、深刻理解奇偶性的定义及图象特征；2、掌握判定和证明奇偶性的方法；3、学会利用函数的奇偶性解决问题 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 二、能力目标培养学生的观察、分析、归纳、概括和综合分析能力，培养学生用数形结合和转化变换等思想分析数学问题。三、 情感目标培养学生自主学习、积极主动探求知识的习惯和品质、合作交流的意识，改变学习方式，改善数学学习信念，帮助学生建立勇于探索创新的精神和克服困难的信心。【教学重点】1、 理解奇偶性的定义；2、 掌握判定方法；3、 学会利用函数的奇偶性解题。【教学难点】灵
2、活运用函数的奇偶性求解函数解析式、 对称区间上函数的单调性的判断。【考点分析】1、 考查判断函数的奇偶性的能力；2、 利用函数奇偶性的图像解题；3、 利用函数的奇偶性求解析式；4、 利用函数奇偶性求单调区间。第 2 页 共 18 页【知识点梳理】一、函数奇偶性的概念1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j函数的奇偶性的定义：在定义域关于原点对称的前提乐件下，如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都有 ，那么函数()fxx()fxf就叫做偶函数。例如：函数 , 等都是偶函数。()fx 2()1f42如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都有 ，那么函数()fxx()(fxf就叫做奇函数。
3、例如：函数 ， 都是奇函数。()fxf)(f)说明：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数：（1）其定义域关于原点对称；（2） 或 必有一成立。()fxf()(fxf因此，判断某一函数的奇偶性时，首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算 ，看是等于 还是等于 ，然后下结论；若定义域关于原点()f()f()fx不对称，则函数没有奇偶性。（3）无奇偶性的函数是非奇非偶函数。（4）函数 既是奇函数也是偶函数，因为其定义域关于原点对称且既满足0)(xf也满足 。)(xf)(xf（5）一般的，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数。偶函数的图象
4、关于 轴对称，反过来，如果一个函数的图y形关于 轴对称，那么这个函数是偶函数。y（6）奇函数若在 时有定义，则 0x(0)f2、主要方法：(1)、判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响； (2)、牢记奇偶函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性；(3)、判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式： ，()0fx第 3 页 共 18 页()1fx(4)、设 ， 的定义域分别是 ，那么在它们的公共定义域上：奇 +奇=奇，()fgx12,D奇 奇= 偶，偶 +偶=偶，偶 偶=偶，奇 偶=奇2. 函数的奇偶性的性质对称性:奇（偶）函数的定义域关于原点
5、对称；整体性:奇偶性是函数的整体性质 ,对定义域内任意一个 都必须成立；x可逆性: 偶函数；)(xff)(f奇函数；)(xf等价性: ff 0xff(f )(x奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于 轴对称；y可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。【典型例题】题型一 判断函数的奇偶性例 1 判断下列函数的奇偶性:（1）f(x)=x 4；（2）f(x)=x 5；（3）f(x)=x+ ；x（4）f(x)= .21思路分析：学生思考奇偶函数的定义，利用定义来判断其奇偶性.先求函数的定义域，并判断定义域是否关于原点对称，如果定义域关于原点对称
6、，那么再判断 f(-x)=f(x)或 f(-x)=-f(x).解答过程：解：（1）函数的定义域是 R，对定义域内任意一个 x，都有 f(-x)=(-x)4=x4=f(x)，所以函数 f(x)=x4 是偶函数.（2）函数的定义域是 R，对定义域内任意一个 x，都有 f(-x)=(-x)5=-x5=-f(x),所以函数 f(x)=x4 是奇函数.第 4 页 共 18 页（3）函数的定义域是(-,0) (0,+)，对定义域内任意一个 x，都有 f(-x)=-x+ =-x1(x+ )=-f(x)，x1所以函数 f(x)=x+ 是奇函数 .x（4）函数的定义域是(-,0) (0,+)，对定义域内任意一个
7、 x，都有 f(-x)= = =f(x)，)(12x所以函数 f(x)= 是偶函数.2点评：本题主要考查函数的奇偶性.函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，对定义域内任意 x，其相反数-x 也在函数的定义域内，此时称为定义域关于原点对称.小结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；确定 f(-x)与 f(x)的关系；作出相应结论：若 f(-x)=f(x)或 f(-x)-f(x)=0,则 f(x)是偶函数；若 f(-x)=-f(x)或 f(-x)+f(x)=0,则 f(x)是奇函数.变式一 设 f(x)是 R 上的任意函数,则下列叙述正确
8、的是( )A.f(x)f(-x)是奇函数 B.f(x)|f(-x)|是奇函数C.f(x)-f(-x)是偶函数 D.f(x)+f(-x)是偶函数思路分析:A 中设 F(x)=f(x)f(-x),则 F(-x)=f(-x)f(x)=F(x)，即函数 F(x)=f(x)f(-x)为偶函数；B 中设 F(x)=f(x)|f(-x)|，F(-x)=f(-x)|f(x)|，此时 F(x)与 F(-x)的关系不能确定，即函数 F(x)=f(x)|f(-x)|的奇偶性不确定；C 中设 F(x)=f(x)-f(-x),F(-x)=f(-x)-f(x)=-F(x)，即函数 F(x)=f(x)-f(-x)为奇函数；
9、D 中设 F(x)=f(x)+f(-x)，F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x)，即函数 F(x)=f(x)+f(-x)为偶函数.答案：D变式二 设 是( ，)上的奇函数， ，当 0x 1 时，xf )2(xf)(f ， 则 等于( )(xf5.7A0.5 B 0.5 C 1.5 D 1.5第 5 页 共 18 页解析： )5.7(f)2.(f)5.(f)2.3(f)5.(f)2.1(f 0.5.100答案：B解析： 这里反复利用了 和 ，后)(xf)(f)2xf)(xf面的学习我们会知道这样的函数具有周期性题型二 利用函数奇偶性求函数解析式例 2 已知函数 f(x)是定义在(-,+)上的
10、偶函数.当 x(- ,0)时，f(x)=x-x 4，则当 x(0,+)时，f(x)=_.思路分析：学生思考偶函数的解析式的性质，考虑如何将在区间(0,+)上的自变量对应的函数值，转化为区间(-,0) 上的自变量对应的函数值 .利用偶函数的性质 f(x)=f(-x)，将在区间(0,+)上的自变量对应的函数值，转化为区间 (- ,0)上的自变量对应的函数值.解答过程:当 x(0,+)时，则-x0 时， f(x)=x2+ ，求 f(x).3x解：当 x=0 时，f(-0)=-f(0) ，则 f(0)=0；当 x0，由于函数 f(x)是奇函数，则f(x)=-f(-x)=-(-x) 2+ =-x 2+
11、，3x3综上所得，f(x)= .0,0,32x第 6 页 共 18 页例 3已知二次函数 ，若 是偶函数，则实数 的值为( )2()4fxa(1)fxaA.1 B.1 C.2 D.2解析：f(x) x 2ax 4， f(x1) (x1) 2a( x1) 4x 22x1axa4x 2(2 a) x 5a，f(1x)(1x) 2a(1x) 4x 22x1aax 4x 2( a2)x5a.f(x1)是偶函数，f(x 1)f(x1)，a22a，即 a2.题型三 函数的奇偶性与单调性综合例 4已知函数 在定义域 上是奇函数，又是减函数。()yfx1,(1)证明：对任意的 有：,12()()fxfx121
12、20(2)若 求实数 的取值范围。()()faf20a解答过程：解：(1)证明：若 ，显然不等式成立；x12若 ，则120x12在 上是奇函数又是减函数，()f,)()()xfff1212()f原不等式成立同理可证当 时原不等式也成立。x120(2)解：由 得()()faf，()f2即 ()f由函数在 上是单调减函数，故有,1aa220101所以，所求 的取值范围是 。a0,)点评： (1)函数的单调性广泛应用于比较大小，解不等式，求参数的范围，最值问题中，第 7 页 共 18 页应引起足够的重视。变式一：已知偶函数 在区间 单调增加,则满足 的 取值()fx0)(21)fx(3fx范围是（
13、）A. B. C. D.12(,)3,)312(,)3,)解析：由于 是偶函数,故 得 ，fxfx|f 1(|2|()3fxf再根据 的单调性， 得|2 1| 解得 . ()f 13变式二：已知奇函数 在区间3,7上是增函数,且最小值为 5,那么函数()fx ()fx在区间7，3上是 ( )A.增函数且最小值为5 B.增函数且最大值为5C.减函数且最小值为5 D.减函数且最大值为5解析：f( x)为奇函数， f(x)的图象关于原点对称 f(x)在 3,7上是增函数，f(x)在7， 3上也是增函数f(x)在3,7 上的最小值为 5，由图可知函数 f(x)在7，3上有最大值5.题型四 图形、单调性
14、综合利用例题 5。 （2004 年上海卷）设奇函数 f（x）的定义域是-5 ，5 。当 时，f（x）05，的图象如图 ，则不等式 f（x ）0 的解是_。 ()(2， ，第 8 页 共 18 页例题 6 、定义在2，2上的偶函数 g（x） ，当 x0 时，g（x）单调递减，若 g（1m）g（m） ，求 m 的取值范围.解：由 g（1m）g（m）及 g（x）为偶函数，可得 g（|1 m |）g（|m|）.又 g（x）在（0，+）上单调递减，|1m|m |，且|1m|2，|m |2，解得1m .21题型五 抽象函数的奇偶性例 7.函数 的定义域为 ，且满足对于任意 ，有)(xfD0xRDx21,1
15、212()ff（1）求 的值； （2）判断函数 的奇偶性，并证明；)(xf解：（1）令 ，得 ；1x10f（2）令 ，得 ，令 ，得212,xxfxffx ，即 为偶函数f)(xf点评：赋值法是解决抽象函数问题的切入点常赋值有 0，1，1，2，2，等等例 8 已知函数 在( 1，1)上有定义， 1，当且仅当 0x 1 时)xf )(f0，且对任意 x、y (1，1)都有 ，试证明： )(xf )(xfyfxyf(1) 为奇函数；(2) 在( 1，1)上单调递减f )f解答过程：证明：(1) 由 ，令 xy0，得 0，)(xfyf)1(f)(f第 9 页 共 18 页令 yx，得 0， ， )(
16、xf)f)1(2xf(f)(xf)(f 为奇函数)(f(2)先证 在(0，1)上单调递减x令 0x 1x 21，则 f(x2)f(x 1)f (x2)f (x 1)f ( )21x0x 1x 21，x 2x 10，1x 1x20， 0，21又(x 2 x1)(1 x2x1)(x 21)(x 1+1)0x 2x 11x 2x1，0 1，由题意知 f( )0，221x即 f(x2)f(x 1) 在(0，1)上为减函数，又 为奇函数且 f(0)0)(f 在(1，1)上为减函数)xf点评： 这种抽象函数问题，往往需要赋值后求特殊的函数值，如等等，一般 的求解最为常见赋值技巧常为令 或(0),(2)ff
17、(0)f 0yx等。本例中第一问求解特殊函数值的过程中就采用了这两个技巧；对于(2)，判定 yx的范围是解题的焦点21变式练习 1.已知函数 对一切 ，都有 ， 求证：()fx,yR()()fxyfy是奇函数；()fx解：（1）显然 的定义域是 ，它关于原点对称在 中，()fx ()()fxyfy令 ，得 ，令 ，得 ，y0()fx0y0 ， ，即 ， 是奇函数()f 0x()(ffx()f题型四 利用函数奇偶性求值第 10 页 共 18 页例 9. 已知 且 ,那么 _.8)(35bxaxf 10)2(f)2(f解：设 ，则 为奇函数，于是有 ，FbxaF35)( )(xF从而有 即：)(f
18、 6)(ff令 ，得 ，又 ，故2x16)2(f 10226102f【巩固练习】1.函数 xf1)(1)(xf 1)(24xf 0,2x 0f 2)1(3)(xf xxf1)(上述函数中为奇函数的是（ ）A. B. C. D. 2.（2011 年安徽理科卷）设 是定义在上的奇函数，当 时，fx0x，则 （ ）2fx13 1 1 33.如果奇函数 在区间3，7上是增函数且最小值是5，那么 在区间)(xf )(xf7，3上（ ）A.是增函数且最小值为5 B.是增函数且最大值是5C.是减函数且最小值为5 D.是减函数且最大值是54.已知函数 = x5a x 3b x 8，且 0，则 等于（ ）)(f )2(f)2(fA.16 B.18 C.10 D.105.若 在5，5上是奇函数，且 ，则（ ）)(f )3(f1fA. B. 1)(f0C. D. 3)(f)5(f
