1、1名校专题-圆锥曲线培优训练 51、设椭圆 E: (a,b0)过 M(2, ) ,N( ,1)两点,O 为坐标原点21xyab6()求椭圆 E的方程;()是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E恒有两个交点 A,B,且 ?若存在,写出该圆的方程,并求|AB |的取值范围,若不存在说明理由。OAB解:(1)因为椭圆 E: (a,b0)过 M(2, ) ,N( ,1)两点,21xyab6所以 解得 所以 椭圆 E的方程为 4分2416ab2842ab2184xy(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E恒有两个交点 A,B,且 ,设该OAB圆的切线方程为 解方程
2、组 得 ,ykxm2184xykm22()8xk即 ,22(1)40k则= ,即26(1)()0kkm240km1228xmk22221212112(8)48()()11kmkmkyxxkmx()要使 ,需使 ,即 ,所以 ,OAB120y280230所以 又 , 238mk24k所以 ,所以 ,即 或 ,2236m263因为直线 为圆心在原点的圆的一条切线,ykx2所以圆的半径为 , , ,21mrk22831mrk263r所求的圆为 ,此时圆的切线 都满足 或 ,283xyykx而当切线的斜率不存在时切线为 与椭圆 的两个交点为 或2632184y26(,)3满足 ,26(,)3OAB综上
3、, 存在圆心在原点的圆 ,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E恒有两个交点 A,B,且283xyOAB因为 ,12248kmx所以 ,2222211148(4)()()()11kmkmxx 22222111()|()()AByxk, 8分4224353kk当 时 ,因为 所以 ,0k21|ABk214k21084k所以 ,所以 当且仅当 时取“=” 232114k6|233AB2k 时, 0k6|3AB3当 AB的斜率不存在时, 两个交点为 或 ,26(,)326(,)3所以此时 , 12分46|3AB综上, |AB |的取值范围为 即: 14分|23AB4|6,23AB2、如图,已知椭圆的中心在
4、原点,焦点在 轴上,长轴长是短轴长的 2倍且经过点 M(2,1),平行于 OM的x直线 l在 轴上的截距为 ,l 交椭圆于 A、B 两个不同点y(0)m(1)求椭圆的方程; (2)求 m的取值范围;(3)求证直线 MA、MB 与 轴始终围成一个等腰三角形 x解:(1)设椭圆方程为 则 2分)0(12bay 81422baa解 得椭圆方程 4分82x(2)直线 l平行于 OM,且在 轴上的截距为 m,又 y21OMKl 的方程为:mxy21由 6分0421282xyx直线 l与椭圆交于 A、B 两个不同点, ,0)42()(mm 的取值范围是 02|m且(3)设直线 MA、MB 的斜率分别为 k
5、1,k2,只需证明 k1k2=0 即可设 21,),(),( 2121 xykxykyxBA则可得 8分042mx由 4,212m而 )()(,12111221 xyyxyk4)2()1(442)(2)2(1()12(1112xmmxxx10分0)(212 k1k2=0故直线 MA、MB 与 x轴始终围成一个等腰三角形 12 分3已知椭圆 : ( )过点 ,其左、右焦点分别为 ,且E21yab0(3, 1)P12, F126FP(1)求椭圆 的方程;(2)若 是直线 上的两个动点,且 ,则以 为直径的圆 是否过定点?请说明理,MN5x12FMNC由解:(1)设点 的坐标分别为 ,12,F(,0
6、)()c则 (3,)(3,)Pc故 ,可得 , 2分212106c4c所以 ,4 分212|(34)(3)16aF故 ,23,8162bc所以椭圆 的方程为 6 分E2xy(2)设 的坐标分别为 ,则 ,,MN(5,)mn12(9,)(1,)FMmNn又 ,可得 ,即 , 8 分12F1290FNn又圆 的圆心为 半径为 ,C(5,),n|故圆 的方程为 ,222|()()mxy5即 ,2(5)()0xymny也就是 , 11 分29令 ,可得 或 2,0y8x故圆 必过定点 和 13 分C(,0),(另法:(1)中也可以直接将点 坐标代入椭圆方程来进行求解;(2)中可利用圆 C直径的两端点直
7、接P写出圆 的方程)4、已知点 是直角坐标平面内的动点,点 到直线 的距离为 ,到点 的距离为 ,P12lx: 1d(0)F, 2d且 21d(1)求动点 P所在曲线 C的方程;(2)直线 过点 F且与曲线 C交于不同两点 A、B(点 A或 B 不在 x轴上),分别过 A、B 点作直线l的垂线,对应的垂足分别为 ,试判断点 F与以线段 为直径的圆的位置关系(指在圆内、1:2lxMN、 MN圆上、圆外等情况);(3)记 , , (A、B、 是(2)中的点),问是否存在实数 ,使1FAMS2FNS3F、 成立若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由23进一步思考问题:若上述问题中直线 、点 、曲线
8、 C:21:alxc(0),则使等式 成立的 的值仍保持不变请给出你的判断 2 21(0)xyabcab, 213S(填写“不正确”或“正确”)(限于时间,这里不需要举反例,或证明)解 (1) 设动点为 ,依据题意,有 ,化简得 3 分()Pxy,2()|xy21xy因此,动点 P所在曲线 C的方程是: 4 分21y(2) 点 F在以 MN为直径的圆的外部理由:由题意可知,当过点 F的直线 的斜率为 0时,不合题意,故可设直线 :l l,如图所示 5 分1xmy联立方程组 ,可化为 ,2xy2()10my6则点 的坐标满足 7 分12()()AxyB, 、 ,12my又 、 ,可得点 、 Ml
9、1Nl1()My,2()Ny,因 , ,则 = 9 分1()Fy2(), 1212()Fy, 20m于是, 为锐角,即点 F在以 MN为直径的圆的外部 10 分(3)依据(2)可算出 , ,121224()xmym2112()x则 131122()|()|S,1212()44xxm21()m 14 分221(|)Sy2112()yy2()所以, ,即存在实数 使得结论成立 15 分 234S4对进一步思考问题的判断:正确 18 分5、已知点 是直角坐标平面内的动点,点 到直线 ( 是正常数)的距离为 ,到点PP12px1d的距离为 ,且 1(0)2pF, 2d12(1)求动点 P所在曲线 C的
10、方程;(2)直线 过点 F且与曲线 C交于不同两点 A、B,分别过 A、B 点作直线 的垂线,对应的垂足分l 1:2plx别为 ,求证 = ;MN、 0(3)记 , , (A、B、 是(2)中的点), ,求 的值1FAS2FMNS3FNM、213S解 (1) 设动点为 ,依据题意,有()Pxy,7,化简得 4 分2|1|()12ppxxy2ypx因此,动点 P所在曲线 C的方程是: 6 分由题意可知,当过点 F的直线 的斜率为 0时,不合题意,l故可设直线 : ,如图所示 8 分l1xmy联立方程组 ,可化为 ,2p220yp则点 的坐标满足 10 分12()()AxyBx, 、 ,12ym又
11、 、 ,可得点 、 1Ml1Nl1()pMy,2()pNy,于是, , ,()Fpy2F因此 12 分11()0py(3)依据(2)可算出 , ,21212()xmp2214ypx则 ,131122()|ppSyxy 2121()42(1)m 16 分221(|)y2112()442()pm所以, 即为所求 18 分213S6、已知:椭圆 ( ) ,过点 , 的直线倾斜角为 ,原点到该直2byax0a)0,(aA),(bB6线的距离为 3(1)求椭圆的方程; (2)斜率大于零的直线过 与椭圆交于 , 两点,若 ,求直线 的方程;)0,1(DEFDF2E(3)是否存在实数 ,直线 交椭圆于 ,
12、两点,以 为直径的圆过点 ?若存k2kxyPQ)0,1(8在,求出 的值;若不存在,请说明理由k解:(1)由 , ,得 , ,3ab2321bab 3a1b所以椭圆方程是: 4分2yx(2)设 EF: ( )代入 ,得 ,1mx0132yx 02)3(2my设 , ),(2yF,由 ,得 ),(1yEDFE21y由 , 8 分3221 3221my得 , , (舍去) , (没舍去扣 1分))3(22m直线 的方程为: 即 10分EF1yx0(3)将 代入 ,得 (*)2ky32 0912)3(2kxk记 , ,PQ 为直径的圆过 ,则 ,即),(1xP),(2yxQ,DQDP,又 , ,得)
13、(121221 yxy 21kx2kxy14 分0345)(1)( 22212 kxkxk解得 ,此时(*)方程 , 存在 ,满足题设条件16 分67k0677、已知点 ,动点 满足条件 ,记动点 的轨迹为 。(2,0)(,MNP2MPNPW(1)求 的方程;W(2)过 作直线 交曲线 于 两点,使得 2 ,求直线 的方程。),(lW,AB|Al(3)若从动点 向圆 : 作两条切线,切点为 、 ,令|PC|=d,PC22(4)1xyB试用 d来表示 ,并求 的取值范围。ABP解:(1)由 ,知点 的轨迹是以 为焦点,实轴长为 的双曲线2MN(2,0)(,MN29即设 ,所以所求的 的方程为 4
14、分2,42,2acacbW2xy(2)若 k不存在,即 x=2时,可得 A(2, ),B(2,- ),|AB|=2 满足题意; 5 分若 k存在,可设 l:y=k(x-2)联立 ,2)(2yx024)1(22kxk由题意知 且 6 分012kR1k设 A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|= 即 =2 k=0 即 l:y=0 8分2|a221|8k所以直线 l的方程为 x=0 或 y=0 9分(3) 22cos(1)sin)PABAPBdAPO 2221()()dd又22 2(4)480dxyyy则 - 13分PAB221)3dd21d在 是增函数, 2()3fd0, 1()0375f
15、则所求的 的范围为 。 16 分PAB17,58、在平面直角坐标系中,已知焦距为 4的椭圆 的左、右顶点分别为 ,椭)0(1:2bayaxCBA、圆 的右焦点为 ,过 作一条垂直于 轴的直线与椭圆相交于 ,若线段 的长为 。CFxSR、 S310(1)求椭圆 的方程;(2)设 是直线 上的点,直线 与椭圆 分别交于点 ,求证:直线),(mtQ9xQBA、 CNM、 N必过 轴上的一定点,并求出此定点的坐标;x(3)实际上,第(2)小题的结论可以推广到任意的椭圆、双曲线以及抛物线,请你对抛物线写出一个更一般的结论,并加以证明。)0(py(1)依题意,椭圆过点 ,故 ,解得 。(3 分))35,2
16、(41925ba592baA BQOMNxy910椭圆 的方程为 。(4 分)C1592yx(2)设 ,直线 QA的方程为)3(12xmy,(5 分)),(m代入椭圆方程,得 , (6 分)0796)80(2x设 ,则 ,(7 分)),(1yxM8347932121mx,故点 的坐标为 。(8 分)0)3804(2mM)04,8320(2m同理,直线 的方程为 ,代入椭圆方程,得 ,QB(6xy 196)( x设 ,则 , 。),(2yxN20632018932mx 20)320(32 xy可得点 的坐标为 。(10 分)),6(m若 时,直线 的方程为 ,与 轴交于 点;40238024MN
17、1x)0,1(若 ,直线 的方程为 ,2mMN)2063(40122mmy令 ,解得 。综上所述,直线 必过 轴上的定点 。(12 分)y1x x,((3)结论:已知抛物线 的顶点为 , 为直线 上一动点,过点 作 轴的平)(2pxyOP)0(qx Px行线与抛物线交于点 ,直线 与抛物线交于点 ,则直线 必过定点 。(14 分)OPNM,证明:设 ,则 ,),(mqP),2(mpM直线 的方程为 ,代入 ,得 ,可求得 。(16 分)Oxyxy02ympq)2,(mpqN直线 的方程为 ,MN)2()2(2 pxqpmqpy 令 ,得 ,即直线 必过定点 。(18 分)0yqmx2MN)0,(q9、已知椭圆 中心为 ,右顶点为 ,过定点 作直线 交椭圆于 、 两点.214yO(,)2DtlAB(1)若直线 与 轴垂直,求三角形 面积的最大值; lxAB(2)若 ,直线 的斜率为 ,求证: ;65tl190M(3)直线 和 的斜率的乘积是否为非零常数?请说明理由.AMBPOMNxyq