1、一元二次不等式及其解法(复习课)【常考题型】题型一、简单的分式不等式【例 1】 解下列不等式(1) 0，x 21 x x 2x 1此不等式等价于(x2)( x1)0，原不等式的解集为x|x1(2)法一：移项得 20，x 1x 2左边通分并化简有 0，即 0， x 5x 2 x 5x 2它的同解不等式为Error!x1.x 23 x 2x 13 4x解：(1)原不等式等价于Error!即Error! 2x 0，即 0.2x 13 4x 3x 24x 3等价于(3x2)(4x3)0. x .23 34原不等式的解集为x| x .23 34题型二、不等式中的恒成立问题【例 2】 关于 x 的不等式(
2、1m) x2mxmx 21 对 xR 恒成立，求实数 m 的取值范围解 原不等式等价于 mx2 mxm10，对 xR 恒成立，当 m0 时，0x 20x10 对 xR 恒成立当 m0 时，由题意，得Error! Error!Error! m 0.综上，m 的取值范围为 m0.【类题通法】不等式对任意实数 x 恒成立，就是不等式的解集为 R，对于一元二次不等式ax2bxc0 ，它的解集为 R 的条件为Error!一元二次不等式 ax2bx c 0，它的解集为 R 的条件为Error!一元二次不等式 ax2bx c 0 的解集为的条件为Error!【对点训练】2若关于 x 的不等式 ax22x 2
3、0 在 R 上恒成立，求实数 a 的取值范围解：当 a0 时，原不等式可化为 2x20，其解集不为 R，故 a0 不满足题意，舍去；当 a0 时，要使原不等式的解集为 R，只需Error!解得 a .12综上，所求实数 a 的取值范围为 .(12， )题型三、一元二次不等式的实际应用【例 3】 某农贸公司按每担 200 元收购某农产品，并按每 100 元纳税 10 元(又称征税率为 10 个百分点)，计划可收购 a 万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低 x(x0)个百分点，预测收购量可增加 2x 个百分点(1)写出税收 y(万元)与 x 的函数关系式；(2)要使此项税收
4、在税率调节后，不少于原计划税收的 83.2%，试确定 x 的取值范围解 (1) 降低税率后的税率为(10 x )%，农产品的收购量为 a(12x %)万担，收购总金额为 200a(12x%)依题意得，y200a(1 2x%)(10x )% a(1002x)(10 x)(0 x10) 150(2)原计划税收为 200a10%20a( 万元)依题意得， a(1002x)(10 x) 20a83.2%，150化简得 x240x840， 42x2.又 0x10，0 x 2.x 的取值范围是x |0x2【类题通法】用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤是：(1)理解题意，搞清量与量之间的关系；(2)建立
5、相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题；(3)解这个一元二次不等式，得到实际问题的解【对点训练】3某校园内有一块长为 800 m，宽为 600 m 的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同 )，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围解：设花卉带的宽度为 x m，则中间草坪的长为 (8002x) m，宽为(600 2x) m根据题意可得(800 2x)(6002x) 800600，整理得 x2700x 6001000，即( x600)(x100)120，所以 0x 100 或 x600 ，x 600 不符合题意，舍去故所
6、求花卉带宽度的范围为(0,100 m.【练习反馈】1若集合 Ax| 12x 13，Bx| 0，则 AB( )x 2xA x| 1x0 Bx|0 x1Cx|0x2 D x|0x1解析：选 B Ax |1x 1，B x|0x2，AB x|0 x12已知不等式 x2ax 40 的解集为空集，则 a 的取值范围是( )A4a4 B4a4Ca4 或 a4 Da4 或 a4解析：选 A 依题意应有 a 2160，解得4a4，故选 A.3不等式 3 的解集为_x 1x解析： 3 30 0x(2x1) 0 且 x0x0 或 x .x 1x x 1x 2x 1x 12答案： x|x 0或 x 124若函数 f(x)log 2(x22axa) 的定义域为 R，则 a 的取值范围为_解析：已知函数定义域为 R，即 x22axa0对任意 xR 恒成立( 2a)2 4a0.解得1a0.答案：(1,0)5你能用一根长为 100 m 的绳子围成一个面积大于 600 m2 的矩形吗？解：设围成的矩形一边的长为 x m，则另一边的长为(50 x) m，且 0x50.由题意，得围成矩形的面积 Sx(50x)600，即 x250x6000，解得 20x 30.所以，当矩形一边的长在(20,30)的范围内取值时，能围成一个面积大于 600 m2 的矩形
