1、中考二次函数压轴题分类汇编1极值问题1.二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点（1，4） ，且与直线 y= x+1 相交于 A、B 两点（如图） ，A 点在 y 轴上，过点 B 作 BCx 轴，垂足为点 C（3，0） （1）求二次函数的表达式；（2）点 N 是二次函数图象上一点（点 N 在 AB 上方） ，过 N 作 NPx 轴，垂足为点 P，交 AB 于点 M，求MN 的最大值；（3）在（2）的条件下，点 N 在何位置时，BM 与 NC 相互垂直平分？并求出所有满足条件的 N 点的坐标分析：（1）首先求得 A、B 的坐标，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；（2）设 M 的横坐
2、标是 x，则根据 M 和 N 所在函数的解析式，即可利用 x 表示出 M、N 的坐标，利用 x 表示出 MN 的长，利用二次函数的性质求解；（3）BM 与 NC 互相垂直平分，即四边形 BCMN 是菱形，则 BC=MC，据此即可列方程，求得 x 的值，从而得到 N 的坐标解：（1）由题设可知 A（0，1） ，B（3， ） ，根据题意得： ，解得： ，则二次函数的解析式是：y= x+1；（2）设 N（x， x2 x+1） ，则 M、P 点的坐标分别是（x， x+1） ， （x，0） MN=PNPM= x2 x+1（ x+1）= x2 x= （x+ ） 2+ ，则当 x= 时，MN 的最大值为 ；
3、（3）连接 MN、BN、BM 与 NC 互相垂直平分，即四边形 BCMN 是菱形，由于 BCMN，即 MN=BC，且 BC=MC，即 x2 x= ，且（ x+1） 2+（x+3） 2= ，解得：x=1，故当 N（1，4）时，MN 和 NC 互相垂直平分点评：本题是待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的性质、菱形的判定的综合应用，利用二次函数的性质可以解决实际问题中求最大值或最小值问题2.如图，抛物线 y= x2+bx+c 与 y 轴交于点 C（0，4） ，与 x 轴交于点 A，B，且 B 点的坐标为（2，0）（1）求该抛物线的解析式（2）若点 P 是 AB 上的一动点，过点 P 作 PE
4、AC，交 BC 于 E，连接 CP，求PCE 面积的最大值（3）若点 D 为 OA 的中点，点 M 是线段 AC 上一点，且OMD 为等腰三角形，求 M 点的坐标考点：二次函数综合题分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）首先求出PCE 面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值；（3）OMD 为等腰三角形，可能有三种情形，需要分类讨论解答：解：（1）把点 C（0，4） ，B（2，0）分别代入 y= x2+bx+c 中，得 ，解得该抛物线的解析式为 y= x2+x4（2）令 y=0，即 x2+x4=0，解得 x1=4，x 2=2，A（4，0） ，S ABC = ABOC=12
5、设 P 点坐标为（x，0） ，则 PB=2xPEAC，BPE=BAC，BEP=BCA，PBEABC， ，即 ，化简得：S PBE = （2x） 2SPCE =SPCB S PBE = PBOCS PBE = （2x）4 （2x） 2= x2 x+= （x+1） 2+3当 x=1 时，S PCE 的最大值为 3（3）OMD 为等腰三角形，可能有三种情形：（I）当 DM=DO 时，如答图所示DO=DM=DA=2，OAC=AMD=45，ADM=90，M 点的坐标为（2，2） ；（II）当 MD=MO 时，如答图所示过点 M 作 MNOD 于点 N，则点 N 为 OD 的中点，DN=ON=1，AN=A
6、D+DN=3，又AMN 为等腰直角三角形，MN=AN=3，M 点的坐标为（1，3） ；（III）当 OD=OM 时，OAC 为等腰直角三角形，点 O 到 AC 的距离为 4= ，即 AC 上的点与点 O 之间的最小距离为 2，OD=OM 的情况不存在综上所述，点 M 的坐标为（2，2）或（1，3） 点评：本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、等腰三角形等知识点，以及分类讨论的数学思想第（2）问将面积的最值转化为二次函数的极值问题，注意其中求面积表达式的方法；第（3）问重在考查分类讨论的数学思想，注意三种可能的情形需要一一分析，不能遗漏 2构成图形的问题1如图
7、，抛物线 y=ax2+bx+c（aO）与 y 轴交于点 C(O，4)，与 x 轴交于点 A 和点 B，其中点 A 的坐标为（-2,0） ，抛物线的对称轴 x=1 与抛物线交于点 D，与直线 BC 交于点 E2-1-c-n-j-y(1)求抛物线的解析式；(2)若点 F 是直线 BC 上方的抛物线上的一个动点，是否存在点 F 使四边形 ABFC 的面积为 17，若存在，求出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)平行于 DE 的一条动直线 Z 与直线 BC 相交于点 P，与抛物线相交于点 Q，若以D、E、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点 P 的坐标。考点：二次函数综合题分析：（1）把三
8、点坐标代入函数式，列式求得 a，b，c 的值，即求出解析式；（2）设存在点 K，使得四边形 ABFC 的面积为 17，根据点 K 在抛物线 y=-x2+2x+3 上设点 K 的坐标为：（x，-x 2+2x+3） ，根据 S 四边形 ABKC=SAOC +S 梯形 ONKC+SBNK 得到有关 x 的一元二次方程求出 x 即可.（3）将 x=1 代入抛物线解析式， 求出 y 的值，确定出 D 坐标，将 x=1 代入直线 BC 解析式求出 y 的值，确定出 E 坐标，求出 DE 长，将 x=m 代入抛物线解析式表示出 F 纵坐标，将 x=m 代入直线 BC 解析式表示出 P 纵坐标，两纵坐标相减表
9、示出线段 PQ，由 DE 与 QP 平行，要使四边形 PEDQ 为平行四边形，只需 DE=PQ，列出关于 m 的方程，求出方程的解得到 m 的值，检验即可解：(1)由抛物线经过点 C(O，4)可得 c=4, 对称轴 x= =1，b=-2a， ab2又抛物线过点 A（一 2，O）0=4a-2b+c， 由 解得：a= , b=1 ,c=4 所以抛物线的解析式是 y= x+x+41 21(2)假设存在满足条件的点 F，如图如示，连接 BF、CF、OF过点 F 分别作 FHx 轴于 H , FGy 轴于 G设点 F 的坐标为（t, t2+t+4） ，其中 O4 时，PQ=（一 m+4）一（一 m2+m
10、+4)= m22m,2121由 m22m= ，解得 m=2 ，经检验适合题意，2137此时 P2（2+ ，2 一 ） ，P3（2 一 ，2+ ） 77综上所述，满足条件的点 P 有三个，分别是 P1 (3,1)，P2（2+ ，2 - ） ，7P3（2 ，2 十 ）.7点评：此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，一次函数与坐标轴的交点，抛物线与坐标轴的交点，平行四边形的判定，以及待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题第二问的关键本题逻辑思维性强，需要耐心和细心，是道好题2如图，三角形 ABC 是以 BC 为底边的等腰三角形，点 A、C 分别是一次函数 y= x+3
11、的图象与 y 轴的交点，点 B在二次函数 的图象上，且该二次函数图象上存在一点 D 使四边形 ABCD 能构成平行四边形（1）试求 b，c 的值，并写出该二次函数表达式；（2）动点 P 从 A 到 D，同时动点 Q 从 C 到 A 都以每秒 1 个单位的速度运动，问：当 P 运动到何处时，有 PQAC？当 P 运动到何处时，四边形 PDCQ 的面积最小？此时四边形 PDCQ 的面积是多少？考点： 二次函数综合题3338333分析： （1）根据一次函数解析式求出点 A、点 C 坐标，再由ABC 是等腰三角形可求出点 B 坐标，根据平行四边形的性性质求出点 D 坐标，利用待定系数法可求出 b、c
12、的值，继而得出二次函数表达式（2）设点 P 运动了 t 秒时，PQAC，此时 AP=t，CQ=t，AQ=5t，再由 APQCAO，利用对应边成比例可求出 t 的值，继而确定点 P 的位置；只需使APQ 的面积最大，就能满足四边形 PDCQ 的面积最小，设APQ 底边 AP 上的高为 h，作QHAD 于点 H，由AQHCAO ，利用对应边成比例得出 h 的表达式，继而表示出APQ 的面积表达式，利用配方法求出最大值，即可得出四边形 PDCQ 的最小值，也可确定点 P 的位置解答： 解：（1）由 y= x+3，令 x=0，得 y=3，所以点 A（0，3） ；令 y=0，得 x=4，所以点 C（4，
13、0） ，ABC 是以 BC 为底边的等腰三角形， B 点坐标为（4，0） ，又 四边形 ABCD 是平行四边形，D 点坐标为（8，3） ，将点 B（4，0 ） 、点 D（8，3）代入二次函数 y= x2+bx+c，可得 ，解得： ，故该二次函数解析式为：y= x2 x3（2）设点 P 运动了 t 秒时，PQAC，此时 AP=t，CQ=t，AQ=5t，PQAC， APQCAO， = ，即 = ，解得：t= 即当点 P 运动到距离 A 点 个单位长度处，有 PQACS 四边形 PDCQ+SAPQ=SACD，且 SACD= 83=12，当 APQ 的面积最大时，四边形 PDCQ 的面积最小，当动点
14、P 运动 t 秒时，AP=t ，CQ=t ，AQ=5t ，设APQ 底边 AP 上的高为 h，作 QHAD 于点 H，由AQHCAO 可得： = ，解得：h= （5 t） ，S APQ= t （5t ）= （ t2+5t）= （t ） 2+ ，当 t= 时，S APQ 达到最大值 ，此时 S 四边形 PDCQ=12 = ，故当点 P 运动到距离点 A 个单位处时，四边形 PDCQ 面积最小，最小值为 3翻转问题1已知关于 x 的一元二次方程 x2+2x+ =0 有两个不相等的实数根，k 为正整数（1）求 k 的值；（2）当次方程有一根为零时，直线 y=x+2 与关于 x 的二次函数 y=x2+
15、2x+ 的图象交于 A、B 两点，若 M 是线段AB 上的一个动点，过点 M 作 MNx 轴，交二次函数的图象于点 N，求线段 MN 的最大值及此时点 M 的坐标；（3）将（2）中的二次函数图象 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折到 x 轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象 x 轴上方的部分组成一个“W”形状的新图象，若直线 y= x+b 与 该新图象恰好有三个公共点，求 b 的值考点： 二次函数综合题.分析： （1）先根据一元二次方程根的情况利用判别式与 0 的关系可以求出 k 的值；（2）利用 m 先表示出 M 与 N的坐标，再根据两点间的距离公式表示出 MN 的长度，根据二次函数的极值即可求出 MN的最大长度和 M 的坐标；（3）根据图象的特点，分两种情况讨论，分别求出 b 的值即可解答： 解：（1）关于 x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根 k12 k 3k 为正整数，k 为 1，2（2）把 x=0 代入方程 得 k=1，此时二次函数为 y=x2+2x，此时直线 y=x+2 与二次函数 y=x2+2x 的交点为 A（ 2，0） ，B（1，3）由题意可设 M（m，m+2 ） ，其中 2m1，则 N（m，m 2+2m） ，MN=m+2（m 2+2m）=m 2m+2= 当 m= 时，MN 的长度最大值为 此时点 M 的坐标为
