1、 1第二章 一元二次方程第 1 讲 一元二次方程概念及解法【知识要点】一. 知识结构网络 一元二次方程 解 法 直 接 开 平 方 法 配 方 法 公 式 法 因 式 分 解 法 分 式 方 程 的 解 法 二 元 二 次 方 程 组 的 解 法 性质 判 别 式 根 与 系 数 的 关 系 应用 二 次 三 项 式 的 因 式 分 解 列 方 程 或 方 程 组 解 应 用 题 二、一元二次方程的四种解法直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法1. 直接开平方法是解一元二次方程的常用方法之一，适用于方程经过适当整理后，可化为 或02bx的形式的方程求解。当 时，可两边开平方求得方程的解；当
2、时，方程无实数根。bax2 0b 0b2. 因式分解法解方程的步骤：（1）将方程一边化为 0；（2）将方程另一边分解为两个一次因式的乘积；（3）令每个一次因式等于 0，得到两个一元一次方程后求解，它们的解就是原一元二次方程的解。3. 配方法解一元二次方程的步骤为：（1）化二次项系数为 1（2）移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项。 （3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方（4）原方程变为 的形式（5）如果右边是()xmn2非负数，就可用直接开平方法求出方程的解。4. 公式法解一元二次方程的基本步骤：（1）将方程化为一般形式 ，确定 a、b、c 的值；（2）02cba计算 的值并判别
3、其符号；（3）若 ，则利用公式 求方程的解，若acb42 042cbx24，则方程无实数解。02【典型例题】（1） （用因式分解法） 67302x解： )(1223，1 0或03 xx（2） （用公式法） 432解： 01x028)(3)(2 372，372 4 1 xx（3） （用配方法）02解： 152x812)4()42(2x25，23 1x【经典练习】一、直接开方法（1） （2）()()xx122 bax2)(二、配方法注：（1） （2）230x3412x二、公式法1. 用求根公式法解下列方程；()2x解：3；()2810y解：；()32180x解： ；()4321y解：；()502x
4、解：；()62530x解：； ()742x解：(7)方程无实数根；()83202解：； ().9025x解：(9)先在方程两边同乘以 100，化为整数系数，再代入求根公式，()()13132x解： 。三、因式分解1. 用因式分解法解下列各方程：（1）x 25x240； 解： ；（2）12x 2x60；解： ；（3）x 24x1650 解： ；（4）2x 223x560；4解： ；8，27，0)8(721xx（5） ； 946解： （6） ；32()()xx解：（7） xx2360()解： ； （8） ； ()x251解： (x2) 25(x 2)60，(x22)(x23) 0，x 14，x 2
5、5；（9）t(t3) 28； 解：（9）t 23t280，(t7)(t4)0，t 17，t 24；（10）(x1)(x 3)15。解：x 24x315，(x6)(x2)0，x 16，x 222. 用因式分解法解下列方程：（1）(y1) 22y(y 1)0； 解： ；（2）(3x2) 24(x 3) 2；解： 0)3(23)(3( xx8，54，08)451x（3）9(2x3) 24(2x 5) 20； 解：3(2x3) 2(2x5)3(2x 3)2(2x5) 0，219，1，)19(102xx（4）(2y1) 23(2y 1)20。解：(2y1)1(2y 1)20，三、综合练习1. 下列方程中
6、，有两个相等实数根的方程是（ B ）A. 7x2x10 B. 9x24(3x1)C. D. 753102x2. 若 a，b，c 互不相等，则方程(a 2bc 2)x22(ab c)x30（ C ）A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根C. 没有实数根 D. 根的情况不确定5解析: 因为4(abc) 212(a 2b 2c 2)4(2a 22b 22c 22ab2ac2bc)4(ab) 2(bc) 2(c a) 203. 若方程 的两个实根的倒数和是 S，求：S 的取值范围。mxx31()分析：本题是二次方程与不等式的综合题，即利用方程有两个实根， ，求出 m 的取值范围，再用 S
7、 的代0数式表示 m，借助 m 的取值范围就可求出 S 的取值范围。解：设方程的两个实根为 2122121 ，3， 则， xmxx 方程有两个实根3211 0且43 0， 且)2( 21222 mxxSmm023且423 SSm。且 4. 已知关于 x 的方程 x2(2m1)x(m2) 20。m 取什么值时，（1）方程有两个不相等的实数根？（2）方程有两个相等的实数根？（3）方程没有实数根？解析:(2m1) 24(m2) 25(4m 3) 。（1）当 ，即 时，原方程有两个不相等的实数根；（2）当 时，原方程有两个相等的实数根；（3）当 时，原方程没有实数根。5. 已知关于 x 的方程 kxk
8、22110()（1）求证：对于任意实数 k，方程总有两个不相等的实数根。（2）如果 a 是关于 y 的方程 的根，其中 为方程的两yxk212120()() x12，个实数根。求：代数式 的值。()142aa分析：第（1）题直接运用根的判别式即可得到结论，第（2）题首先利用根与系数关系可将方程化成，再利用根的定义得到 ，将代数式化简后，把 整体代入即可求出代0y 1212a6数式的值。（1）证明： 084484)12(4)1 222 kkkk对于任意实数 k，方程总有两个不相等的实数根。（2）解： 是方程的两个实数根21， x12，)( 211 kx1)(2)( 2212112kkxx方程 0
9、为 ya 是方程的根， 2aaa14)1(，0 2214)(412)( 2222 aa注：第（2）问中的整体代换在恒等变形中有广泛的应用。6. 已知关于 x 的一元二次方程 的两个实数根之差的平方为 mxc20（1）试分别判断当 时， 是否成立，并说明理由；13， 与 ， 4（2）若对于任意一个非零的实数 a， 总成立，求实数 c 及 m 的值。m4解：（1） 原方程化为时 ，当 ca 3，1， 则0322xx 16)3(2m即 成立4当 时，原方程化为， ca 0242x由 ，可设方程的两根分别为022 21， x则 ， 2121xx 424)()(212121 xm即 不成立4（2）设原方
10、程两个实数根是 21，x7则 acxx2121，acxm 44)()(212121 对于任意一个非零的实数 a，都有 4，0 0时 ，当 2mc第 2 讲 根的判别式【知识要点】1.根的判别式：关于 x 的一元二次方程 axbca20()bc24当 时，方程有两个不相等的实根0当 时，方程有两个相等的实根当 时，方程无实根【典型例题】1. a，b，c 是三角形的三条边，求证：关于 x 的方程 b2x2(b 2c 2a 2)xc 20 没有实数根分析：此题需证出0。已知条件中 a，b，c 是三角形的三边，所以有 a0，b0，c0。还应注意有一个隐含关系“任意两边之和大于第三边” ， “任意两边之
11、差小于第三边” 。证明：因为(b 2c 2a 2)24b 2c2(b 2c 2a 2)2bc(b 2c 2a 2)2bc(bc) 2a 2(bc) 2a 2(bca)(bc a)(bca)(bca)。(要判断这个乘积是不是负的，应审查每个因式的正、负)因为 bca ，即 bc a0，同理 bca 0，又 c ab，即 bca0。又 abc 0，所以(bca)(b ca)(bc a)(bca) 0。所以，原方程没有实数根。【经典习题】为三边长的三角形是cbacabxcax 、 04)(.12（ ）A. 以 a 为斜边的直角三角形B. 以 c 为斜边的直角三角形C. 以 b 为底边的等腰三角形D.
12、 以 c 为底边的等腰三角形 82. 已知关于 x 的一元二次方程 xk22140()（1）k 取什么值时，方程有两个实数根。 （2）如果方程的两个实数根 满足 ，求 k 的值。x12， |x12解：（1） 032)14()1( kk解得 时，方程有两个实数根23当，23k（2） ，分两种情况1|x当 ，方程有两个相等的实数根。21时 ， 得03， k当 0，时 ， 得0212xxx由根与系数关系，得 0 ， 矛 盾3知)1(， 由 kk23舍 去3. 已知方程 的两根的平方和为 11，求 k 的值。xkx210()解：设方程的两根为 2，则有 2， 2121 k)( 2121xx0)1(32
13、644)(2kkk94)2(4 ， 21k ， 舍 去0时 ，3当 k当 。时 ，19 1k注：用根与系数关系后，要计算判别式检验是否有实根。4含有绝对值的一元二次方程（1）. 方程 x|x|8|x| 4 0 的实数根的个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4解： 显然 x0 不是方程的根。当 x0 时，xx8x40。x0 的任何实数不可能是方程的根。当 x0 时，方程为 x28x40。此方程两根之积为40，可见两根为一正一负。又因 x0，故负根舍去。所以方程只有一个实数根。应选 A。（2）. 求方程 x2|2x1|40 的实数根。解：令 得121显然 不是方程的解2x当 时，方程是
14、04)1(2x即 或3， 解 得032x1 舍去，x3当 时，方程是04)21(2x即 解得，0526舍去，61x故方程的实数根是 。，321x5a，b，c，d 为有理数，先规定一种新的运算： ，那么 =18 时，x= 。bcadcbx452)1(6. 已知 是方程 的两根，求代数式 的值。21,x01942x 13521x7.（广东广州，19，10 分）已知关于 x 的一元二次方程 )0(12abxa有两个相等的实数根，求4)2(ba的值。【分析】由于这个方程有两个相等的实数根，因此 240ba，可得出 a、b 之间的关系，然后将)(2化简后，用含 b 的代数式表示 a，即可求出这个分式的值
15、【答案】解： )0(12xa有两个相等的实数根，10 240bac，即 240ba 全品中考网 22222 4)( abab 0a， 42ab8.（四川乐山中考）若关于 x的一元二次方程 012)2(kxx有实数根 、 （1） 求实数 k 的取值范围；（2） 设 t，求 t 的最小值（3） 解：（1）一元二次方程 012)2(kxx有实数根 、 ，（4） 0， 2 分（5） 即 0)1(4)2(2k，（6） 解得 4 分（7） （3）由根与系数的关系得： k24)(2， 6 分（8） 42kkt， 7 分（9） ， 0，（10） 24k，（11） 即 t 的最小值为4 10 分9.（ 四川绵阳
16、中考）已知关于 x 的一元二次方程 x2 = 2（1m）x m 2 的两实数根为 x1，x 2（1）求 m 的取值范围；（2）设 y = x1 + x2，当 y 取得最小值时，求相应 m 的值，并求出最小值【答案】 （1）将原方程整理为 x2 + 2（m 1）x + m 2 = 0 原方程有两个实数根， = 2（m1） 24m 2 =8m + 40，得 m （2） x 1，x 2 为 x2 + 2（m1）x + m 2 = 0 的两根， y = x 1 + x2 =2m + 2，且 m 因而 y 随 m 的增大而减小，故当 m = 时，取得极小值 110.（ 湖北孝感中考）关于 x 的一元二次方程 120xpx有 两 实 数 根、 .2（1）求 p 的取值范围；（4 分）（2）若 求,9)1(2)1(2的值.（6 分）
