1、线段的垂直平分线-知识讲解(基础)【学习目标】1.掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理，能够利用尺规作已知线段的垂直平分线2.会证明三角形的三条中垂线必交于一点.掌握三角形的外心性质定理.3.已知底边和底边上的高，求作等腰三角形. 4.能运用线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理解决简单的几何问题及实际问题【要点梳理】要点一、线段的垂直平分线1.定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线2.线段垂直平分线的做法求作线段 AB 的垂直平分线.作法：（1）分别以点 A，B 为圆心，以大于 21AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C，D 两点；（2）作直线
2、CD，CD 即为所求直线要点诠释：(1)作弧时的半径必须大于 AB 的长，否则就不能得到两弧的交点了(2)线段的垂直平分线的实质是一条直线.要点二、线段的垂直平分线定理线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等要点诠释：线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的常用方法之一同时也给出了引辅助线的方法， “线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件要点三、线段的垂直平分线逆定理线段的垂直平分线逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的
3、垂直平分线上要点诠释：到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看作是与这条线段两个端点的距离相等的所有点的集合要点四、三角形的外心三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心外心. 要点诠释:1.三角形三条边的垂直平分线必交于一点（三线共点） ，该点即为三角形外接圆的圆心.2.锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合. 3.外心到三顶点的距离相等.要点五、尺规作图作图题是初中数学中不可缺少的一类试题，它要求写出“已知，求作，作法和画图” ，画图必须保留痕迹，在现
4、行的教材里，一般不要求写出作法，但是必须保留痕迹.证明过程一般不用写出来.最后要点题即“xxx 即为所求”.【典型例题】类型一、线段的垂直平分线定理1、如图，ABC 中 ACBC，边 AB 的垂直平分线与 AC 交于点 D，已知 AC=5，BC=4，则BCD 的周长是（ ）A9 B8 C7 D6【思路点拨】先根据线段垂直平分线的性质得到 AD=BD，即 AD+CD=BD+CD=AC，再根据BCD 的周长=BC+BD+CD 即可进行解答【答案】A；【解析】因为 BD=AD,所以BCD 的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=5+4=9.【总结升华】此题正是应用了线段垂直平分线的性质定理，也就
5、是已知直线是线段垂直平分线，那么垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，从而把三角形的边进行转移，进而求得三角形的周长举一反三：【变式 1】如图，在ABC 中，AB=AC，A=36，AB 的垂直平分线 DE 交 AC 于 D，交 AB 于 E，下述结论错误的是（ ）ABD 平分ABC BBCD 的周长等于 AB+BCCAD=BD=BC D点 D 是线段 AC 的中点【答案】D；提示:根据等边对等角、三角形内角和定理及线段垂直平分线的性质定理即可推得选项 A、B、C 正确；所以选D,另外，注意排除法在解选择题中的应用【变式 2】 （2015 秋江阴市校级月考）如图，ABC 中，BC=7，AB
6、的垂直平分线分别交 AB、BC 于点 D、E，AC 的垂直平分线分别交 AC、BC 于点 F、G求AEG 的周长【答案】解：DE 为 AB 的中垂线，AE=BE，FG 是 AC 的中垂线，AG=GC，AEG 的周长等于 AE+EG+GA，分别将 AE 和 AG 用 BE 和 GC 代替得：AEG 的周长等于 BE+EG+GC=BC，所以AEG 的周长为 BC 的长度即 7类型二、线段的垂直平分线的逆定理2、如图，已知 AB=AC,ABD=ACD，求证：AD 是线段 BC 的垂直平分线CBAD【答案与解析】证明： AB=AC（已知）ABC=ACB (等边对等角)又ABD=ACD (已知)ABD-
7、ABC =ACD-ACB (等式性质)即 DBC=DCBDB=DC （等角对等边）AB=AC（已知）DB=DC（已证）点 A 和点 D 都在线段 BC 的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）AD 是线段 BC 的垂直平分线。【总结升华】本题需要注意的是对于线段垂直平分线性质定理的逆定理的应用，部分学生可能错误地认为“因为到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线上，所以已知 AB=AC 就可以说明 AD 是线段 BC 的垂直平分线了” ，但却忽略了“两点确定一条直线” ，所以只有当 AB=AC，DB=DC 时，才能说明 AD 是线段 BC 的垂直平分线举一反三：
8、【变式】如图，P 是MON 的平分线上的一点，PAOM,PBON,垂足分别为 A、B求证：PO 垂直平分 AB【答案】证明：OP 是角平分线，AOP=BOPPAOM,PBON,OAP=OBP=90在AOP 和BOP 中AOPB=AOPBOP（AAS）OA=OBPO 垂直平分 AB（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.类型三、线段的垂直平分线定理与逆定理的综合应用3、已知：如图，AB=AC，DB=DC，E 是 AD 上一点 求证：BE=CE CBADE【答案与解析】证明：连结 BCABAC，DBDC点 A、D 在线段 BC 的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，
9、在这条线段的垂直平分线上） AD 是线段 BC 的垂直平分线，点 E 在 AD 上， BE=CE（线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等） CBADE【总结升华】本题综合运用了线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，通过本例要学会灵活运用这两个定理解决几何问题，性质定理可以用来证明线段相等，本题中要注意必须有和已知线段两端距离相等的两个点才能确定垂直平分线这条直线4、如图所示，在 RtABC 中，ACB=90，AC=BC，D 为 BC 边上的中点，CEAD 于点 E，BFAC 交 CE 的延长线于点 F，求证：AB 垂直平分 DF【思路点拨】先根据 ASA 判定ACDCBF 得到
10、BF=CD，然后又因为 D 为 BC 中点，根据中点定义得到 CD=BD，等量代换得到 BF=BD，再根据角度之间的数量关系求出ABC=ABF，即 BA 是FBD 的平分线，从而利用等腰三角形三线合一的性质求证即可【答案与解析】证明：连接 DF，BCE+ACE=90，ACE+CAE=90，BCE=CAEACBC，BFACBFBCACD=CBF=90，AC=CB，ACDCBFCD=BFCD=BD= 12BC，BF=BDBFD 为等腰直角三角形ACB=90，CA=CB，ABC=45FBD=90，ABF=45ABC=ABF，即 BA 是FBD 的平分线BA 是 FD 边上的高线，BA 又是边 FD
11、的中线，即 AB 垂直平分 DF 【总结升华】主要考查了三角形全等的判定和角平分线的定义以及线段的垂直平分线的性质等几何知识要注意的是：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等举一反三：【变式】如图，在ABC 中，AB=AC，A=120，AB 的垂直平分线 MN 分别交 BC、AB 于点 M、N. 求证：CM=2BM. 【答案】如图所示，连接 AM，BAC=120，AB=AC，B=C=30，MN 是 AB 的垂直平分线，BM=AM，BAM=B=30，MAC=90，CM=2AM，CM=2BM类型四、尺规作图5、 （2015黄岛区校级模拟）某旅游景区内有一块三角形绿地 ABC，如图所示，现要在道路 AB 的边缘上建一个休息点 M，使它到 A，C 两个点的距离相等在图中确定休息点 M 的位置【答案与解析】解：作 AC 的垂直平分线交 AB 于 M 点，则点 M 为所求【总结升华】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等
