1、1实际问题与二元一次方程组题型归纳（练习题答案）类型一：列二元一次方程组解决行程问题【变式 1】甲、乙两人相距 36 千米，相向而行，如果甲比乙先走 2 小时，那么他们在乙出发 2.5 小时后相遇；如果乙比甲先走 2 小时，那么他们在甲出发 3 小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？解：设甲，乙速度分别为 x，y 千米/时，依题意得：(2.5+2)x+2.5y=363x+(3+2)y=36解得： x=6，y=3.6答：甲的速度是 6 千米/每小时，乙的速度是 3.6 千米/每小时。【变式 2】两地相距 280 千米，一艘船在其间航行，顺流用 14 小时，逆流用 20 小时，求船在静水中的速
2、度和水流速度。解：设这艘轮船在静水中的速度 x 千米/小时, 则水流速度 y 千米/小时，有：20（x-y ） =28014（x+y ）=280解得：x=17 ，y=3答：这艘轮船在静水中的速度 17 千米/ 小时、水流速度 3 千米/小时，类型二：列二元一次方程组解决工程问题【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作 6 周完成需工钱 5.2 万元；若甲公司单独做 4 周后，剩下的由乙公司来做，还需 9 周完成，需工钱 4.8 万元.若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由. 解：2类型三：列二元一次方程组解决商品销售利润问题【变
3、式 1】（2011 湖南衡阳）李大叔去年承包了 10 亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000 元，其中甲种蔬菜每亩获利 2000 元，乙种蔬菜每亩获利 1500 元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？解：设甲、乙两种蔬菜各种植了 x、y 亩，依题意得：x+y=102000x+1500y=18000解得：x=6，y=4答：李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了 6 亩、4 亩【变式 2】某商场用 36 万元购进 A、B 两种商品，销售完后共获利 6 万元，其进价和售价如下表：A B进价（元/件） 1200 1000售价（元/件） 1380 1200（注：获利 = 售价 进价）求该商场购进 A、
4、B 两种商品各多少件；解：设购进 A 的数量为 x 件、购进 B 的数量为 y 件，依据题意列方程组1200x+1000y=360000(1380-1200)x+(1200-1000)y=60000解得 x=200，y=120答：略类型四：列二元一次方程组解决银行储蓄问题【变式 2】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了 4000 元钱.第一种，一年期整存整取，共反复存了 3 次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息 2.25%；第二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率为 2.70%.三年后同时取出共得利息 303.75 元(不计利息税)，问小敏的爸爸两种存款各存
5、入了多少元？解：设 x 为第一种存款的方式，Y 第二种方式存款，则X + Y = 4000 X * 2.25* 3 + Y * 2.7* 3 = 303.75 解得：X = 1500，Y = 2500。答：略。3类型五：列二元一次方程组解决生产中的配套问题【变式 1】现有 190 张铁皮做盒子，每张铁皮做 8 个盒身或 22 个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？ 解：设 x 张做盒身，y 张做盒底，则有盒身 8x 个，盒底 22y 个x+y=1908x=22y/2解得 x=110，y=80即 110 张做盒身，80 张
6、做盒底【变式 2】某工厂有工人 60 人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓 14 个或螺母 20 个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套。解： 设生产螺栓的工人为 x 人 ， 生产螺母的工人为 y 人x+y=6028x=20y解得 x=25，y=35答：略【变式 3】一张方桌由 1 个桌面、4 条桌腿组成，如果 1 立方米木料可以做桌面 50 个，或做桌腿 300 条。现有 5 立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配多少张方桌？解：设用 X 立方米做桌面，用 Y 立方米做
7、桌腿X+Y=5.(1)50X：300Y=1：4.(2)解得：Y=2，X=5-2=3答：用 3 立方米做桌面，2 立方米的木料做桌腿。类型六：列二元一次方程组解决增长率问题【变式 2】某城市现有人口 42 万，估计一年后城镇人口增加 0.8%，农村人口增加1.1%，这样全市人口增加 1%，求这个城市的城镇人口与农村人口。解：设该城市现在的城镇人口有 x 万人，农村人口有 y 万人。x y 420.8%X1.1%Y 421%解这个方程组，得：x=14， y=28答：该市现在的城镇人口有 14 万人，农村人口有 28 万人。4类型七：列二元一次方程组解决和差倍分问题【变式 1】略【变式 2】 游泳池
8、中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽。如果每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多 1 倍，你知道男孩与女孩各有多少人吗？解：设：男有 X 人，女有 Y 人，则X-1=Y2（Y-1）=X解得：x=4，y=3答：略类型八：列二元一次方程组解决数字问题【变式 1】一个两位数，减去它的各位数字之和的 3 倍，结果是 23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是 5，余数是 1，这个两位数是多少？解：设这个两位数十位数是 x，个位数是 y，则这个数是（10x+y)10x+y-3(x+y)=23 (1)10x+y=5(x+y)+1 (2)由（1），（2 ）得
9、7x-2y=235x-4y=1解得：x=5y=6答：这个两位数是 56【变式 2】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大 5，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少 9，求这个两位数？解：设个位 X，十位 Y，有X - Y = 5(10X + Y) + (10 + X) = 143即X - Y = 5X + Y = 13解得：X = 9，Y = 4这个数就是 49【变式 3】某三位数，中间数字为 0，其余两个数位上数字之和是 9，如果百位数字减 1，个位数字加 1，则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列，求原三位数。解：设原数百位是 x，
10、个位是 y 那么x+y=95x-y=1两式相加得到 2x=10 = x=5 = y=5-1=4所以原数是 504类型九：列二元一次方程组解决浓度问题【变式 1】要配浓度是 45%的盐水 12 千克，现有 10%的盐水与 85%的盐水，这两种盐水各需多少？解：设 10%的 X 克，85%的 Y 克X+Y=12X*10%+Y*85%=12*45%即：X+Y=12X+8.5Y=54解得：Y=5.6答：略【变式 2】一种 35%的新农药，如稀释到 1.75%时，治虫最有效。用多少千克浓度为 35%的农药加水多少千克，才能配成 1.75%的农药 800 千克？解：800 千克 1.75%的农药中含纯农药
11、的质量为 8001.75%=14 千克含 14 千克纯农药的 35%的农药质量为 1435%=40 千克由 40 千克农药稀释为 800 千克农药应加水的质量为 800-40=760 千克答：用 40 千克浓度为 35%的农药添加 760 千克的水，才能配成浓度为 1.75%的农药 800 千克。类型十：列二元一次方程组解决几何问题【变式 1】用长 48 厘米的铁丝弯成一个矩形，若将此矩形的长边剪掉 3 厘米，补到较短边上去，则得到一个正方形，求正方形的面积比矩形面积大多少？解：设长方形的长宽分别为 x 和 y 厘米，则2(x+y) = 48x-3=y+3解得：x=15 ， y=9正方形的面积
12、比矩形面积大（x-3）（y+3）- x y= （15-3）（9+3 ）- 15 * 9= 144 - 135= 9（ cm）答：略【变式 2】一块矩形草坪的长比宽的 2 倍多 10m，它的周长是 132m，则长和宽分别为多少？6类型十一：列二元一次方程组解决年龄问题【变式 1】今年，小李的年龄是他爷爷的五分之一.小李发现，12 年之后，他的年龄变成爷爷的三分之一.试求出今年小李的年龄.解：设小李 X 岁，爷爷 Y 岁，则5X=Y3（X+12）=Y+12两式联立解得：X=12 Y=60所以小李今年 12 岁，爷爷今年 60 岁。类型十二：列二元一次方程组解决优化方案问题： 【变式】某商场计划拨款
13、 9 万元从厂家购进 50 台电视机，已知厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台 1500 元，乙种每台 2100 元，丙种每台 2500 元。(1)若商场同时购进其中两种不同型号的电视机 50 台，用去 9 万元，请你研究一下商场的进货方案；(2)若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利 150 元、200 元、250 元，在以上的方案中，为使获利最多，你选择哪种进货方案？解：(1) 分情况计算：设购进甲种电视机 x 台，乙种电视机 y 台，丙种电视机 z 台()购进甲、乙两种电视机 解得()购进甲、丙两种电视机 解得()购进乙、丙两种电视机 解得 (不合实际，舍去)故商场进货方案为购进甲种 25 台和乙种 25 台；或购进甲种 35 台和丙种 15 台(2) 按方案 ( ) ，获利 150 25 200 25 8750( 元) ；按方案( ) ，获利 150 35 250 15 9000( 元) 7选择购进甲种 35 台和丙种 15 台
