1、第 1 页（共 23 页）初二分式所有知识点总结和常考题知识点：1.分式：形如 ， 是整式， 中含有字母且 不等于 0 的整式叫做分式.AB、 BB其中 叫做分式的分子， 叫做分式的分母.2.分式有意义的条件：分母不等于 0.3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为 0 的整式，分式的值不变.4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为 1 的数）约去，这种变形称为约分. 5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式.7.分式的四则运算：同分母分式
2、加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为： abc异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为： adb分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分 母相乘的积作为积的分母.用字母表示为： acbd分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为： acbdc分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为：nab8.整数指数幂： （ 是正整数）mnan、 （ 是正整数）、 （ 是正整数）nb （ ， 是正整数， ）mna0amn、 n （
3、 是正整数）nb第 2 页（共 23 页） （ ，n 是正整数）1na09.分式方程的意义 :分 母 中 含 有 未 知 数 的 方 程 叫 做 分 式 方 程 . 10.分 式 方 程 的 解 法 : 去 分 母 (方 程 两 边 同 时 乘 以 最 简 公 分 母 ,将 分 式 方 程化 为 整 式 方 程 ); 按 解 整 式 方 程 的 步 骤 求 出 未 知 数 的 值 ; 验 根 (求 出 未 知数 的 值 后 必 须 验 根 ,因 为 在 把 分 式 方 程 化 为 整 式 方 程 的 过 程 中 ,扩 大 了 未 知数 的 取 值 范 围 ,可 能 产 生 增根) . 常考题：
4、一选择题（共 14 小题）1在式子 、 、 、 、 、 中，分式的个数有（ ）A2 个 B3 个 C4 个 D5 个2化简 的结果是（ ）Ax +1 Bx1 Cx Dx3如果把分式 中的 x 和 y 都扩大 2 倍，则分式的值（ ）A扩大 4 倍 B扩大 2 倍 C不变 D缩小 2 倍4把分式方程 的两边同时乘以（x2） ，约去分母，得（ ）A1 （ 1x）=1 B1+（1 x）=1 C1 （1x）=x 2 D1+（1x）=x 25化简 （1+ ）的结果是（ ）A B C D6计算 的结果为（ ）A B C D7已知关于 x 的分式方程 + =1 的解是非负数，则 m 的取值范围是（ ）Am
5、2 Bm2 Cm2 且 m3 Dm2 且 m38下列运算正确的是（ ）Aa 2a3=a6 B （ ） 1=2 C =4 D|6|=69某服装加工厂计划加工 400 套运动服，在加工完 160 套后，采用了新技术，工作效率比原计划提高了 20%，结果共用了 18 天完成全部任务设原计划每天加工 x 套运动服，根据题意可列方程为（ ）A B第 3 页（共 23 页）C D10货车行驶 25 千米与小车行驶 35 千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶 20 千米，求两车的速度各为多少？设货车的速度为 x 千米/小时，依题意列方程正确的是（ ）A B C D11如图，设 k= （ab 0） ，
6、则有（ ）Ak 2 B1k2 C D12A ， B 两地相距 48 千米，一艘轮船从 A 地顺流航行至 B 地，又立即从 B 地逆流返回 A 地，共用去 9 小时，已知水流速度为 4 千米/时，若设该轮船在静水中的速度为 x 千米/时，则可列方程（ ）A BC +4=9 D13计算 的结果为（ ）A1 Bx+1 C D14若分式 （A，B 为常数） ，则 A，B 的值为（ ）A B C D二填空题（共 13 小题）15计算： = 16若分式 有意义，则实数 x 的取值范围是 17分式方程 的解 x= 18若代数式 的值为零，则 x= 第 4 页（共 23 页）19化简 的结果是 20化简： =
7、 21计算 （1 ）的结果是 22若关于 x 的方程 = +1 无解，则 a 的值是 23已知关于 x 的方程 的解是正数，则 m 的取值范围是 24a 、 b 为实数，且 ab=1，设 P= ，Q= ，则 P Q （填“”、 “”或“=” ） 25如果实数 x 满足 x2+2x3=0，那么代数式 的值为 26某工厂现在平均每天比原计划多生产 50 台机器，现在生产 600 台机器所需时间与原计划生产 450 台机器所需时间相同，现在平均每天生产 台机器27杭州到北京的铁路长 1487 千米火车的原平均速度为 x 千米/时，提速后平均速度增加了 70 千米/时，由杭州到北京的行驶时间缩短了 3
8、 小时，则可列方程为 三解答题（共 13 小题）28先化简，再求值： ，其中 29先化简代数式 ，然后选取一个使原式有意义的 a 值代入求值30已知 x3y=0，求 （xy）的值31解方程： 32先化简，再求值： ，其中 x 是不等式 3x+71 的负整数解33先化简 （a+1）+ ，然后 a 在1、1、2 三个数中任选一个合适的数代入求值34解分式方程： + =1第 5 页（共 23 页）35已知 A= （1）化简 A；（2）当 x 满足不等式组 ，且 x 为整数时，求 A 的值36甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲队单独施工完成此项任务比乙队单独施工完成此项任务多用 10 天，且甲队
9、单独施工 45 天和乙队单独施工30 天的工作量相同（1）甲、乙两队单独完成此项任务需要多少天？（2）若甲、乙两队共同工作了 3 天后，乙队因设备检修停止施工，由甲队继续施工，为了不影响工程进度，甲队的工作效率提高到原来的 2 倍，要使甲队总的工作量不少于乙队的工作量的 2 倍，那么甲队至少再单独施工多少天？37某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用 13200 元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用 28800 元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的 2 倍，但单价贵了 10 元（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下 50 件按
10、八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润不低于 25%（不考虑其他因素） ，那么每件衬衫的标价至少是多少元？38从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是 400 千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的 1.3 倍（1）求普通列车的行驶路程；（2）若高铁的平均速度（千米/时）是普通列车平均速度（千米 /时）的 2.5 倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短 3 小时，求高铁的平均速度39学校计划选购甲、乙两种图书作为“校园读书节”的奖品已知甲图书的单价是乙图书单价的 1.5 倍；用 600 元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少 10 本（1）甲、乙两种图书的单价
11、分别为多少元？（2）若学校计划购买这两种图书共 40 本，且投入的经费不超过 1050 元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？40某汽车销售公司经销某品牌 A 款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降今年 5 月份 A 款汽车的售价比去年同期每辆降价 1 万元，如果卖出相同数量的 A 款汽车，去年销售额为 100 万元，今年销售额只有 90 万元（1）今年 5 月份 A 款汽车每辆售价多少万元？（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的 B 款汽车，已知 A 款汽车每辆进价为 7.5 万元，B 款汽车每辆进价为 6 万元，公司预计用不多于 105万元且不
12、少于 99 万元的资金购进这两款汽车共 15 辆，有几种进货方案？（3）如果 B 款汽车每辆售价为 8 万元，为打开 B 款汽车的销路，公司决定每售出一辆 B 款汽车，返还顾客现金 a 万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？第 6 页（共 23 页）初二分式所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)参考答案与试题解析一选择题（共 14 小题）1 （2012 春潜江期末）在式子 、 、 、 、 、 中，分式的个数有（ ）A2 个 B3 个 C4 个 D5 个【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不
13、是分式【解答】解： 、 、9x+ 这 3 个式子的分母中含有字母，因此是分式其它式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式故选：B【点评】本题考查的是分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式2 （2014南通）化简 的结果是（ ）Ax +1 Bx1 Cx Dx【分析】将分母化为同分母，通分，再将分子因式分解，约分【解答】解： = =x，故选：D【点评】本题考查了分式的加减运算分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减3 （2012岳麓区校级自主招生）如
14、果把分式 中的 x 和 y 都扩大 2 倍，则分式的值（ ）A扩大 4 倍 B扩大 2 倍 C不变 D缩小 2 倍【分析】把分式 中的 x 和 y 都扩大 2 倍，分别用 2x 和 2y 去代换原分式中的第 7 页（共 23 页）x 和 y，利用分式的基本性质化简即可【解答】解：把分式 中的 x 和 y 都扩大 2 倍后得：= =2 ，即分式的值扩大 2 倍故选：B【点评】根据分式的基本性质，无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一项4 （2005扬州）把分式方程 的两边同时乘以（x 2） ，约去分母，得（ ）A1 （ 1x）=1 B1+（1 x）=
15、1 C1 （1x）=x 2 D1+（1x）=x 2【分析】分母中 x2 与 2x 互为相反数，那么最简公分母为（x2） ，乘以最简公分母，可以把分式方程转化成整式方程【解答】解：方程两边都乘（x2） ，得：1+（1x）=x 2故选：D【点评】找到最简公分母是解答分式方程的最重要一步；注意单独的一个数也要乘最简公分母；互为相反数的两个数为分母，最简公分母为其中的一个，另一个乘以最简公分母后，结果为15 （2013临沂）化简 （1+ ）的结果是（ ）A B C D【分析】首先对括号内的式子通分相加，然后把除法转化成乘法，进行约分即可【解答】解：原式= = = 故选 A【点评】本题主要考查分式的混合
16、运算，通分、因式分解和约分是解答的关键6 （2008黄冈）计算 的结果为（ ）第 8 页（共 23 页）A B C D【分析】先算小括号里的，再把除法统一成乘法，约分化为最简【解答】解： = = ，故选 A【点评】分式的四则运算是整式四则运算的进一步发展，在计算时，首先要弄清楚运算顺序，先去括号，再进行分式的乘除7 （2014黑龙江）已知关于 x 的分式方程 + =1 的解是非负数，则 m 的取值范围是（ ）Am 2 Bm2 Cm2 且 m3 Dm2 且 m3【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解表示出 x，根据方程的解为非负数求出 m 的范围即可【解答】解：分式方程去分母得：
17、m 3=x1，解得：x=m 2，由方程的解为非负数，得到 m20 ，且 m21，解得：m2 且 m3故选：C【点评】此题考查了分式方程的解，时刻注意分母不为 0 这个条件8 （2009潍坊）下列运算正确的是（ ）Aa 2a3=a6 B （ ） 1=2 C =4 D|6|=6【分析】幂运算的性质：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加；一个数的负指数次幂等于这个数的正指数次幂的倒数，算术平方根的概念：一个正数的正的平方根叫它的算术平方根，0 的算术平方根是 0绝对值的性质：正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是 0【解答】解：A、a 2a3=a5，故 A 错误；B、 （ ）
18、 1=2，故 B 错误；C、 =4，故 C 错误；D、根据负数的绝对值等于它的相反数，故 D 正确故选 D【点评】本题涉及知识：负指数为正指数的倒数；任何非 0 数的 0 次幂等于1；绝对值的化简；二次根式的化简9 （2013本溪）某服装加工厂计划加工 400 套运动服，在加工完 160 套后，采第 9 页（共 23 页）用了新技术，工作效率比原计划提高了 20%，结果共用了 18 天完成全部任务设原计划每天加工 x 套运动服，根据题意可列方程为（ ）A BC D【分析】关键描述语为：“共用了 18 天完成任务”；等量关系为：采用新技术前用的时间+采用新技术后所用的时间=18【解答】解：采用新
19、技术前用的时间可表示为： 天，采用新技术后所用的时间可表示为： 天方程可表示为： 故选：B【点评】列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键本题要注意采用新技术前后工作量和工作效率的变化10 （2014黔南州）货车行驶 25 千米与小车行驶 35 千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶 20 千米，求两车的速度各为多少？设货车的速度为 x千米/小时，依题意列方程正确的是（ ）A B C D【分析】题中等量关系：货车行驶 25 千米与小车行驶 35 千米所用时间相同，列出关系式【解答】解：根据题意，得故选：C【点评】理解题意是解答应用题的关键，找出题
20、中的等量关系，列出关系式11 （2013杭州）如图，设 k= （ab 0） ，则有（ ）Ak 2 B1k2 C D【分析】分别计算出甲图中阴影部分面积及乙图中阴影部分面积，然后计算比值即可第 10 页（共 23 页）【解答】解：甲图中阴影部分面积为 a2b2，乙图中阴影部分面积为 a（ab ） ，则 k= = = =1+ ，a b 0 ，0 1，1 +12，1k 2故选 B【点评】本题考查了分式的乘除法，会计算矩形的面积及熟悉分式的运算是解题的关键12 （2016本溪一模）A，B 两地相距 48 千米，一艘轮船从 A 地顺流航行至 B地，又立即从 B 地逆流返回 A 地，共用去 9 小时，已知水流速度为 4 千米/时，若设该轮船在静水中的速度为 x 千米/时，则可列方程（ ）A BC +4=9 D【分析】本题的等量关系为：顺流时间+逆流时间=9 小时【解答】解：顺流时间为： ；逆流时间为： 所列方程为： + =9故选 A【点评】未知量是速度，有速度，一定是根据时间来列等量关系的找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键13 （2005武汉）计算 的结果为（ ）A1 Bx+1 C D【分析】先算括号里的通分，再进行因式分解，将除号换为乘号，最后再进行分式间的约分化简【解答】解：= = = ，
