1、第二章 线性控制系统的运动分析1. 线性定常齐次状态方程的解2. 矩阵指数函数3. 状态转移矩阵4. 线性定常非齐次状态方程的解Date 1预备知识预备知识 ： 线性定常系统的运动线性定常系统的运动1、自由运动、自由运动 ：线性定常系统在没有控制作用，即 u 0时，由初始状态引起的运动称自由运动。齐次状态方程的解齐次状态方程的解 ：2、强迫运动：、强迫运动： 线性定常系统在控制 u作用下的运动，称为强迫运动。非齐次状态方程的解：非齐次状态方程的解：Date 2第一节 线性定常齐次状态方程的解Date 3满足初始状态 的解是：一、直接求解：一、直接求解：1、标量齐次微分方程：满足初始状态 的解是
2、：满足初始状态 的解是：2、齐次状态方程其中：定义为 矩阵指数函数 ，和 A一样也是 nn 阶方阵线性定常齐次状态方程的求解方法线性定常齐次状态方程的求解方法 ：直接求解，拉氏变化求解：直接求解，拉氏变化求解Date 4求解过程求解过程 ：仿标量方程求解将式 (4)代入式 (1)，即可得到通解为：（ 5）式 (3)左右两边 t的同次幂的系数两两相等得： （ 4）(1)(2)代入状态方程得：（ 3）设齐次状态方程的解为当 时，由上式可得 此处（ 1）式 (1)左右求导得： （ 2）标量齐次状态方程Date 5二、拉氏变换求解：二、拉氏变换求解：两边取拉氏变换得：整理得：齐次状态方程： 初始状态为
3、：与直接求解的结果 (5)比较，由解的唯一性得：仿标量系统得：拉氏反变换得： （ 6）本节本节 小结小结 ：Date 6第二节 矩阵指数函数的性质和计算方法Date 7一、矩阵指数函数的性质：一、矩阵指数函数的性质：2、 证明证明 ： 矩阵指数函数定义中，令 t 0即可得证3、 总是非奇异的，必有逆存在，且：证明证明 ：1、设 A为 nn 阶矩阵， t1为 t2两个独立自变量，则有：证明证明 ： 根据定义证明Date 85、对 有：4、对于 nn 阶方阵 A和 B：如果 A和 B可交换 ， 即 AB= BA ， 则如果 A和 B不可交换 ， 即 AB BA ， 则6、如果 P是非奇异阵，即 存在，则必有 ：证明证明 ： 根据定义证和注意注意 ：用途用途 ： 此性质经常用于计算Date 97、如果 A是 nn 阶对角阵，则 也是 nn 阶对角阵 ：则有：如果：证明证明 ：根据定义证Date 10
