1、1裂项相消法求和把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。1、 特别是对于 ，其中 是各项均不为 0 的等差数列，通常用裂项相消法，即利用 =1nacna 1nac，其中1nadcnd12、 常见拆项： )()12(1)2(nn)()()( !1!nn)!(!)(例 1 求数列 的前 和 1()nnS例 2 求数列 的前 和 1(2)nnS2例 3 求数列 的前 和 1()2nnS例 4 求数列 的前 n 项和.,1,321,n例 5：求数列 ， ， ， ，的前 n 项和 S314251)2(1n例 6、 求和 )12(53412nSn3一、累加法 1适用于： 1()naf -这是广义
2、的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。2若 1nf2，则 231() ()naff 两边分别相加得 11()nnkaf例 1 已知数列 n满足 112na， ，求数列 na的通项公式。解：由 12na得 1n则23212()()()()211()()aaannn 所以数列 a的通项公式为 2na。例 2 已知数列 n满足 113na， ，求数列 na的通项公式。解法一：由 12na得 12nn则412321211()()()()333()(33nnnnnaaaa 所以 1.na解法二： 132nn两边除以 13n，得 1123nna，则 11nna，故 2232111221()()()()
3、3332() 1)333nnnnnnaaa因此()2()2nn na，则 13.nnn练习 1.已知数列 na的首项为 1，且*12()naN写出数列 na的通项公式. 答案： 2n练习 2.已知数列 na满足 31，)2(11nan，求此数列的通项公式. 答案：裂项求和 n2评注：已知 a1, )(1nfn，其中 f(n)可以是关于 n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项 .5若 f(n)是关于 n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;若 f(n)是关于 n 的二次函数，累加后可分组求和 ;若 f(n)是关于 n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;若 f(n)是关于
4、n 的分式函数，累加后可裂项求和。例 3.已知数列 na中, 0且)(21nnaS,求数列 n的通项公式.解:由已知)(21nnS得)(11nnS,化简有 n1,由类型(1)有 Sn3212,又 1aS得 ,所以)(2Sn,又 0na, 2)1(ns,则 2)1()(n此题也可以用数学归纳法来求解.二、累乘法 1.适用于： 1()nnaf -这是广义的等比数列累乘法是最基本的二个方法之二。2若 1()nfa，则 31212()()()naafff ， ， ，两边分别相乘得， 11()nnkfa例 4 已知数列 n满足 112()53nna， ，求数列 na的通项公式。解：因为 112()53n
5、naa， ，所以 0n，则 12()5n，故6132122211(1)1(1)2(55()5()333!nnnnnaa 所以数列 na的通项公式为(1)235!.nna例 5.设 是首项为 1 的正项数列，且 0121nnaa（ =1，2， 3，） ，则它的通项公式是 na=_.解：已知等式可化为： 0)1(1nnaa0na( *N)(n+1) 01n, 即 1n2时，n11221aann=12n= n.评注：本题是关于 n和 1的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到 na与1na的更为明显的关系式，从而求出 na.练习.已知 1,1na,求数列an的通项公式.答案： n)(!1-1.评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式 ,11nan转化为),1(1nna若令 nab,则问题进一步转化为 nb1形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式.
