1、参数方程极坐标系解答题1已知曲线 C： + =1，直线 l： （t 为参数）（）写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程（）过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30的直线，交 l 于点 A，求|PA|的最大值与最小值考点： 参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系菁优网版权所有专题： 坐标系和参数方程分析： （）联想三角函数的平方关系可取 x=2cos、y=3sin 得曲线 C 的参数方程，直接消掉参数 t 得直线 l 的普通方程；（）设曲线 C 上任意一点 P（2cos，3sin ） 由点到直线的距离公式得到 P 到直线 l 的距离，除以sin30进一步得到 |PA|，化积
2、后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值解答：解：（）对于曲线 C： + =1，可令 x=2cos、y=3sin ，故曲线 C 的参数方程为 ， （ 为参数） 对于直线 l： ，由得：t=x2，代入并整理得：2x+y 6=0；（）设曲线 C 上任意一点 P（2cos，3sin ） P 到直线 l 的距离为 则 ，其中 为锐角当 sin（+）=1 时，|PA|取得最大值，最大值为 当 sin（+）=1 时，|PA|取得最小值，最小值为 点评： 本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题2已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与 x 轴
3、的正半轴重合，直线 l 的极坐标方程为：，曲线 C 的参数方程为： （ 为参数） （I）写出直线 l 的直角坐标方程；（）求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值考点： 参数方程化成普通方程菁优网版权所有专题： 坐标系和参数方程分析： （1）首先，将直线的极坐标方程中消去参数，化为直角坐标方程即可；（2）首先，化简曲线 C 的参数方程，然后，根据直线与圆的位置关系进行转化求解解答： 解：（1）直线 l 的极坐标方程为： ，（ sin cos）= ， ，x y+1=0（2）根据曲线 C 的参数方程为： （ 为参数） 得（x2） 2+y2=4，它表示一个以（2，0）为圆心，以 2 为半径的圆，
4、圆心到直线的距离为：d= ，曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值 = 点评： 本题重点考查了直线的极坐标方程、曲线的参数方程、及其之间的互化等知识，属于中档题3已知曲线 C1： （t 为参数） ，C 2： （ 为参数） （1）化 C1，C 2 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若 C1 上的点 P 对应的参数为 t= ，Q 为 C2 上的动点，求 PQ 中点 M 到直线 C3： （t 为参数）距离的最小值考点： 圆的参数方程；点到直线的距离公式；直线的参数方程菁优网版权所有专题： 计算题；压轴题；转化思想分析： （1）分别消去两曲线参数方程中的参数得到两曲线的普通方程，
5、即可得到曲线 C1 表示一个圆；曲线 C2 表示一个椭圆；（2）把 t 的值代入曲线 C1 的参数方程得点 P 的坐标，然后把直线的参数方程化为普通方程，根据曲线 C2 的参数方程设出 Q 的坐标，利用中点坐标公式表示出 M 的坐标，利用点到直线的距离公式表示出 M 到已知直线的距离，利用两角差的正弦函数公式化简后，利用正弦函数的值域即可得到距离的最小值解答：解：（1）把曲线 C1： （t 为参数）化为普通方程得：（ x+4） 2+（y3） 2=1，所以此曲线表示的曲线为圆心（4，3） ，半径 1 的圆；把 C2： （ 为参数）化为普通方程得： + =1，所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原
6、点，焦点在 x 轴上，长半轴为 8，短半轴为 3 的椭圆；（2）把 t= 代入到曲线 C1 的参数方程得：P （ 4，4） ，把直线 C3： （t 为参数）化为普通方程得：x2y7=0，设 Q 的坐标为 Q（8cos，3sin ） ，故 M（2+4cos，2+ sin）所以 M 到直线的距离 d= = ， （其中 sin= ，cos= ）从而当 cos= ，sin= 时，d 取得最小值 点评： 此题考查学生理解并运用直线和圆的参数方程解决数学问题，灵活运用点到直线的距离公式及中点坐标公式化简求值，是一道综合题4在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆 C
7、的极坐标方程为，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，直线 l 和圆 C 交于 A，B 两点，P 是圆C 上不同于 A，B 的任意一点（）求圆心的极坐标；（）求PAB 面积的最大值考点： 参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程菁优网版权所有专题： 坐标系和参数方程分析： （）由圆 C 的极坐标方程为 ，化为 2= ，把 代入即可得出（II）把直线的参数方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离 d，再利用弦长公式可得|AB|=2 ，利用三角形的面积计算公式即可得出解答： 解：（）由圆 C 的极坐标方程为 ，化为 2=，把 代入可得：圆 C 的普通方程为 x2+y22x
8、+2y=0，即（x1） 2+（y+1） 2=2圆心坐标为（1， 1） ，圆心极坐标为 ；（）由直线 l 的参数方程 （t 为参数） ，把 t=x 代入 y=1+2 t 可得直线 l 的普通方程：，圆心到直线 l 的距离 ，|AB|=2 = = ，点 P 直线 AB 距离的最大值为 ，点评： 本题考查了把直线的参数方程化为普通方程、极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5在平面直角坐标系 xoy 中，椭圆的参数方程为 为参数） 以 o 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为 求椭圆上点到直线距离的最大值
9、和最小值考点： 椭圆的参数方程；椭圆的应用菁优网版权所有专题： 计算题；压轴题分析： 由题意椭圆的参数方程为 为参数） ，直线的极坐标方程为 将椭圆和直线先化为一般方程坐标，然后再计算椭圆上点到直线距离的最大值和最小值解答： 解：将 化为普通方程为 （4 分）点 到直线的距离（6 分）所以椭圆上点到直线距离的最大值为 ，最小值为 （10 分）点评： 此题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题6在直角坐标系 xoy 中，直线 I 的参数方程为 （t 为参数） ，若以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐
10、标系，曲线 C 的极坐标方程为 = cos（ + ） （1）求直线 I 被曲线 C 所截得的弦长；（2）若 M（x，y）是曲线 C 上的动点，求 x+y 的最大值考点： 参数方程化成普通方程菁优网版权所有专题： 计算题；直线与圆；坐标系和参数方程分析： （1）将曲线 C 化为普通方程，将直线的参数方程化为标准形式，利用弦心距半径半弦长满足的勾股定理，即可求弦长（2）运用圆的参数方程，设出 M，再由两角和的正弦公式化简，运用正弦函数的值域即可得到最大值解答：解：（1）直线 I 的参数方程为 （t 为参数） ，消去 t，可得，3x+4y+1=0；由于 = cos（+ ）= （ ） ，即有 2=co
11、ssin，则有 x2+y2x+y=0，其圆心为（ ， ） ，半径为 r= ，圆心到直线的距离 d= = ，故弦长为 2 =2 = ；（2）可设圆的参数方程为： （ 为参数） ，则设 M（ ， ） ，则 x+y= =sin（ ） ，由于 R，则 x+y 的最大值为 1点评： 本题考查参数方程化为标准方程，极坐标方程化为直角坐标方程，考查参数的几何意义及运用，考查学生的计算能力，属于中档题7选修 44：参数方程选讲已知平面直角坐标系 xOy，以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系， P 点的极坐标为 ，曲线 C 的极坐标方程为 （）写出点 P 的直角坐标及曲线 C 的普通方程；（）若
12、Q 为 C 上的动点，求 PQ 中点 M 到直线 l： （t 为参数）距离的最小值考点： 参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程菁优网版权所有专题： 坐标系和参数方程分析： （1）利用 x=cos，y=sin 即可得出；（2）利用中点坐标公式、点到直线的距离公式及三角函数的单调性即可得出，解答： 解 （1）P 点的极坐标为 ， =3， = 点 P 的直角坐标把 2=x2+y2，y= sin 代入 可得 ，即曲线 C 的直角坐标方程为 （2）曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） ，直线 l 的普通方程为 x2y7=0设 ，则线段 PQ 的中点 那么点 M 到直线 l 的距离 .，点 M 到直
13、线 l 的最小距离为 点评： 本题考查了极坐标与直角坐标的互化、中点坐标公式、点到直线的距离公式、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了计算能力，属于中档题8在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程 （ 为参数） 以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（）求圆 C 的极坐标方程；（）直线 l 的极坐标方程是 （sin + ）=3 ，射线 OM：= 与圆 C 的交点为 O，P，与直线 l 的交点为 Q，求线段 PQ 的长考点： 简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系菁优网版权所有专题： 直线与圆分析： （I）圆 C 的参数方程 （ 为参数） 消去参
14、数可得：（x 1） 2+y2=1把 x=cos，y=sin 代入化简即可得到此圆的极坐标方程（II）由直线 l 的极坐标方程是 （sin + ）=3 ，射线 OM： = 可得普通方程：直线 l，射线 OM 分别与圆的方程联立解得交点，再利用两点间的距离公式即可得出解答： 解：（I）圆 C 的参数方程 （ 为参数） 消去参数可得：（x 1） 2+y2=1把 x=cos，y=sin 代入化简得：=2cos ，即为此圆的极坐标方程（II）如图所示，由直线 l 的极坐标方程是 （sin + ）=3 ，射线 OM： = 可得普通方程：直线 l ，射线 OM 联立 ，解得 ，即 Q 联立 ，解得 或 P
15、|PQ|= =2点评： 本题考查了极坐标化为普通方程、曲线交点与方程联立得到的方程组的解的关系、两点间的距离公式等基础知识与基本方法，属于中档题9在直角坐标系 xoy 中，曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数） ，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 sin（+ ）=4 （1）求曲线 C1 的普通方程与曲线 C2 的直角坐标方程；（2）设 P 为曲线 C1 上的动点，求点 P 到 C2 上点的距离的最小值，并求此时点 P 的坐标考点： 简单曲线的极坐标方程菁优网版权所有专题： 坐标系和参数方程分析： （1）由条件利用同角三角函数的基本关系把参数方程化
16、为直角坐标方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式x=cos、y= sin，把极坐标方程化为直角坐标方程（2）求得椭圆上的点 到直线 x+y8=0 的距离为，可得 d 的最小值，以及此时的 的值，从而求得点 P的坐标解答：解：（1）由曲线 C1： ，可得 ，两式两边平方相加得： ，即曲线 C1 的普通方程为： 由曲线 C2： 得： ，即 sin+cos=8，所以 x+y8=0，即曲线 C2 的直角坐标方程为： x+y8=0（2）由（1）知椭圆 C1 与直线 C2 无公共点，椭圆上的点 到直线 x+y8=0 的距离为，当 时，d 的最小值为 ，此时点 P 的坐标为 点评： 本题主要考查把参数方程、极
17、坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，正弦函数的值域，属于基础题10已知直线 l 的参数方程是 （t 为参数） ，圆 C 的极坐标方程为 =2cos（+ ） （）求圆心 C 的直角坐标；（）由直线 l 上的点向圆 C 引切线，求切线长的最小值考点： 简单曲线的极坐标方程菁优网版权所有专题： 计算题分析： （I）先利用三角函数的和角公式展开圆 C 的极坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用cos=x，sin=y， 2=x2+y2，进行代换即得圆 C 的直角坐标方程，从而得到圆心 C 的直角坐标（II）欲求切线长的最小值，转化为求直线 l 上的点到圆心的距离的最
18、小值，故先在直角坐标系中算出直线 l上的点到圆心的距离的最小值，再利用直角三角形中边的关系求出切线长的最小值即可解答： 解：（I） ， ，圆 C 的直角坐标方程为 ，即 ，圆心直角坐标为 （5 分）（II）直线 l 的普通方程为 ，圆心 C 到直线 l 距离是 ，直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 （10 分）点评： 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化11在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，直线 l 的参数方程为 ， （t 为参数
19、） ，曲线 C1 的方程为 （ 4sin）=12，定点 A（6，0） ，点 P 是曲线 C1 上的动点，Q 为 AP 的中点（1）求点 Q 的轨迹 C2 的直角坐标方程；（2）直线 l 与直线 C2 交于 A，B 两点，若|AB| 2 ，求实数 a 的取值范围考点： 简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程菁优网版权所有专题： 坐标系和参数方程分析： （1）首先，将曲线 C1 化为直角坐标方程，然后，根据中点坐标公式，建立关系，从而确定点 Q 的轨迹 C2 的直角坐标方程；（2）首先，将直线方程化为普通方程，然后，根据距离关系，确定取值范围解答： 解：（1）根据题意，得曲线 C1 的直角坐标
20、方程为： x2+y24y=12，设点 P（x，y） ，Q（x，y） ，根据中点坐标公式，得，代入 x2+y24y=12，得点 Q 的轨迹 C2 的直角坐标方程为：（x3） 2+（y1） 2=4，（2）直线 l 的普通方程为： y=ax，根据题意，得，解得实数 a 的取值范围为：0， 点评： 本题重点考查了圆的极坐标方程、直线的参数方程，直线与圆的位置关系等知识，考查比较综合，属于中档题，解题关键是准确运用直线和圆的特定方程求解12在直角坐标系 xoy 中以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系圆 C1，直线 C2 的极坐标方程分别为=4sin， cos（ ）=2 （）求 C1 与 C2 交
21、点的极坐标；（）设 P 为 C1 的圆心，Q 为 C1 与 C2 交点连线的中点，已知直线 PQ 的参数方程为 （tR 为参数） ，求a，b 的值考点： 点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程菁优网版权所有专题： 压轴题；直线与圆分析： （I）先将圆 C1，直线 C2 化成直角坐标方程，再联立方程组解出它们交点的直角坐标，最后化成极坐标即可；（II）由（I）得， P 与 Q 点的坐标分别为（0，2） ， （1，3） ，从而直线 PQ 的直角坐标方程为 xy+2=0，由参数方程可得 y= x +1，从而构造关于 a，b 的方程组，解得 a，b 的值解答： 解：（I）
22、圆 C1，直线 C2 的直角坐标方程分别为 x2+（y 2） 2=4，x+y4=0，解 得 或 ，C1 与 C2 交点的极坐标为（4， ） （2 ， ） （II）由（I）得， P 与 Q 点的坐标分别为（0，2） ， （1，3） ，故直线 PQ 的直角坐标方程为 xy+2=0，由参数方程可得 y= x +1， ，解得 a=1，b=2点评： 本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程、把参数方程化为普通方程的方法，方程思想的应用，属于基础题13在直角坐标系 xOy 中， l 是过定点 P（4，2）且倾斜角为 的直线；在极坐标系（以坐标原点 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴，取相同单位长度）中，
23、曲线 C 的极坐标方程为 =4cos（）写出直线 l 的参数方程，并将曲线 C 的方程化为直角坐标方程；（）若曲线 C 与直线相交于不同的两点 M、N，求|PM|+|PN|的取值范围解答： 解：（I）直线 l 的参数方程为 （t 为参数） 曲线 C 的极坐标方程 =4cos 可化为 2=4cos把 x=cos，y=sin 代入曲线 C 的极坐标方程可得 x2+y2=4x，即（x 2） 2+y2=4（II）把直线 l 的参数方程为 （t 为参数）代入圆的方程可得：t 2+4（sin +cos）t+4=0曲线 C 与直线相交于不同的两点 M、N ，=16（sin+cos） 2160，sincos0
24、，又 0，） ， 又 t1+t2=4（sin+cos） ，t 1t2=4|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4|sin+cos|= ， ， ， |PM|+|PN|的取值范围是 点评： 本题考查了直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆相交弦长问题，属于中档题14在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C 的极坐标方程为 =2 sin（）写出C 的直角坐标方程；（）P 为直线 l 上一动点，当 P 到圆心 C 的距离最小时，求 P 的直角坐标考点： 点的极坐标和直角坐标的互化菁优网版权所有专题： 坐标系和参数方程分析：（I）由 C 的极坐标方程为 =2 sin化为 2=2 ，把 代入即可得出；
