1、试题一、填空题1设 A、B、C 是三个随机事件。试用 A、B、C 分别表示事件1）A、B、C 至少有一个发生 2）A、B、C 中恰有一个发生 3）A、B、C 不多于一个发生 2设 A、B 为随机事件， ， ， 。则 3若事件 A 和事件 B 相互独立, ， 则4. 将 C,C,E,E,I,N,S 等 7 个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词 SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为 0.6 和 0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量 分布律为 则A=_7. 已知随机变量 X 的密度为 ,且 ,则_ _8. 设 ,且
2、,则 _9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为 ，则该射手的命中率为_10.若随机变量 在（1，6）上服从均匀分布，则方程 x2+ x+1=0 有实根的概率是11.设 ， ，则 12.用（ ）的联合分布函数 F（x,y）表示 13.用（ ）的联合分布函数 F（x,y）表示 14.设平面区域 D 由 y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域 D 上服从均匀分布，则（x,y）关于 X 的边缘概率密度在 x = 1 处的值为 。15.已知 ，则 16.设 ，且 与 相互独立，则17.设 的概率密度为 ，则 18.设随机变量 X1，X
3、2，X 3相互独立，其中 X1在0，6上服从均匀分布，X 2服从正态分布N（0，2 2），X 3服从参数为 =3 的泊松分布，记 Y=X12X 2+3X3，则 D（Y）= 19.设 ，则 20.设 是独立同分布的随机变量序列 ,且均值为 ,方差为 ,那么当 充分大时,近似有 或 。特别是，当同为正态分布时，对于任意的 ，都精确有 或 .21.设 是独立同分布的随机变量序列 ,且 ，那么 依概率收敛于 . 22.设 是来自正态总体 的样本，令则当 时 。23.设容量 n = 10 的样本的观察值为（ 8，7，6，9，8，7，5，9，6），则样本均值= ，样本方差= 24.设 X1,X2,Xn为来
4、自正态总体 的一个简单随机样本，则样本均值服从 二、选择题1. 设 A,B 为两随机事件，且 ，则下列式子正确的是 （A）P (A+B) = P (A); （B）（C） （D）2. 以 A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件 为 （A）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B）“甲、乙两种产品均畅销”（C）“甲种产品滞销”； （D）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。3. 袋中有 50 个乒乓球，其中 20 个黄的，30 个白的，现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球。则第二人取到黄球的概率是 （A）1/5 （B）2/5 （C）3/5 （D）4/54. 对于事件 A，B，下列命题
5、正确的是 （A）若 A，B 互不相容，则 与 也互不相容。（B）若 A，B 相容，那么 与 也相容。（C）若 A，B 互不相容，且概率都大于零，则 A，B 也相互独立。（D）若 A，B 相互独立，那么 与 也相互独立。5. 若 ，那么下列命题中正确的是 （A） （B） （C） （D）6 设 ,那么当 增大时， A）增大 B）减少 C）不变 D）增减不定。7设 X 的密度函数为 ，分布函数为 ，且 。那么对任意给定的 a都有 A） B） C） D） 8下列函数中，可作为某一随机变量的分布函数是 A） B） C） D） ，其中9 假设随机变量 X 的分布函数为 F(x),密度函数为 f(x).若
6、X 与-X 有相同的分布函数，则下列各式中正确的是 A）F(x) = F(-x); B) F(x) = - F(-x);C) f (x) = f (-x); D) f (x) = - f (-x).10已知随机变量 X 的密度函数 f(x)= ( 0,A 为常数)，则概率 P（a0）的值 A）与 a 无关，随 的增大而增大 B）与 a 无关，随 的增大而减小C）与 无关，随 a 的增大而增大 D）与 无关，随 a 的增大而减小11 , 独立 ,且分布率为 ,那么下列结论正确的是A） ） C） ）以上都不正确12设离散型随机变量 的联合分布律为 且 相互独立，则 A） B） C） D） 13若
7、， 那么 的联合分布为A） 二维正态，且 B）二维正态，且 不定C） 未必是二维正态 D）以上都不对14设 X，Y 是相互独立的两个随机变量，它们的分布函数分别为 FX(x),FY(y),则 Z = max X,Y 的分布函数是A）F Z（z）= max F X(x),FY(y); B) FZ（z）= max |F X(x)|,|FY(y)|C) FZ（z）= F X（x）F Y(y) D)都不是15下列二无函数中， 可以作为连续型随机变量的联合概率密度。A）f(x,y)=B) g(x,y)=C) (x,y)=D) h(x,y)=16掷一颗均匀的骰子 次，那么出现“一点”次数的均值为 A） 5
8、0 B） 100 C）120 D） 15017 设 相互独立同服从参数 的泊松分布，令 ，则A）1. B）9. C）10. D）6.18对于任意两个随机变量 和 ，若 ，则 A） B）C） 和 独立 D） 和 不独立19设 ，且 ，则 = A）1， B）2， C）3， D）020 设随机变量 X 和 Y 的方差存在且不等于 0，则 是 X 和 Y的 A）不相关的充分条件，但不是必要条件； B）独立的必要条件，但不是充分条件；C）不相关的充分必要条件； D）独立的充分必要条件21设 其中 已知， 未知， 样本，则下列选项中不是统计量的是 A） B） C） D）22设 是来自 的样本，那么下列选项
9、中不正确的是A）当 充分大时，近似有 B）C）D）23若 那么 A） B） C） D）24设 为来自正态总体 简单随机样本， 是样本均值，记， ， ，则服从自由度为 的 分布的随机变量是 A) B) C) D) 25设 X1,X2,Xn，X n+1, ,Xn+m是来自正态总体 的容量为 n+m 的样本，则统计量 服从的分布是 A) B) C) D) 三、解答题110 把钥匙中有 3 把能打开门，今任意取两把，求能打开门的概率。2（8 分）某公司生产的一种产品 300 件. 根据历史生产记录知废品率为 0.01.问现在这 300 件产品经检验废品数大于 5 的概率是多少? 已知当 时，。3.（8
10、 分）设活塞的直径（以 cm 计） ,气缸的直径 ，相互独立 , 任取一只活塞 , 任取一只气缸, 求活塞能装入气缸的概率.4仓库中有十箱同样规格的产品，已知其中有五箱、三箱、二箱依次为甲、乙、丙厂生产的，且甲厂，乙厂、丙厂生产的这种产品的次品率依次为 1/10,1/15,1/20.从这十箱产品中任取一件产品，求取得正品的概率。5 一箱产品，A，B 两厂生产分别个占 60，40，其次品率分别为 1，2。现在从中任取一件为次品，问此时该产品是哪个厂生产的可能性最大？6 有标号 1n 的 n 个盒子，每个盒子中都有 m 个白球 k 个黑球。从第一个盒子中取一个球放入第二个盒子，再从第二个盒子任取一
11、球放入第三个盒子，依次继续，求从最后一个盒子取到的球是白球的概率。7从一批有 10 个合格品与 3 个次品的产品中一件一件地抽取产品，各种产品被抽到的可能性相同，求在二种情况下，直到取出合格品为止，所求抽取次数的分布率。（1）放回（2）不放回8设随机变量 X 的密度函数为 ,求 (1）系数 A,(2) (3) 分布函数 。9对球的直径作测量，设其值均匀地分布在 内。求体积的密度函数。10设在独立重复实验中，每次实验成功概率为 0.5，问需要进行多少次实验，才能使至少成功一次的概率不小于 0.9。11公共汽车车门的高度是按男子与车门碰头的机会在 0.01 以下来设计的，设男子的身高,问车门的高度
12、应如何确定？12 设随机变量 X 的分布函数为：F(x)=A+Barctanx,(- ).求：（1）系数 A 与 B；（2）X 落在（-1，1）内的概率；（3）X 的分布密度。13把一枚均匀的硬币连抛三次，以 表示出现正面的次数， 表示正、反两面次数差的绝对值 ，求 的联合分布律与边缘分布。14设二维连续型随机变量 的联合分布函数为求（1） 的值， （2） 的联合密度， （3） 判断 的独立性。15设连续型随机变量（X，Y）的密度函数为 f(x,y)= ,求 （1）系数 A；（2）落在区域 D： 的概率。16 设 的联合密度为 ，（1）求系数 A，（2）求 的联合分布函数。17上题条件下：（1
13、）求关于 及 的边缘密度。 （2） 与 是否相互独立？18在第 16）题条件下，求 和 。19盒中有 7 个球，其中 4 个白球，3 个黑球，从中任抽 3 个球，求抽到白球数 的数学期望 和方差 。20 有一物品的重量为 1 克，2 克，10 克是等概率的，为用天平称此物品的重量准备了三组砝码 ，甲组有五个砝码分别为 1，2，2，5，10 克，乙组为 1，1，2，5，10 克，丙组为 1，2，3，4，10 克，只准用一组砝码放在天平的一个称盘里称重量，问哪一组砝码称重物时所用的砝码数平均最少?21 公共汽车起点站于每小时的 10 分，30 分，55 分发车，该顾客不知发车时间，在每小时内的任一
14、时刻随机到达车站，求乘客候车时间的数学期望（准确到秒）。22设排球队 A 与 B 比赛，若有一队胜 4 场，则比赛宣告结束，假设 A，B 在每场比赛中获胜的概率均为 1/2,试求平均需比赛几场才能分出胜负？23一袋中有 张卡片，分别记为 1，2， ，从中有放回地抽取出 张来，以表示所得号码之和，求 。24设二维连续型随机变量（X ，Y）的联合概率密度为：f (x ,y)=求： 常数 k， 及 .25设供电网有 10000 盏电灯，夜晚每盏电灯开灯的概率均为 ，并且彼此开闭与否相互独立，试用切比雪夫不等式和中心极限定理分别估算夜晚同时开灯数在 到 之间的概率。26一系统是由 个相互独立起作用的部
15、件组成，每个部件正常工作的概率为 ，且必须至少由 的部件正常工作，系统才能正常工作，问 至少为多大时，才能使系统正常工作的概率不低于 ？27甲乙两电影院在竞争 名观众，假设每位观众在选择时随机的，且彼此相互独立，问甲至少应设多少个座位，才能使观众因无座位而离去的概率小于 。28设总体 服从正态分布，又设 与 分别为样本均值和样本方差，又设，且 与 相互独立，求统计量 的分布。29在天平上重复称量一重为 的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布，若以 表示 次称量结果的算术平均值，为使 成立，求 的最小值应不小于的自然数？30证明题 设 A，B 是两个事件，满足 ，证明事件 A，B 相互
16、独立。31证明题 设随即变量 的参数为 2 的指数分布，证明 在区间（0，1）上服从均匀分布。试题参考答案一、填空题1 （1） （2） （3） 或 2 0.7， 33/7 ， 44/7! = 1/1260 ， 50.75， 6 1/5，7 ， 1/2， 80.2， 92/3， 104/5， 11， 12F(b,c)-F(a,c)， 13F (a,b)，141/2， 151.16， 167.4， 171/2， 1846， 198520 ； 21 ， 22，1/8 ， 23 =7，S 2=2 ， 24 ， 二、选择题 1A 2D 3B 4D 5D 6C 7B 8B 9C 10 C11C 12A 13C 14C 1 5B 16B 17C 18B 19A 20 C21C 22B 23A 24B 25C三、解答题1. 8/15 ； 2（8 分）解 把每件产品的检验看作一次伯努利试验, 它有两个结果: 正品,废品.检验 300 件产品就是作 300 次独立的伯努利试验. 用 表示检验出的废品数, 则（2 分）我们要计算 对 有 于是, 得（2 分）（3 分）查泊松分布表, 得（1 分）3.（8 分）解 按题意需求 由于 故有（2 分）（2 分）（3 分）（1 分）4. 0.92;
