1、例 1】2010，西城，一模已知：关于 x的方程23()230m1xx求证： 取任何实数时，方程总有实数根；解：（1）分两种情况：当 0m时，原方程化为 03x，解得 1x， （不要遗漏）当 ，原方程有实数根. 当 0时，原方程为关于 x的一元二次方程， 22231436930mm . 原方程有两个实数根. （如果上面的方程不是完全平方式该怎样办？再来一次根的判定，让判别式小于 0就可以了，不过中考如果不是压轴题基本判别式都会是完全平方式，大家注意就是了）综上所述， m取任何实数时，方程总有实数根.（2010 年广东省广州市）已知关于 x 的一元二次方程有两个相等的实数根，求)0(12abxa
2、的值。4)(2【关键词】分式化简，一元二次方程根的判别式【答案】解： 有两个相等)0(12abxa的实数根， ，即 240bc24 22222 444)( abababa ，021.(2010 年 浙 江 省 绍 兴 市 )某公司投资新建了一商场,共有商铺 30 间.据预测,当每间的年租金定为 10万元时,可全部租出.每间的年租金每增加 5 000 元,少租出商铺 1 间.该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用 1 万元,未租出的商铺每间每年交各种费用 5 000 元.（1）当每间商铺的年租金定为 13 万元时,能租出多少间？（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时,该公司的年收益（收益租金各种
3、费用）为 275 万元？【答案】（1） 30 0005 0006, 能租出 24 间. （2）设每间商铺的年租金增加 x 万元,则（30 ）（10 x）（30 ）5.0x5.01 0.5275， .2 x 211 x50， x5 或 0.5， 每间商铺的年租金定为 10.5 万元或 15 万元.2010 年安徽中考）在国家下身的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年 3 月分的 14000 元/ 下降到 5 月2m份的 12600 元/ 2m问 4、5 两月平均每月降价的百分率是多少？（参考数据： ）9.0如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7 月分该市的商品房成交均价是否会跌破 100
4、00 元/ ？请说明理由。2m【关键词】一元二次方程的应用【答案】（1）解：设 4、5 月份平均每月降价的百分率为 x，根据题意得 20()160x化简得 .9解得 12.5,(x不 合 题 意 ,舍 去 )因此 4、5 月份平均每月降价的百分率为 5%。（2）解：如果按此降价的百分率继续回落，估计 7月份的商品房成交均价为 2160()160.91340x由此可知，7 月份该市的商品房成交均价不会跌破10000 元/m 2(2010 年山东聊城)2009 年我市实现国民生产总值为1376 亿元，计划全市国民生产总值以后三年都以相同的增长率一实现，并且 2011 年全市国民生产总值要达到 17
5、26 亿元（1）求全市国民生产总值的年平均增第率（精确到1%）（2）求 2010 年至 2012 年全市三年可实现国民生产总值多少亿元？（精确到 1 亿元）【关键词】一元二次方程的应用【答案】（1）设全市国民生产总值的年平均增长率为 ，x根据题意，得： 1726)(1376x ， ，25.)(x.， （不合题意，舍去）%01.1答：全市国民生产总值的年平均增长率约为 10%(2) 1376(1+10%)+1726+1726(1+10%)=1513.6+1726+1898.65138(亿)答：2010 年至 2012 年全市三年可实现国民生产总值约为 5138 亿元【例 2】 、 是方程 的两个
6、根，1x20532x不解方程，求下列代数式的值：（1） （2） 221x（3） 23xx略解：（1） 21 2121)(x47（2） 21x21214)(x3（3）原式 )2541【例 3】已知关于 的方程x有两个实数根，并且这两05)2(22mx个根的平方和比这两个根的积大 16，求 的值。m分析：有实数根，则0，且，联立解得 的值。16221xx略解：依题意有：0)5(4)2(16)(2211mxx由解得： 或 ，又由可知m49 舍去，故151探索与创新：【问题一】已知 、 是关于 的一元二次方程1x2x的两个非零实数根，问：0)(42mx与 能否同号？若能同号请求出相应的 的取值范12
7、m围；若不能同号，请说明理由。略解：由 0 得 。163221， 021mx24x 与 可能同号，分两种情况讨论：12（1）若 0， 0，则 ，解得1x2021x1 且 0m 且 0m（2）若 0， 0，则 ，解得1x2021x1 与 相矛盾m2综上所述：当 且 0 时，方程的两m21根同号。【问题二】已知 、 是一元二次方程1x2的两个实数根。042kx（1）是否存在实数 ，使成立？若存在，求出 的值；23)(12xk若不存在，请说明理由。（2）求使 的值为整数的实数 的整数12x值。略解：（1）由 0 和0 0kk ，21x4121 21212121 9)()( xx34k ，而 059k
8、不存在。（2） 21x4)(21x，要使 的值为整数，而 为整数，14k4kk只能取 1、2、4，又 0存在整数 的值为2、3、512.（2011 南充市中考）18.关于的一元二次方程x2+2x+k+1=0 的实数解是 x1 和 x2.（1）求 k 的取值范围；（2）如果 x1+x2-x1x2-1 且 k 为整数，求 k 的值。12. .解：（1）方程有实数根 =2 2-4（k +1）0(2 分）解得 k 0K 的取值范围是k 0.(4 分)（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得 x1+x2=-2, x1x2=k+1（5 分）x1+x2-x1x2=-2,+ k+1由已知，得 -2,+ k+1
9、-1 解得 k-2. （6 分）又由（1） k 0 -2 k 0. （7 分） k 为整数 k 的值为-1 和0. （8 分）14.（2011 义乌市中考）19商场某种商品平均每天可销售 30 件，每件盈利 50 元. 为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施. 经调查发现，每件商品每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件设每件商品降价 x 元. 据此规律，请回答：（1）商场日销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含 x 的代数式表示）；（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到 2100 元？14. 解：（1） 2x 50x （每空 1 分）2 分（2
10、）由题意得：（50x）（302x）=2100 4 分化简得：x 235x +300=0解得：x 1=15， x2=205 分该商场为了尽快减少库存，则 x=15不合题意，舍去. x =20答：每件商品降价 20 元，商场日盈利可达 2100 元. 6 分若关于 x 的一元二次方程 的两个实0342kx数根为 、 ，且满足 ，试求出方程的两个实1221数根及 k 的值.10. 解:由根与系数的关系得: ，421x 2 分21x3又 ，联立、，解方程组得21x 4 分21x 63121xk 5 分答：方程两根为 .12=,;=xk 6 分9.（2011 桂林市中考）23（本题满分 8 分）某 市为
11、争创全国文明卫生城，2008 年市政府对市区绿化工程投入的资金是 2000 万元，2010 年投入的资金是 2420 万元，且从 2008 年到 2010 年，两年间每年投入资金的年平均增长率相同.（1）求该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率；（2）若投入资金的年平均增长率不变，那么该市在2012 年需投入多少万元？9. 解：（1）设该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率为 ， 1 分x根据题意得， 20(1)40x3 分来源:Z&xx&k.Com得 ， （舍去） %2.15 分来源:Zxxk.Com答：该市对市区绿化工程投入资金的年平均增长率为 10. 6 分（2）2012 年需投入资
12、金：（万元） 7 分240(1%)98.答：2012 年需投入资金 2928.2 万元. 8 分例 2. 分解因式：分析：形如 的多项式，叫关于 x，y 的二元二次多项式，它的因式分解有三种方法：双十字相乘法，待定系数法，公式法。解：解法 1：解法 2：设比较对应项系数解法 3：整理为关于 x 的二次三项式令 ，则（2009 年四川绵阳）已知关于 x 的一元二次方程 x2 + 2（ k1） x + k21 = 0 有两个不相等的实数根（1）求实数 k 的取值范围；（2）0 可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由【分析】这是一道确定待定系数 m 的一元二次方程，又讨论
13、方程解的情况的优秀考题，需要考生具备分类讨论的思维能力【答案】（1）= 2（ k1） 24（ k21）= 4k28 k + 44 k2 + 4 =8 k + 8 原方程有两个不相等的实数根， 8 k + 80，解得 k1，即实数 k 的取值范围是 k1（2）假设 0 是方程的一个根，则代入得 02 + 2（ k1） 0 + k21 = 0，解得 k =1 或 k = 1（舍去）即当 k =1 时，0 就为原方程的一个根此时，原方程变为 x24 x = 0，解得 x1 = 0， x2 = 4，所以它的另一个根是 4根与系数：2009 年内蒙古包头）关于 x的一元二次方程210xm的两个实数根分别
14、是 12x、 ，且127，则 2()x的值是（ ）A1 B12 C13 D251.（2009 年山东淄博） 已知 12x， 是方程20xa的两个实数根，且 123（1）求 12x， 及 a 的值；（2）求 312x的值2(2009 年广东中山)已知：关于 的方程10xk（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是 1，求另一个根及 k值3.（2009 年重庆江津区）已知、分别是ABC的三边，其中1，4，且关于 x 的方程02bx有两个相等的实数根，试判断ABC 的形状.1. 解：（1）由题意，得 123.x， 解得 12xx， 所以 ()1a（2）法一： 由题意，得 210x所以 32112x= 321123x = 2x 法二： 由题意，得 21，所以 32112xx= 1112()3(2)xx = 263= 3 = 111421xx 2. 解：（1） 0k，224()8k，无论 k取何值， k 0，所以 0，即 0，方程 210xk有两个不相等的实数根（2）设 2的另一个根为 x，则1kx， 1()xA，解得： 2， k，210x的另一个根为 12， k的值为13. 解:方程 24b有两个相等的实数根= ()0b=4.来源:学+科+网c=4.b=c=4.ABC 为等腰三角形.bax2ac42
