1、 1正多边形和圆课时练习（附答案） 一、本节学习指导本节我们重点了解正多边形的各种概念和性质，在命题中正多边形经常和三角形、圆联合命题，部分地区也会以这部分综合题作为压轴题。二、知识要点1、正多边形（1） 、正多边形的定义各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。如：正六边形，表示六条边都相等，六个角也相等。（2） 、正多边形和圆的关系只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。（3） 、正多边形的中心正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。（4） 、正多边形的半径正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。（5） 、正多边形的边心距正
2、多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。（6） 、中心角正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。2、正多边形的对称性 （1） 、正多边形的轴对称性正多边形都是轴对称图形。一个正 n 边形共有 n 条对称轴，每条对称轴都通过正 n 边形的中心。（2） 、正多边形的中心对称性边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。（3） 、正多边形的画法2先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。一、课前预习 (5 分钟训练)1.圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正 n 边形的边长与半径之比( )A.扩大了一倍 B.扩大了两倍 C.扩大了四倍 D.没
3、有变化2.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为( )A.321 B.432 C.421 D.6433.正 五边形共有_条对称轴，正六边形共有 _条对称轴.4.中心角是 45的正多边形的边数是_.5.已知ABC 的周长为 20,ABC 的内切圆与边 AB 相切于点 D,AD=4,那么BC=_.二、课中强化(10 分钟训练)1.若正 n 边形的一个外角是一个内角的 时，此时该正 n 边形有_条对称轴.322.同圆的内接正三角 形与内接正方形的边长的比是 ( )A. B. C. D.2646343.周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积 S3、S 4、S 6 之间的大小关系是( )A.S3S
4、4S6 B.S6S4S3 C.S6S3S4 D.S4S6S34.已知O 和O 上的一点 A(如图 2.6-1).(1)作O 的内接正方形 ABCD 和内接正六边形 AEFCGH；(2)在(1)题的作图中，如果点 E 在弧 AD 上，求证：DE 是O 内接正十二边形的一边.图 2.6-1三、当堂巩固(30 分钟训练)1 .正六边形的两条平行边之间的距离为 1，则它的边长为( )A. B. C. D.63433332.已知正多边形的边心距与边长的比为 ，则此正多边形为( )21A.正三角形 B.正方形 C.正六边形 D.正十二边形3.已知正六边形的半径为 3 cm，则这个正六边形的周长为_ cm.
5、4.正多边形的一个中 心角为 36 度,那么这个正多边形的一个内角等于_ _度.5.如图 2.6-2，两相交圆的公共弦 AB 为 2 ，在O 1 中为内接正三角形的一边，在 O 23中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比.图 2.6-26.某正多边形的每个内角比其外角大 100，求这个正多边形的边数.7.如图 2.6-3，在桌面上有半径为 2 cm 的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖，求这个大圆片的半 径最小应为多少？图 2.6-38.如图 2.6-4，请同学们观察这两个图形是怎么画出来的？并请同学们画出这个图形( 小组之间参与交流、评价).4图 2.6-49.用等分
6、圆周的方法画出下列图案：图 2.6-510.如图 2.6-6(1)、2.6-6(2) 、2.6-6(3)、2.6-6(n)，M、 N 分别是O 的内接正三角形ABC、正方形 ABCD、正五边形 ABCDE、正 n 边形 ABCDE的边 AB、BC 上的点，且 BM=CN，连结 OM、 ON.图 2.6-6(1)求图 2.6-6(1)中MON 的度数；(2)图 2.6-6(2)中MON 的度数是_，图 2.6-6(3)中MON 的度数是_；(3)试探究MON 的度数与正 n 边形边数 n 的关系( 直接写出答案).56参考答案一、课前预习 (5 分钟训练)1.圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接
7、正 n 边形的边长与半径之比( )A.扩大了一倍 B.扩大了两倍 C.扩大了四倍 D.没有变化思路解析：由题意知 圆的半径扩大一倍，则相应的圆内接正 n 边形的边长也扩大一倍，所以相应的圆内接正 n 边形的边长与半径之比没有变化.。答案：D2.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为( )A.321 B.432 C.421 D.643思路解析：如图，设正三角形的边长为 a，则高 AD= a，外接圆半径 OA= a，3边心距 OD= a，所以 ADOAOD=321。答案： A633.正 五边形共有_条对称轴，正六边形共有 _条对称轴.思路解析：正 n 边形的对称轴与它的边数相同。答案：5 64.中
8、心角是 45的正多边形的边数是_.思路解析：因为正 n 边形的中心角为 ，所以 45= ，所以 n=8。答案：8n360n305.已知ABC 的周长为 20,ABC 的内切圆与边 AB 相切于点 D,AD=4,那么BC=_.思路解析:由切线长定理及三角形周长可得。答案 :6二、课中强化(10 分钟训练)1.若正 n 边形的一个外角是一个内角的 时，此时该正 n 边形有_条对称轴.32思路解析：因为正 n 边形的外角为 ，一个内角为 ，n60180)2(所以由题意得 = ，解这个方程得 n=5。答案：536018)(2.同圆的内接正三角 形与内接正方形的边长的比是 ( )A. B. C. D.2
9、43634思路解析：画图分析,分别求出正三角形、正方形的边长，知应选 A。答案：A3.周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积 S3、S 4、S 6 之间的大小关系是( )7A.S3S4S6 B.S6S4S3 C.S6S3S4 D.S4S6S3思路解析：周长相等的正多边形的面积是边数越多面积越大。答案：B4.已知O 和O 上的一点 A(如图 2.6-1).(1)作O 的内接正方形 ABCD 和内接正六边形 AEFCGH；(2)在(1)题的作图中，如果点 E 在弧 AD 上，求证：DE 是O 内接正十二边形的一边.图 2.6-1思路分析：求作O 的内接正六 边形和正方形，依据定理应将 O 的
10、圆周六等分、四等分，而正六边形的边长等于半径；互相垂直的两条直径由垂径定理知把圆四等分.要证明 DE 是O 内接正十二边形的一边，由定理知，只需证明 DE 所对圆心角等于 3601230.(1)作法：作直径 AC;作直径 BD AC;依次连结 A、B 、C、D 四点,四边形 ABCD 即为O 的内接正方形;分别以 A、C 为圆心，OA 长为半径作弧，交O 于 E、H、F、G;顺次连结 A、E、F 、C、G、H 各点.六边形 AEFCGH 即为O 的内接正六边形.(2)证明：连结 OE、DE.AOD 90， AOE 60，4360630DOE AOD AOE30. DE 为O 的内接正十二边形的
11、一边.三、当堂巩固(30 分钟训练)1 .正六边形的两条平行边之间的距离为 1，则它的边长为( )A. B. C. D.63433238思路解析：正六边形的两条平行边之间的距离为 1，所以边心距为 0.5,则边长为 .3答案：D2.已知正多边形的边心距与边长的比为 ，则此正多边形为( )2A.正三角形 B.正方形 C.正六边形 D.正十二边形思路解析：将问题转化为直角三角形，由直角边的比知应选 B。答案：B3.已知正六边形的半径为 3 cm，则这个正六边形的周长为_ cm.思路解析：转化为直角三角形求出正六边形的边长，然后用 P66a n 求出周长。答案：184.正多边形的一个中 心角为 36
12、 度,那么这个正多边形的一个内角等于_ _度.答案：144.5.如图 2.6-2，两相交圆的公共弦 AB 为 2 ，在O 1 中为内接正三角形的一边，在 O 23中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比.图 2.6-2思路分析：欲求两圆的面积之比，根据圆的面积计算公式，只需求出两圆的半径 R3 与R6 的平方比即可.解：设正三角形外接圆O 1 的半径为 R3，正六边形外接 圆O 2 的半径为 R6，由题意得 R3= AB，R 6=AB，R 3R 6 3.O 1 的面积O 2 的面积13.6.某正多边形的每个内角比其外角大 100，求这个正多边形的边数.思路分析：由正多 边形的内角与外角公式可
13、求.解：设此正多边形的边数为 n，则各内角为 ，外角为 ，依题意得n180)2(n360- 100.解得 n9.n180)2(367.如图 2.6-3，在桌面上有半径为 2 cm 的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖，求这个大圆片的半 径最小应为多少？9图 2.6-3思路分析：设三个圆的圆心为 O1、O 2、O 3，连结 O1O2、 O2O3、O 3O1，可得边长为 4 cm 的正O 1O2O3，设大圆的圆心为 O，则点 O 是正O 1O 2O3 的中心，求出这个正O1O2O3 外接圆的半径，再加上O 1 的半径即为所求.解：设三个圆的圆心为 O1、 O2、O 3，连结 O
14、1O2、O 2O3、O 3O1，可得边长为 4 cm 的正O 1O2O3，则正O 1O2O3 外接圆的半径为 cm，所以大圆的半径为 +2=43(cm).648.如图 2.6-4，请同学们观察这两个图形是怎么画出来的？并请同学们画出这个图形( 小组之间参与交流、评价).图 2.6-4答案：略.9.用等分圆周的方法画出下列图案：图 2.6-5作法：(1)分别以圆的 4 等分点为圆心，以圆的半径为半径，画 4 个圆；10(2)分别以圆的 6 等分点为圆心，以圆的半径画弧.10.如图 2.6-6(1)、2.6-6(2) 、2.6-6(3)、2.6-6(n)，M、 N 分别是O 的内接正三角形ABC、
15、正方形 ABCD、正五边形 ABCDE、正 n 边形 ABCDE的边 AB、BC 上的点，且 BM=CN，连结 OM、 ON.图 2.6-6(1)求图 2.6-6(1)中MON 的度数；(2)图 2.6-6(2)中MON 的度数是_，图 2.6-6(3)中MON 的度数是_；(3)试探究MON 的度数与正 n 边形边数 n 的关系( 直接写出答案).答案：(1)方法一：连结 OB、 OC.正ABC 内接于O，OBM=OCN30 ， BOC=120.又BM=CN，OB=OC， OBMOCN.BOMCON. MON=BOC=120.方法二：连结 OA、OB.正ABC 内接于O ，AB=AC，OAM= OBN=30,AOB=120.又BMCN ， AM=BN.又OA=OB, AOMBON. AOM=BON.MON=AOB=120.(2)90 72(3)MON= .n360
