1、- 1 -数学（必修）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集 ，集合 ， ，则 （ ）1,2345U1,24A1,35B()UCABA B C D3524,2.已知点 ， ，若向量 ，则实数 （ ）(,)(,)t(,)tA2 B3 C4 D-23.已知直线 过点 ，且与直线 平行，则 的方程为（ ）l(1,)6540xylA B C D560xy16510xy4.已知角 的始边为 轴的正半轴，点 是角 终边上的一点，则 （ ）x(,3)tanA-3 B C. D3135.已知函数 ，
2、则 的值是（ ）32,0,()logxf1()fA1 B C.-1 D-216.执行如图所示的程序框图，若输入 ，则输出 的值为（ ）1xk- 2 -A3 B4 C. 5 D67.下列函数 中，满足“对任意 ，当 时，都有 ”的是()fx12,(0,)x12x12()fxf（ ）A B C. D()|1|f()fx()xfsin2x8.已知实数 满足约束条件 ，则 的取值范围是（ ）,y531,yx3zxyA B C. D5,97,957,9.若 是函数 与 的图象交点的横坐标，则 属于区间（ ）0x()lnfx2()gx0xA B C. D(,1)1,(,3)(3,)10.设 是两条不同的直
3、线， 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）mn,A若 ， ，则 B若 ， ，则 /mmn/mC. 若 ， ，则 D若 ， ，则/ /a11.在区间 上随机取两个数 ，记 为事件“ ”的概率， 为事件“0,2,xy1p1xy2p”的概率，则（ ）1xyA B C. D2p211221- 3 -12.已知数列 满足 ， ，则数列 的前 100 项和为（ ）na1321nna1naA4950 B5050 C.5100 D5150第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.函数 的定义域是_.()2fx14.函数 （其中 为常数， ）的部分图象如图所
4、示，则sin)|2_.15.已知一个四棱锥的底面边长是边长为 2 的正方形，顶点在底面的正投影为正方形的中心，侧棱长为 ，则这个四棱锥的内切球的表面积为_.516.在平面四边形 中， ， ，四个内角的角度比为ABCD4C，则边 的长为_.:3:7410A三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分 10 分）已知向量 设 .(sin,1)(,cos)axbxR， ， ， ()fxab（1）求函数 的对称轴方程；f（2）若 ，求 的值.2()(0,)43f， ()4f18.（本小题满分 12 分）从某小区随机抽取 40 个家庭，收
5、集了这 40 个家庭去年的月均用水量（单位：吨）的数据，整理得到频数分布表和频率分布直方图.- 4 -（1）求频率分布直方图中 的值；ab，（2）从该小区随机选取一个家庭，试估计这个家庭去年的月均用水量不低于 6 吨的概率；（3）在这 40 个家庭中，用分层抽样的方法从月均用水量不低于 6 吨的家庭里抽取一个容量为 7 的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取 2 个家庭，求其中恰有一个家庭的月均用水量不低于 8 吨的概率.19.（本小题满分 12 分）已知数列 满足 ，且点 在函数 的图象上.na715*1(,)naN2yx（1）求数列 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前 项和 .3na
6、bnbnT20.（本小题满分 12 分）一个长方体的平面展开图及该长方体的直观图的示意图如图所示.- 5 -（1）请将字母 标记在长方体相应的顶点处（不需说明理由） ；,EFG（2）在长方体中，判断直线 与平面 的位置关系，并证明你的结论；BAFH（3）在长方体中，设 的中点为 ，且 ， ，求证：AM2E平面 .EMF21.（本小题满分 12 分）已知直线 被圆 所截得的弦长为 8.20xy22:Cxyr（1）求圆 的方程；（2）若直线 与圆 切于点 ，当直线 与 轴正半轴， 轴正半轴围成的三角形面积最小lPlxy时，求点 的坐标.P22.（本小题满分 12 分）设函数 .2()(,)fxab
7、R（1）当 时，求函数 在 上的最大值 的表达式；1bfx1,()ga（2）当 时，讨论函数 在 上的零点个数.2 ()yf- 6 -2016 学年度广州市高中二年级学生学业水平测试数学试题参考答案及评分标准一、选择题1-5:BADDB 6-10:CCACD 11、12：AD二、填空题13. 14. 15. 16.2,)34332三、解答题17.解：（1） ()sincofxabx2(sinco所以函数 的对称轴方程为 .4 分()fx()4xkZ（2）由（1）得， .2sin()f因为 ，()43f所以 5 分2sin()4f.6 分2sin()co3所以 .7 分1co3因为 ，所以 .8
8、 分(0,)22sin1cos3所以 9 分i()in44f- 7 -.10 分24318.解：（1）因为样本中家庭月均用水量在 上的频率为 ，4,6)10.254在 上的频率为 ，6,8)160.4所以 ， .2 分0.25.a.2b（2）根据频数分布表，40 个家庭中月均用水量不低于 6 吨的家庭共有 16+8+4=28 个，所以样本中家庭月均用水量不低于 6 吨的概率是 .8074利用样本估计总体，从该小区随机选取一个家庭，可估计这个家庭去年的月均用水量不低于6 吨的概率约为 0.7.4 分（3）在这 40 个家庭中，用分层抽样的方法从月均用水量不低于 6 吨的家庭里抽取一个容量为 7
9、的样本，则在 上应抽取 人，记为 ，5 分6,8)167428,ABCD在 上应抽取 人，记为 ，6 分10EF在 上应抽取 人，记为 .7 分,21G设“从中任意选取 2 个家庭，求其中恰有 1 个家庭的月均用水量不低于 8 吨”为事件，则所有基本事件有： ,ABCDAEFGBC， ， ， ， ， ，,BDEF， ， ， ，共 21 种.,GCGE， ， ， ， ， ， ， ， ， ,F，9 分事件包含的基本事件有： ，,AEF， ， ,B， ， ,G，共 12 种.11 分,CEFD， ， ， ， ， ，所以其中恰有一个家庭的月均用水量不低于 8 吨的概率为 .12 分124719.解：（
10、1）依题意得，得 ，即 .1 分12na1na所以数列 是公差为 2 的等差数列.2 分na- 8 -由 ，得 ，解得 .3 分715a162513a所以 4 分()nd.5 分3（2）因为 ，所以 .6 分213nab127b因为 ，219n所以 是公比为 9 的等比数列.8 分nb所以 10 分1()nnqT.12 分27(9)27(1)8n20.解：（1）字母 标记如图所示.2 分,EFG（2） 平面 ，证明如下：/BGAFH在长方体 中， ，且 ，CDE/BGAH所以四边形 是平行四边形，所以 .4 分/又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .6 分AHFF/F（3）在长方体 中， 平面
11、，BCDEGHABE又 平面 ，所以 .8 分EMM在 与 中，RttA， ，90AF2FE所以 ，所以 .tt AE- 9 -因为 ，所以 ，所以 .90AEMF 90EFAMAFEM10 分又 平面 ， 平面 ， ，所以 平面 .GGG12 分21.解：（1）因为圆 的圆心到直线 的距离为 ，C20xy2|0|1d1 分所以 .2 分2228()418rd所以圆 的方程 .3 分Cxy（2）设直线 与圆 切于点 ，l00(,),)Pxy则 .4 分2018xy因为 ，所以圆的切线的斜率为 .5 分0OPk0xy则切线方程为 ，即 .6 分0()xy018则直线 与 轴正半轴的交点坐标为 ，
12、与 轴正半轴的交点坐标为 .lx018(,)xy018(,)y所以围成的三角形面积为 .9 分00622S因为 ，所以 .20018xyx9y当且仅当 时，等号成立.10 分3因为 ， ,所以 ，0x0y019xy所以 .016289S所以当 时， 取得最小值 18.11 分3xyS所以所求切点 的坐标为 .12 分P(,)- 10 -22.当 时，1ba，对称轴为直线 .22()()1fxxaxa当 即 时， 在 上是增函数，所以 .1f,()13gf分当 即 时， 在 上是减函数，在 上是增函数，10a1()fx1,a,a且 ，所以 .2 分()()3ffa()3gf当 即 时， 在 上是
13、减函数，在 上是增函数，()fx,1且 ，所以 .3 分(1)()ff(1)fa当 即 时， 在 上是减函数，所以 .ax,()gfa综上所述， .4 分,0()3.ag（2）当 时， .21b22()1()(1)fxaxa令 ，即 ，()0fx1()0f解得 或 .5 分a()fx当 时， ，即 .()1fx22a220xa因为 ，214()所以当 即 时，方程 有两个实数解.6 分0a220x当 即 时，方程 有且只有一个实数解 .71 a0x分当 即 时，方程 没有实数解.8 分10a220x当 时， ，即 .()fx1aa220xa因为 ，224(2)48所以当 即 时，方程 有两个实数解.9 分020x
