1、直线与圆的方程一、直线的方程1、倾斜角： L，范围 0 ，若 轴或与 轴重合时， =00。xl/2、斜率： k=tan 与 的关系： =0 =0已知 L 上两点 P1（x 1,y1） 0 02kP2（x 2,y2） = 不存在 k= 12y02当 = 时， =900， 不存在。当 时， =arctank， 0 时，1x20= +arctank3、截距（略）曲线过原点 横纵截距都为 0。4、直线方程的几种形式已知 方程 说明 几种特殊位置的直线斜截式 K、b Y=kx+b 不含 y 轴和行平于 y 轴的直线x 轴：y=0点斜式 P1=(x1,y1)ky-y1=k(x-x1) 不含 y 轴和平行于
2、 y 轴的直线y 轴：x=0两点式 P1(x1,y1)P2(x2,y2) 1212xy不含坐标辆和平行于坐标轴的直线平行于 x 轴：y=b截距式 a、b b不含坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线平行于 y 轴：x=a过原点：y=kx一般式 Ax+by+c=0 A、B 不同时为0两个重要结论：平面内任何一条直线的方程都是关于 x、y 的二元一次方程。任何一个关于 x、y 的二元一次方程都表示一条直线。5、直线系：（1）共点直线系方程：p 0（x 0,y0）为定值，k 为参数 y-y0=k（x-x 0）特别：y=kx+b，表示过（0、b）的直线系（不含 y 轴）（2）平行直线系：y=kx+b，k
3、为定值，b 为参数。AX+BY+入=0 表示与 Ax+By+C=0 平行的直线系BX-AY+入=0 表示与 AX+BY+C 垂直的直线系（3）过 L1,L2 交点的直线系 A1x+B1y+C1+入（A 2X+B2Y+C2）=0（不含 L2）6、三点共线的判定： ，K AB=KBC，CB写出过其中两点的方程，再验证第三点在直线上。二、两直线的位置关系1、L1：y=k 1x+b1L2：y=k 2x+b2L1：A 1X+B1Y+C1=0L2：A 2X+B2Y+C2=0L1 与 L2 组成的方程组平行 K1=k2 且 b1b 2 2121CB无解重合 K1=k2 且 b1=b2 2121A有无数多解相
4、交 K1k 2 21B有唯一解垂直 K1k2=-1 A1A2+B1B2=0（说明：当直线平行于坐标轴时，要单独考虑）2、L 1 到 L2 的角为 0，则 （ ）12tank23、夹角： 12tank4、点到直线距离： （已知点（p 0(x0,y0)，L：AX+BY+C=0 ）20BAcyxd两行平线间距离：L 1=AX+BY+C1=0 L2：AX+BY+C 2=021BAcd与 AX+BY+C=0 平行且距离为 d 的直线方程为 Ax+By+C 02与 AX+BY+C1=0 和 AX+BY+C2=0 平行且距离相等的直线方程是02CBYAX5、对称：（1）点关于点对称：p(x 1,y1)关于
5、M（x 0,y0）的对称 )2,(1010YXP（2）点关于线的对称：设 p(a、b)对称轴 对称点 p对称轴 对称点 pX 轴 )(ba、 Y=-x )(ab、Y 轴 )(bap、X=m(m0) )2(bamp、y=x 、y=n(n0) n、一般方法：如图：(思路 1)设 P 点关于 L 的对称点为 P0(x0,y0) 则 Kpp0 KL=1P, P0 中点满足 L 方程解出 P0(x0,y0)（思路 2）写出过 PL 的垂线方程，先求垂足，然后用中点坐标公式求出P0(x0,y0)的坐标。Py LP0x（3）直线关于点对称L：AX+BY+C=0 关于点 P（X 0、Y 0）的对称直线 ：A
6、（2X 0-X）+B（2Y 0-Y）+C=0l（4）直线关于直线对称几种特殊位置的对称：已知曲线 f(x、y)=0关于 x 轴对称曲线是 f(x、-y)=0 关于 y=x 对称曲线是 f(y、x)=0关于 y 轴对称曲线是 f(-x、y)=0 关于 y= -x 对称曲线是 f(-y、-x)=0关于原点对称曲线是 f(-x、-y)=0 关于 x=a 对称曲线是 f(2a-x、y)=0关于 y=b 对称曲线是 f(x、2b-y)=0一般位置的对称、结合平几知识找出相关特征，逐步求解。三、简单的线性规划L Y不等式表示的区域O X AX+BY+C=0约束条件、线性约束条件、目标函数、线性目标函数、线
7、性规划，可行解，最优解。要点：作图必须准确（建议稍画大一点） 。线性约束条件必须考虑完整。先找可行域再找最优解。四、圆的方程1、圆的方程：标准方程 ，c（a、b）为圆心，r 为半径。22)(yax一般方程： ，02FEYDXyx，2,EDC24FEr当 时，表示一个点。04F当 时，不表示任何图形。2E参数方程： cosrax为参数inby以 A（X 1，Y 1） ，B（X 2，Y 2）为直径的两端点的圆的方程是（X-X 1） （X-X 2）+ （Y-Y 1） （ Y-Y2）=02、点与圆的位置关系：考察点到圆心距离 d，然后与 r 比较大小。3、直线和圆的位置关系：相交、相切、相离判定：联立
8、方程组，消去一个未知量，得到一个一元二次方程：0 相交、0相切、0 相离利用圆心 c (a、b)到直线 AX+BY+C=0 的距离 d 来确定：dr 相交、dr 相切 dr 相离（直线与圆相交，注意半径、弦心距、半弦长所组成的 kt）4、圆的切线：（1）过圆上一点的切线方程与圆 相切于点（x 1、y 1）的切线方程是22ryx 21ryx与圆 相切于点（x 1、y 1）的切成方程2)()(rba为： 211 )(rbyx与圆 相切于点（x 1、y 1）的切线是02FEYDXy)2()(111 yxx（2）过圆外一点切线方程的求法：已知：p 0(x0，y 0)是圆 外一点2)()(rbyax21
9、21)()(rbax设切点是 p1(x1、y 1)解方程组21010 )()( rby先求出 p1 的坐标，再写切线的方程设切线是 即)(00xky0ykx再由 ，求出 k，再写出方程。rbka12（当 k 值唯一时，应结合图形、考察是否有垂直于 x 轴的切线）已知斜率的切线方程：设 （b 待定） ，利用圆心到 L 距离为 r，确定kxyb。5、圆与圆的位置关系由圆心距进行判断、相交、相离（外离、内含） 、相切（外切、内切）6、圆系同心圆系： ， （a、b 为常数，r 为参数）22)()(ryax或： （D 、E 为常数，F 为参数）02YXy圆心在 x 轴： 22)(ry圆心在 y 轴： b
10、过原点的圆系方程 222)()(bayax过两圆 和0: 1121 FYEXDyC的交点的圆系方程为: 222 x（不含 C2） ，其中0(2211 FYEXyxy入入为参数若 C1 与 C2 相交，则两方程相减所得一次方程就是公共弦所在直线方程。类型一：圆的方程例 1 求过两点 )4,1(A、 )2,3(B且圆心在直线 0y上的圆的标准方程并判断点)4,2(P与圆的关系例 2 求半径为 4，与圆 0422yx相切，且和直线 0y相切的圆的方程例 3 求经过点 )5,0(A，且与直线 yx和 yx都相切的圆的方程例 4、 设圆满足：(1) 截 y轴所得弦长为 2；(2)被 x轴分成两段弧，其弧
11、长的比为 1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线 02yxl： 的距离最小的圆的方程类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例 5 已知圆 42yxO： ，求过点 42，P与圆 O相切的切线例 6 两圆 01121 FEDC： 与 0222FyExDyxC： 相交于 A、B两点，求它们的公共弦 AB所在直线的方程例 7、过圆 外一点 ，作这个圆的两条切线 、 ，切点分别是 、12yx)3,2(MMABA，求直线 的方程。BA例 8、求直线 被圆 截得的弦 的长.063:yxl 042:2yxCAB例 9、直线 截圆 得的劣弧所对的圆心角为 032yx42yx例 10、求两圆 和
12、 的公共弦长022yx52yx类型四：直线与圆的位置关系例 11、已知直线 和圆 ，判断此直线与已知圆的位置关系.3yx42yx例 12、若直线 与曲线 有且只有一个公共点，求实数 的取值范围.mxy24xym例 13 圆 9)3()(22yx上到直线 0143yx的距离为 1 的点有几个？例 14、判断圆 与圆 的位置026:21 yxC 042:22 yxC关系，例 15：圆 和圆 的公切线共有 条。022xy042y类型六：圆中的对称问题例 16、圆 关于直线 对称的圆的方程是 2690xy250xy例 17 自点 3，A发出的光线 l射到 x轴上，被 轴反射，反射光线所在的直线与圆 0
13、742yxC： 相切（1）求光线 l和反射光线所在的直线方程（2）光线自 到切点所经过的路程类型七：圆中的最值问题例 18：圆 上的点到直线 的最大距离与最小距离0142yx 014yx的差是 G O BNMyAx图3CA例 19 (1)已知圆 1)4()3(221yxO： ， ),(yxP为圆 O上的动点，求 2yxd的最大、最小值(2)已知圆 )(22： ， ),(为圆上任一点求 12xy的最大、最小值，求 yx的最大、最小值例 20：已知 ， ，点 在圆 上运动，则)0,(A),(BP4)()3(22yx的最小值是 .2P类型八：轨迹问题例 21、基础训练：已知点 与两个定点 ， 的距离
14、的比为 ，求点 的轨M)0,(O),3(A21M迹方程.例 22、已知线段 的端点 的坐标是（4，3） ，端点 在圆 上运动，ABA4)1(2yx求线段 的中点 的轨迹方程.M例 23 如图所示，已知圆 42yxO： 与 轴的正方向交于 A点，点 B在直线 2y上运动，过 B做圆 的切线，切点为 C，求 AB垂心 H的轨迹类型九：圆的综合应用例 24、 已知圆 062myx与直线 032yx相交于 P、 Q两点， O为原点，且 OQP，求实数 的值例 25、已知对于圆 1)(22yx上任一点 ),(yxP，不等式 0myx恒成立，求实数 m的取值范围例 26 有一种大型商品， A、 B两地都有出售，且价格相同某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离 地的运费是 地的运费的 3 倍已知 A、 B两地距离为 10 公里，顾客选择 地或 地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低求 A、 B两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点
