1、12017 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）第卷（选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（1） 【2017 年浙江，1，4 分】已知 ， ，则 （ ）|1Px20QxPQ（A） （B） （C） （D）(2,)(,0)(,1)(2,1)【答案】A【解析】取 所有元素，得 ，故选 A,PQQ2,【点评】本题考查集合的基本运算，并集的求法，考查计算能力（2） 【2017 年浙江，2，4 分】椭圆 的离心率是（ ）194xy（A） （B） （C ） （D）13532359【答案】B【解析】
2、 ，故选 B9453e【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力（3） 【2017 年浙江，3，4 分】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（ ）（A）（B）（C） （D）123231232【答案】A【解析】由几何的三视图可知，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥的底面圆的半径为1， 三棱锥的底面是底边长 2 的等腰直角三角形，圆锥的高和棱锥的高相等均为 3，故该几何体的体积为 ，故选 A113()12V【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出原几何体的结构特征，是基础题目（4） 【2017 年浙江，4，4 分
3、】若 ， 满足约束条件 ，则 的取值范围xy032xy2zxy是（ ）（A） （B） （C） （D）0,60,46,4,【答案】D【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线过点 时取最小值 4，无最大值，故选 D2,1【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键（5） 【2017 年浙江，5，4 分】若函数 在区间 上的最大值是 ，最小值是 ，则 （ 2fxab0（MmM）（A）与 a 有关，且与 b 有关 （B）与 a 有关，但与 b 无关（C）与 a 无关，且与 b 无关 （D）与 a 无关，但与 b 有关【答案】B2【解析】解法一：因为最值在 中取，所以
4、最值之差一定与 b 无关，故选2(0),(1),()4afbfbfB解法二：函数 的图象是开口朝上且以直线 为对称轴的抛物线，当 或2fxa 2ax12a，即 ，或 时，函数 在区间 上单调，此时 ，故02a0fx0,110Mmf的值与 有关，与 无关；当 ，即 时，函数 在区间 上递减，Mmb12aax,2a在 上递增，且 ，此时 ，故 的值与 有关，与 无,12a0ff 204Mmffb关；当 ，即 时，函数 在区间 上递减，在 上递增，且021afx,1a，此时 ，故 的值与 有关，与 无关综上可得：1ff 204aMmffb的值与 有关，与 无关，故选 Bmab【点评】本题考查的知识点
5、是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键（6） 【2017 年浙江，6，4 分】已知等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，则“ ”是“ ”的（ nadnnS0d4652S）（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由 ，可知当 时，有 ，即 ，4651120250Sadad0d46520S4652S反之，若 ，则 ，所以“ ”是“ ”的充要条件，故选 C5S4652S【点评】本题借助等差数列的求和公式考查了充分必要条件，属于基础题（7） 【2017 年浙江，7，4 分】函数 的导函数 的图像如图所示，则函
6、数yfx()yfx的图像可能是（ ）yfx（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】解法一：由当 时，函数 单调递减，当 时，函数 单调递增，则由导函数0fxfx（0fxfx（的图象可知： 先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除 A，C ，yfx f且第二个拐点（即函数的极大值点）在 x 轴上的右侧，排除 B， ，故选 D解法二：原函数先减再增，再减再增，且 位于增区间内，故选 D0【点评】本题考查导数的应用，考查导数与函数单调性的关系，考查函数极值的判断，考查数形结合思想，属于基础题（8） 【2017 年浙江，8，4 分】已知随机变量 满足 ， ， 若11iPp10i
7、Pp1,2，则（ ）120p（A） ， （B） ，12E()12D()12E()12D()（C） ， （D） ， 【答案】A【解析】 ，1212(),(),()pE1122(),()pp，故选 A120p【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望和方差等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想3象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题（9） 【2017 年浙江，9，4 分】如图，已知正四面体 （所有棱长均相等的三棱锥），DABCPQR分别为 ， ， 上的点， ， ，分别记二面角 ， ABCAP2QRDPRQ， 的平面较为 ， ， ，则（ ）DQR（A） （B） （C） （D）【
8、答案】B【解析】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系设底面 的中心为 不妨ABO设 则 3OP， ， ， ， ， ，0,30P,60C,62D3,0Q23,0R， ， ， ，2R25,P,设平面 的法向量为 ，则 ，可得,6QDR,nxyz0nPD，可得 ，取平面 的法向量 230xyz6,21nABC,1m则 ，取 同理可得： 1cos,5mnarcos53arcos68 2ar95239681解法二：如图所示，连接 ，过点 发布作垂线： ， ，ODQR（OEDROFQ，垂足分别为 ，连接 设 则OGQREFGPEFG（PhcosDPSE同理可得： c， 2h2cosh2osGh由已知可得：
9、 ， 为锐角 ，故选 BOFcos（【点评】本题考查了空间角、空间位置关系、正四面体的性质、法向量的夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题（10） 【2017 年浙江，10，4 分】如图，已知平面四边形 ，ABCD， ， ，ABC2BAD（3C（与 交于点 O，记 ， ， ，则（ ）1IB 2IO 3I（A） （B） （C） （D）123II312I23II【答案】C【解析】 ， ， ， ， ，A90AOBC由图象知 ， ， ， ，即 ，故选 CACD0B312I【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据图象结合平面向量数量积的定义是解决本题的关键第卷（非选择题 共 110 分）二、
10、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分 （11） 【2017 年浙江，11，4 分】我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率 ，理论上能把 的值计算到任意精度。祖冲之继承并发展了“割圆术”，将 的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术” 的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积 ， S内 内【答案】 324【解析】如图所示，单位圆的半径为 1，则其内接正六边形 中， 是边长为 1 的正三角形，ABCDEFAOB所以正六边形 ABCDEF 的面积为 13=6sin6022S内【点评】本题考查了已知圆的半径求其内接正六边形面积的应用问
11、题，是基础题（12） 【2017 年浙江，12，6 分】已知 ， （ 是虚数单位）则 ， abRi4ib（ ） 2abab【答案】5；2【解析】由题意可得 ，则 ，解得 ，则 2i34iab23ab21ab25,【点评】本题考查了复数的运算法则、复数的相等、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题（13） 【2017 年浙江，13，6 分】已知多项式 ，则 ，12543211245xxxax 4a5a【答案】16；4【解析】由二项式展开式可得通项公式为： ，分别取 和 可得 ，令32rmC0,rm,0r4126可得 0x32514【点评】本题考查二项式定理的应用，考查计算能力，是基础题
12、（14） 【2017 年浙江，14，6 分】已知 ， ， 点 为 延长线上一点，AB42BCDAB，连结 ，则 的面积是 ； 2BDCDcos【答案】 ；104【解析】取 中点 ， 中点 ，由题意： ， 中，EF,EFE， ，1cosBA115cos,sin464BCDBC 5in22DS又 ， ，2110cos1s,sin44DFF 10cossin4BDCF综上可得， 面积为 ， B5coBC【点评】本题考查了解三角形的有关知识，关键是转化，属于基础题（15） 【2017 年浙江，15，6 分】已知向量 a，b 满足 则 的最小值是 _；最大1,2,bab值是 _【答案】4； 25【解析】
13、解法一：设向量 和 的夹角为 ，由余弦定理有 ，ab212cos54cos，则 ，212cos54cosab 54ab令 ，则 ，据此可得：54cos54y 22106,0ymaxab， ，即 的最小值为 4，最大值为 0min6ab 25解法二记 ，则 ，如图，由余弦定理可得： ，AOB0 5cosab，令 ， ，则 ，54cosab54cosx54cosy210,xyx其图象为一段圆弧 ，如图，令 ，则 ，则直线 过 、MNzxzzMN时 最小为 ，当直线 与圆弧 相切时 最大，由平面几z13minMN何知识易知 即为原点到切线的距离的 倍，也就是圆弧 所在圆的半径的 倍，ax 2 25所
14、以 综上所述， 的最小值为 4，最大值为 2105maxzab25【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，考查数形结合能力，考查运算求解能力，涉及余弦定理、线性规划等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题（16） 【2017 年浙江，16，4 分】从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有 中不同的选法 （用数字作答）【答案】660【解析】解法一：由题意可得：“从 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人服务队”中的选择方法为： 种方法，其中“服务队中没有女生”
15、的选法有 种方法，则满足题4183C 4163C意的选法有： 种416360C解法二：第一类，先选 1 女 3 男，有 种，这 4 人选 2 人作为队长和副队有 种，故12 241A有种，第二类，先选 2 女 2 男，有 种，这 4 人选 2 人作为队长和副队有40128 265种，24A故有 种，根据分类计数原理共有 种，故答案为：660504801【点评】本题考查了分类计数原理和分步计数原理，属于中档题（17） 【2017 年浙江，17，4 分】已知 ，函数 在区间 上的最大值是 5，则 的取Rfxa1,4a值范围是 【答案】 9(,2【解析】 ，分类讨论：当 时， ，函数的最大值41,5
16、xx5a442fxaaxx， ，舍去；当 时， ，此时命题成立；当aa45f时， ，则： 或：45max,5faa 4a，a解得： 或 ，综上可得，实数 的取值范围是 92a9,2【点评】本题考查函数的最值，考查绝对值函数，考查转化与化归思想，注意解题方法的积累，属于中档题三、解答题：本大题共 5 题，共 74 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 （18） 【2017 年浙江，18，14 分】已知函数 22sinco3sincofxxxR（1）求 的值；23f（2）求 的最小正周期及单调递增区间x解：（1） ，22 sincos3sincos23in2si6fxxxx4336f（2）由
17、， 的最小正周期为 令 ， ，得2sinfxxfx226kxkZ， ，函数 的单调递增区间为 36kkZf .3， ，【点评】本题考查的知识点是三角函数的化简求值，三角函数的周期性，三角函数的单调区间，难度中档6（19） 【2017 年浙江，19，15 分】如图，已知四棱锥 ， 是以 为斜边的等腰直角三角形，PABCDAD， ， ， 为 的中点/BCAD2PCADE（1）证明： 平面 ；/EB（2）求直线 与平面 所成角的正弦值解：解法一：（1）取 的中点 ，连接 ， ， 为 的重点， ，在四边形 中，FFP/FPABC， ， 为中点易得 ，平面 平面 ，/BA2/CB/EP平面 ， 平面 C
18、/CA（2）连结 ，过 作 与 ，连结 ， 因为 ，所以 ，MPBD易知四边形 为矩形，所以 ，所以 平面 ，又 ，DD/所以 平面 ，所以 ， 设 ，则 ，所以12，PB，所以 ，又 平面 ，所以 ，所以 平面1FP12FCPBFCMF，即点 到平面 的距离为 ，也即点 到平面 的距离为 ，因为 为CPBPB12E的中点，所以点 到平面 的距离为 ，在 中， ， ， ，由余弦DE14DD2P定理可得 ， 设直线 与平面 所成的角为 ，则 2CCPB124sin=8CE解法二：（1）略；构造平行四边形（2）过 作 ，交 的延长线于点 在 中，设 ，则易知 PHDHRtDAHx（ ） ，解得 ，
19、过 作 的平行线，取 22()(1)xRtPA12B，由题易得 ， ， ， ， BC3,0B,03,0C3,2P，则 ， ， ，13,42E51(,)42E(,)2B(,1)设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，则 ，故PBC(,)nxyz302nPxzCy1x3t，(1,03)n设直线 与平面 所成的角为 ，则EPB53|24sin=|co,n8216E故直线 与平面 所成角的正弦值为 C28【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题（20）
20、【2017 年浙江，20，15 分】已知函数 122xfxe（1）求 的导函数；fx7（2）求 在区间 上的取值范围fx1+)2，解：（1） 12212112xx x xeexee （2）令 ，则 ，当 时， ，当 时， ，则1gxg 0g0gx在 处取得最小值，既最小值为 0，又 ，则 在区间 上的最小值为 01xefx1,2当 变化时， ， 的变化如下表：fxfx 1,21 51,255,2f- 0 + 0 - 又 ， ， ，则 在区间 上的最大值为 12fe0f521fefx1,212e综上， 在区间 上的取值范围是 fx, 120,【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考
21、查化简整理的运算能力，正确求导是解题的关键，属于中档题（21） 【2017 年浙江，21，15 分】如图，已知抛物线 ，点 ， ，抛物线上2xy1,24A39,B的点 过点 作直线 的垂线，垂足为 124Pxyx， BAPQ（1）求直线 斜率的取值范围；A（2）求 的最大值Q解：（1）由题易得 ， ，故 ，故直线 斜率的取值范围为2,Px132x2141,APxKAP ,（2）由（1）知 ， ，所以 ，设直线 的斜率为 ，则2,x132x21,4x k，1:4APykx，联立直线 、 方程可知 ，39:2BxkAPB23981,4kkQ故 ，又因为 ，4321,1kQ 21,PA故 ，332
22、3221kPA k所以 ，令 ， ，3kfxx1则 ，由于当 时 ，22141fxx20fx8当 时 ，故 ，即 的最大值为 12x0fmax1276ffPAQ2716【点评】本题考查圆锥曲线的最值问题，考查运算求解能力，考查函数思想，注意解题方法的积累，属于中档题（22） 【2017 年浙江，22，15 分】已知数列 满足： ， 证明：当nx111ln*nxxN时，*nN（1） ；10nx（2） ；12n（3） 1nx解：（1）令函数 ，则易得 在 上为增函数又 ，若()l()fx()fx0,)1()nxf0nx()(0nfxf恒成立 ，又由 可知 ，10nx11lnnnx由 所以 1l()
23、()nx 10nx（2）令 ， ，22ll2gx 则 ，11 1l lnl21122xxx xx令 ，则 ，ln2hx25102h 所以 单调递增所以 ，即 ， 单调递增x0h0gxx所以 ，0gln1ln1x所以 ， 11112 2nnnnnx x 1122nnx（3） ，即 递推得112nnx1nnx12 +1()18242nnk nx22()nnx由 知 ，又由 可知 12(N*)n()l()0hx11()(0nnxhx即 综上可知， 1112 N*2nnxx22【点评】本题考查了数列的概念，递推关系，数列的函数的特征，导数和函数的单调性的关系，不等式的证明，考查了推理论证能力，分析解决问题的能力，运算能力，放缩能力，运算能力，属于难题
