1、 习题解答2-1 处于一斜面上的物体，在沿斜面方向的力 F 作用下，向上滑动。已知斜面长为 5.6 m，顶端的高度为 3.2 m，F 的大小为 100 N，物体的质量为 12 kg，物体沿斜面向上滑动的距离为 4.0 m，物体与斜面之间的摩擦系数为 0.24。求物体在滑动过程中，力 F、摩擦力、重力和斜面对物体支撑力各作了多少功？这些力的合力作了多少功？将这些力所作功的代数和与这些力的合力所作的功进行比较，可以得到什么结论？解 物体受力情形如图 2-3 所示。力 F 所 作 的 功；摩 擦 力 ,摩 擦 力 所 作 的 功；重 力 所 作 的 功;支 撑 力 N 与 物 体 的 位 移 相 垂
2、 直 ， 不 作 功 ， 即；这 些 功 的 代 数 和 为.图 2-3物 体 所 受 合 力 为,合 力 的 功 为.这 表 明 ， 物 体 所 受 诸 力 的 合 力 所 作 的 功 必 定 等 于 各 分 力 所 作 功 的 代 数 和 。2-3 物 体 在 一 机 械 手 的 推 动 下 沿 水 平 地 面 作 匀 加 速 运 动 ， 加 速 度 为 0.49 ms2 。若动力机械的功率有 50%用于克服摩擦力，有 50%用于增加速度，求物体与地面的摩擦系数。解 设机械手的推力为 F 沿水平方向，地面对物体的摩擦力为 f，在这些力的作用下物体的加速度为 a，根据牛顿第二定律，在水平方向
3、上可以列出下面的方程式,在上式两边同乘以 v，得,上式左边第一项是推力的功率( )。按题意，推力的功率 P 是摩擦力功率 fv 的二倍，于是有.由上式得,又有,故可解得.2-4 有一斜面长 5.0 m、顶端高 3.0 m，今有一机械手将一个质量为 1000 kg 的物体以匀速从斜面底部推到顶部，如果机械手推动物体的方向与斜面成 30，斜面与物体的摩擦系数为 0.20，求机械手的推力和它对物体所作的功。解 物体受力情况如图 2-4 所示。取 x 轴沿斜面向上，y 轴垂直于斜面向上。可以列出下面的方程,(1),(2). (3)根据已知条件, .由式(2)得.将上式代入式(3)，得.将上式代入式(1
4、)得图 2-4,由此解得.推力 F 所作的功为.2-5 有心力是力的方向指向某固定点( 称为力心) 、力的大小只决定于受力物体到力心的距离的一种力，万有引力就是一种有心力。现有一物体受到有心力 的作用( 其中 m 和 都是大于零的常量)，从 rP 到达 rQ，求此有心力所作的功，其中 rP 和 rQ 是以力心为坐标原点时物体的位置矢量。解 根据题意，画出物体在有心力场中运动的示意图，即图 2-5，物体在运动过程中的任意点 C处，在有心力 f 的作用下作位移元 dl，力所作的元功为, 所以，在物体从点 P (位置矢量为 rP)到达点 Q (位置矢量为 rQ)的过程中，f 所作的总功为. 2-6
5、马拉着质量为 100 kg 的雪撬以 2.0 ms1 的匀速率上山，山的坡度为 0.05(即 每 100 m 升 高 5 m)， 雪 撬 与 雪 地 之 间 的 摩 擦 系 数 为 0.10。 求 马 拉 雪 撬 的 功 率。解 设山坡的倾角为 ，则图 2-5.可列出下面的方程式,.式中 m、F、f 和 N 分别是雪橇的质量、马的拉力、地面对雪橇的摩擦力和地面对雪橇的支撑力。从以上方程式可解得,.于是可以求得马拉雪橇的功率为.2-7 机车的功率为 2.0106 W，在满功率运行的情况下，在 100 s 内将列车由静止加速到 20 ms1 。若忽略摩擦力，试求：(1)列车的质量；(2)列车的速率
6、与时间的关系；(3)机车的拉力与时间的关系；(4)列车所经过的路程。解 (1)将牛顿第二定律写为下面的形式, (1)用速度 v 点乘上式两边，得.式中 Fv = P，是机车的功率，为一定值。对上式积分,即可得,将已知数据代入上式，可求得列车的质量，为.(2)利用上面所得到的方程式,就可以求得速度与时间的关系，为. (2)(3)由式(2)得,将上式代入式(1)，得,由上式可以得到机车的拉力与时间的关系.(4)列车在这 100 秒内作复杂运动，因为加速度也在随时间变化。列车所经过的路程可以用第一章的位移公式(1-11)来求解。对于直线运动，上式可化为标量式，故有.2-8 质量为 m 的固体球在空气
7、中运动将受到空气对它的黏性阻力 f 的作用，黏性阻力的大小与球相对于空气的运动速率成正比，黏性阻力的方向与球的运动方向相反，即可表示为 f = v， 其中 是常量。已知球被约束在水平方向上，在空气的黏性阻力作用下作减速运动，初始时刻 t0 ，球的速度为 v0 ，试求：(1) t 时刻球的运动速度 v；(2)在从 t0 到 t 的时间内，黏性阻力所作的功 A。解 (1)根据已知条件，可以作下面的运算,式中.于是可以得到下面的关系,对上式积分可得. (1)当 t = t0 时，v = v 0，代入上式可得.将上式代入式(1)，得. (2)(2)在从 t0 到 t 的时间内，黏性阻力所作的功可以由下
8、面的运算中得出.2-9 一个质量为 30 g 的子弹以 500 ms1 的速率沿水平方向射入沙袋内，并到达深度为 20 cm处，求沙袋对子弹的平均阻力。解 根据动能定理，平均阻力所作的功应等于子弹动能的增量，即,所以.2-10 以 200 N 的水平推力推一个原来静止的小车，使它沿水平路面行驶了 5.0 m。若小车的质量为 100 kg，小车运动时的摩擦系数为 0.10，试用牛顿运动定律和动能定理两种方法求小车的末速。解 设水平推力为 F，摩擦力为 f，行驶距离为 s，小车的末速为 v。(1)用牛顿运动定律求小车的末速 v：列出下面的方程式,.两式联立求解，解得,将已知数值代入上式，得到小车的
9、末速为.(2)用动能定理求小车的末速 v：根据动能定理可以列出下面的方程式,其中摩擦力可以表示为.由以上两式可解得,将已知数值代入上式，得小车的末速为.2-11 质量 m = 100 g 的小球被系在长度 l = 50.0 cm 绳子的一端，绳子的另一端固定在点 O，如图 2-6 所示。若将小球拉到 P 处，绳子正好呈水平状，然后将小球释放。求小球运动到绳子与水平方向成 = 60 的 点 Q 时 ， 小 球 的 速 率 v、 绳 子 的 张 力 T 和小球从 P 到 Q 的过程中重力所作的功 A。解 取 Q 点的势能为零，则有,即,于是求得小球到达 Q 点 时 的 速 率 为.设小球到达 Q 点 时 绳 子 的 张 力 为 T，则沿轨道法向可以列出下面的方程式,由此可解的.在小球从 P 到 Q 的过程中的任意一点上，沿轨道切向作位移元 ds，重力所作元功可表示为图 2-6
