1、1第三章习题详解1 沿下列路线计算积分 。idz3021) 自原点至 的直线段；i解：连接自原点至 的直线段的参数方程为： tiz310tdtiz3 10 10323302 itidtidzi2) 自原点沿实轴至 ，再由 铅直向上至 ；解：连接自原点沿实轴至 的参数方程为： tzdtz303302302 1tdtz连接自 铅直向上至 的参数方程为： iitz10titz310310232 ittzi 333102302302 iiidtdti 3) 自原点沿虚轴至 ，再由 沿水平方向向右至 。ii解：连接自原点沿虚轴至 的参数方程为： itz10tidtz310310202itidtzi 连接
2、自 沿水平方向向右至 的参数方程为： iitzttz310310232 1ittitzi 3333202302 iiiidzzdiii 2 分别沿 与 算出积分 的值。xyidzyx102解： iiy22 xi iiiidixidzixi 21321311 0021022y 222 iiiy dxidz 1010432102 2131iiixidxiidzixi而 iiii 653323 设 在单连通域 内处处解析， 为 内任何一条正向简单闭曲线。问 ，zfBCB0CdzfRe是否成立？如果成立，给出证明；如果不成立，举例说明。0CdIm解：不成立。例如： ， ，zfie。0iiddC snc
3、osRe20iinImzf204 利用在单位圆上 的性质，及柯西积分公式说明 ，其中 为正向单位圆周 。z1idzC2C1z解： 01zifdzC0215 计算积分 的值，其中 为正向圆周：Cd1) ；2z解：在 上， ieziideddziiC 42202020 2) 4z解：在 上， ieziideddziiC 844202020 6 试用观察法得出下列积分的值，并说明观察时所依据的是什么？ 是正向的圆周 。C1z1) Czd2解： 在 内解析，根据柯西古萨定理，1f 02Czd2) Czd42解： 在 内解析，根据柯西古萨定理，221zf 042Czd33) Czdcos解： 在 内解析
4、，根据柯西古萨定理，f1 0Czdcos4) Czd2解： 在 内解析， 在 内，1f 210z iifzdC2125) Czde解： 在 内解析，根据柯西古萨定理，zf 0Czde6) Czid2解： 在 内解析， 在 内，1zf 20izC212iifzid7 沿指定曲线的正向计算下列各积分：1) ， ：Czde212z解： 在 内， 在 解析，根据柯西积分公式：zzefC2iedzeC2) ， ：Cazd2az解： 在 内， 在 解析，根据柯西积分公式：zazf1C idzazdCC2213) ， ：Cizde12 23i解： 在 内， 在 解析，根据柯西积分公式：izizefiCCiz
5、Ciz edie1244) ， ：Cdz32解： 不在 内， 在 解析，根据柯西古萨定理：3zfC03Cdz5) ， ：Czd132 1r解： 在 解析，根据柯西古萨定理：32fC0132Czd6) ， ：为包围 的闭曲线Czdcos3 0z解： 在 解析，根据柯西古萨定理：f 03Czdcos7) ， ：Czd412C23z解： 在 内， 在 解析，根据柯西积分公式：i412zif Czd4128) ， ：Cdzsin解： 在 内， 在 解析，根据柯西积分公式：0zfsinC02sinsindzC9) ， ：Cdz2sin2解： 在 内， 在 解析，根据高阶导数公式：2zzfsinC 022
6、sinsindzC10) ， ：Czde51z解： 在 内， 在 解析，根据高阶导数公式：0zzefC!420425ifidzeC8 计算下列各题：1) izde325解： 021263232 iiiiziz eed2) ；06ich解： 3203130606 ishzszdii 3) ；i2sn解： 2241212 shizidzzd iiii sncos4) ；10sin解： 1010 1sincoscosszdzzdz5) ；ie0解： iiiiziziziz eeee 006) （沿 到 的直线段） 。idztg12cos1i解： 122121112 tgtigtiztgtdgztt
7、iii 9 计算下列积分：1) ， （其中 ： 为正向） ；Cziz234C4z解： iidzizdiCC 1432311 2) ， （其中 ： 为正向） ；Czi26解： 02222212 izizCCCC idzidzidzizdzi 3) ， （其中 ： 为正向， ： 为负向） ；213cos123解： 在所给区域是解析的，根据复合闭路定理：3zf 0213Cdzcos64) ， ： （其中 为以 ， 为顶点的正向菱形） ；Cizd1zC21i56解：在所给区域内， 有一孤立奇点，由柯西积分公式：izf izdC25) ， （其中 为 的任何复数， ： 为正向） 。Czdae3a11z解
8、：当 ， 在所给区域内解析，根据柯西古萨基本定理：z3zef 03Czdae当 ， 在所给区域内解析，根据高阶导数公式：azf iizeC!2310 证明：当 为任何不通过原点的简单闭曲线时， 。C012Cdz证明：当 所围成的区域不含原点时，根据柯西古萨基本定理： ；2Cz当 所围成的区域含原点时，根据高阶导数公式： ；C 012ifdz11 下列两个积分的值是否相等？积分 2)的值能否利用闭路变形原理从 1)的值得到？为什么？1) 2zd2) 4z解：1） ； 2）02202 diedz 04204 diedzz由此可见，1）和 2）的积分值相等。但 2）的值不能利用闭路变形原理从 1）得
9、到。因为在复平面上处处不解析。zf12 设区域 为右半平面， 为 内圆周 上的任意一点，用在 内的任意一条曲线 连接原点与DzD1zDC，证明 。提示：可取从原点沿实轴到 ，再从 沿圆周 到 的曲线z4102zdRe 11z作为 。C证明：因为 在 内解析，故积分 与路径无关，取从原点沿实轴到 ，再从2fDzd0217沿圆周 到 的曲线作为 ，则：1zC 0210210202 1deiarctgxdedxdiiz0044ieiii sc 4102zR13 设 和 为相交于 、 两点的简单闭曲线，它们所围的区域分别为 与 。 与 的公1C2MNB212共部分为 。如果 在 与 内解析，在 、 上
10、也解析，证明：BzfB121C2。21CCdzf证明：如图所示， 在 与 内解析，在 、 上也解析，由柯西古萨基本定理有：f121201NOMPdz02MRNPdzfMRNPNOMPdzfdzf21PRPffff 21NMPNMNPNO dzfzfdzfzf 12PRPffff 12 12CCdzfzf14 设 为不经过 与 的正向简单闭曲线， 为不等于零的任何复数，试就 与 跟 的不同C位置，计算积分 的值。Cdz2解：分四种情况讨论：1） 如果 与 都在 的外部，则 在 内解析，柯西古萨基本定理有2zfC02Cdz2） 如果 与 都在 的内部，由柯西积分公式有iidzdzdzCCC 222
11、 3） 如果 在 的内部， 都在 的外部，则 在 内解析，由柯西积分公式有zfC8iidzdzCC 224） 如果 在 的外部， 都在 的内部，则 在 内解析，由柯西积分公式有CzfCiidzdzCC 2215 设 与 为两条互不包含，也不相交的正向简单闭曲线，证明1 。2012000221 CzdzziCCsinsi证明：因为 与 为两条互不包含，也不相交，故 与 只有相离1的位置关系，如图所所示。1） 当 在 内时， 在 内解析，根据柯西古萨基本定理以及柯西积分公式：0z1C0zfsin2C202002 1021 zidzzi zCC i2） 当 在 内时， 在 内解析，根据柯西古萨基本定
12、理以及柯西积分公式：002zf1C0002 021 2zziidzziCC sinssin 。201000212 Czi sini16 设函数 在 内解析，且沿任何圆周 ： ， 的积分等于零，问 是zf1r1zf否必需在 处解析？试举例说明之。解：不一定。例如： 在 处不解析，但 。2zf0012rzd17 设 与 在区域 内处处解析， 为 内的任何一条简单闭曲线，它的内部全含于 。如果zfgDCDD在 上所有的点处成立，试证在 内所有的点处 也成立。Czgf证明：设 是 内任意一点，因为 与 在 及 内解析，由柯西积分公式有：zzfg9，Cdzfizf21Cdzgi21又 在 上所有的点处成
13、立，故有：gf CCdzgzf即 在 内所有的点处成立。z18 设区域 是圆环域， 在 内解析，以圆环的中心为中心作正向圆周 与 ， 包含 ，DfD1K21K为 ， 之间任一点，试证 仍成立，但 要换成 。0z1K214.3C21证明：19 设 在单连通域 内处处解析，且不为零， 为 内任何一条简单闭曲线。问积分fBB是否等于零？为什么？Cdzf解：因为 在单连通域 内处处解析且不为零，又解析函数 的导数 仍然是解析函数，故 zfzf在 内处处解析。根据柯西古萨基本定理，有zfB 0Cdf20 试说明柯西古萨基本定理中的 为什么可以不是简单闭曲线？C解：如 不是简单闭曲线，将 分为几个简单闭曲
14、线的和。如 ，则 ， 是简单闭曲线。C 211C2021 CCCdzfzfdzf21 设 在区域 内解析， 为 内的任意一条正向简单闭曲线，证明：在对 内但不在 上的任fD DC意一点 ，等式 成立。0zCCdzfdzf200证明：分两种情况：1） 如果 在 的外部， 和 在 内解析，故0z0zf 0f0200CCdzfdzf2） 如果 在 的内部，在 内解析的函数 ，其导函数 仍是 内的解析函数，根据柯0Czff西积分公式有： 00220iidzfzC 由高阶导数公式有： 0200zififzfz10CCdzfdzf20022 如果 和 都具有二阶连续偏导数，且适合拉普拉斯方程，而 ，yx,
15、 xys，那末 是 的解析函数。ytitsiyx证明： ，xysxyxys，yxtyxtyxt又 和 都具有二阶连续偏导数，所以混合偏导相等，即 ， 。, xyyyx和 满足拉普拉斯方程： ，yx 0yx0x，ytsxytsxy故 是 的解析函数。iti23 设 为区域 内的调和函数及 ，问 是不是 内的解析函数？为什么？uDyuixffD解：设 ，则 ，itsfut，2xxxyuys2，uyt 2t因为 为区域 内的调和函数，具有二阶连续偏导且满足拉普拉斯方程uD， 是 内的解析函数。ytxsxtsfD24 函数 是 的共轭调和函数吗？为什么？vyv解： ， ， ， ，1xuy1xvyvxuxv故函数 不是 的共轭调和函数。vy25 设 和 都是调和函数，如果 是 的共轭调和函数，那末 也是 的共轭调和函数。这句话对吗？uvuuv
