1、第一章作业解答第 1 页 共 55 页数学模型作业答案第二章(1) （2012 年 12 月 21 日）1 学校共 1000名学生，235 人住在 A宿舍，333 人住在 B宿舍，432 人住在 C宿舍.学生们要组织一个 10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：（1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者;（2）. 1 中的 Q值方法；（3）.dHondt 方法：将 A、B、C 各宿舍的人数用正整数 n=1,2,3,相除，其商数如下表：将所得商数从大到小取前 10个（10 为席位数） ，在数字下标以横线，表中A、B、C 行有横线的数分别为 2，3，5，这就是
2、3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？如果委员会从 10个人增至 15人，用以上 3种方法再分配名额，将 3种方法两次分配的结果列表比较.解：先考虑 N=10的分配方案，,432 , ,2351 pp1.0ip方法一（按比例分配）,.31ipNq,.312ipNq32.431ipNq分配结果为： 4 , ,321nn方法二（Q 值方法）9个席位的分配结果（可用按比例分配）为：1 2 3 4 5ABC235 117.5 78.3 58.75 333 166.5 111 83.25 432 216 144 108 86.4第一章作业解答第 2 页 共 55 页4 ,3 ,21nn第 10个
3、席位：计算 Q值为,7.903251Q,75.9204322.931423Q最大，第 10个席位应给 C.分配结果为 3 5 , ,321nn方法三（dHondt 方法）此方法的分配结果为： 5 ,3 ,21n此方法的道理是：记 和 为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3 代表 A、B、C 宿舍）.ipi是每席位代表的人数，取 从而得到的 中选较大者，可使对所有的inp,21ininp尽量接近.,i再考虑 的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将 3种方法两次分配的结果15N列表如下：宿舍 （1） （2） （3） （1） （2） （3）ABC3 2 23 3 34 5 54 4 35 5 56
4、6 7总计 10 10 10 15 15 152 试用微积分方法，建立录像带记数器读数 n与转过时间的数学模型.解： 设录像带记数器读数为 n时，录像带转过时间为 t.其模型的假设见课本.考虑 到 时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得 两tt ,2)(kdnwrvdt边积分，得 nt dwkrvd00)(22k( t.22nvkrt数学模型作业解答第一章作业解答第 3 页 共 55 页第三章 1（2008 年 10月 14日）1. 在 3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货批量证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批
5、量都比原来结果减少解：设购买单位重量货物的费用为 ,其它假设及符号约定同课本k对于不允许缺货模型，每天平均费用为：01krTcC2)(121d令 ， 解得 0TrcT21*由 ， 得rQ21与不考虑购货费的结果比较，、的最优结果没有变对于允许缺货模型，每天平均费用为：02kQrTcQcTC2321)(),(23221rrTkQcTC3令 ， 得到驻点：0Q 3223231221)(ckrcrkcrT第一章作业解答第 4 页 共 55 页与不考虑购货费的结果比较，、的最优结果减少2建立不允许缺货的生产销售存贮模型设生产速率为常数 ，销售速率为常数 ，kr在每个生产周期内，开始的一段时间 一边生产
6、一边销售，后来rk0Tt的一段时间 只销售不生产，画出贮存量 的图形.设每次生产准备费为)(0Tt)(g，单位时间每件产品贮存费为 ，以总费用最小为目标确定最优生产周期，讨论1c2c和 的情况.rk解：由题意可得贮存量 的图形如下：)(tg贮存费为 ni Tit Trkcdtgctgc1 020202 )()()(lm又 )(0rTk, 贮存费变为 0 krc2)(2于是不允许缺货的情况下，生产销售的总费用（单位时间内）为kTrcTkrcTC)(2)()( 211.d)(21, 得0T令 )(21rkc易得函数 取得最小值，即最优周期为： 处在 C)( )(21rkcT. 相当于不考虑生产的情
7、况.rc Trk21时当rktrg0O第一章作业解答第 5 页 共 55 页. 此时产量与销量相抵消，无法形成贮存量. Trk时当第三章 2（2008 年 10月 16日）3在 3.3节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度 与开始救火时的火势 有关，b试假设一个合理的函数关系，重新求解模型.解：考虑灭火速度 与火势 有关，可知火势 越大，灭火速度 将减小，我们作如bb下假设: ，1)(bk分母 而加的.时是 防 止中 的 0总费用函数 xcbkxtcbkxtctxC3122121 )()( 最优解为 c)(2(315在考虑最优价格问题时设销售期为 T，由于商品的损耗，成本 随时间增长，设
8、q， .又设单位时间的销售量为 .今将销售tqt0)(为 增 长 率 )(为 价 格pbax期分为 两段，每段的价格固定，记作 .求 的最优值，tT2和 21,21,使销售期内的总利润最大.如果要求销售期 T内的总售量为 ，再求 的最优值.0Q解：按分段价格，单位时间内的销售量为Ttbpax2,01又 .于是总利润为tqt0)(20 22111 )()(),(T Tdtbpatqpdtbatpp= 2)(02)( 0201 Ttttqtba = )83)()8)( 0201 tqTpbaTp 第一章作业解答第 6 页 共 55 页)(2)82( 1011 bpaTqTpb)()3( 202t,
9、 得到最优价格为:,021p令 )43(201Tqbap在销售期 T内的总销量为202 2121 )()()(T pbaTdtbpdtbpaQ于是得到如下极值问题： )832)()82)(),(max 20220121 Ttqbpaqbpap ts. 021QT利用拉格朗日乘数法，解得： 8021Tbap即为 的最优值.21,p第三章 3（2008 年 10月 21日）6. 某厂每天需要角钢 100吨，不允许缺货.目前每 30天定购一次，每次定购的费用为2500元.每天每吨角钢的贮存费为 0.18元.假设当贮存量降到零时订货立即到达.问是否应改变订货策略？改变后能节约多少费用？解：已知：每天角
10、钢的需要量 r=100(吨);每次订货费 2500（元）;1c第一章作业解答第 7 页 共 55 页每天每吨角钢的贮存费 0.18（元）.又现在的订货周期 T 30（天）2c 0根据不允许缺货的贮存模型： krcTC21)(得： kTC0925)(令 ， 解得：0dT35092*T由实际意义知：当 （即订货周期为 ）时，总费用将最小.*又 300100kkC1035023)(*=35333100kT950 （353.33100k）（300100k） 5333.)()* 32故应改变订货策略.改变后的订货策略（周期）为 T = ，能节约费用约 5333 元.*50数学模型作业解答第四章（2008
11、 年 10月 28日）1. 某厂生产甲、乙两种产品,一件甲产品用 原料 1千克, 原料 5千克；一件乙产品AB用 原料 2千克, 原料 4千克.现有 原料 20千克, 原料 70千克.甲、乙产品每件AB售价分别为 20元和 30元.问如何安排生产使收入最大？解：设安排生产甲产品 x 件,乙产品 y 件，相应的利润为 S则此问题的数学模型为：max S=20x+30ys.t. Zyx,0,7452这是一个整线性规划问题，现用图解法进行求解可行域为：由直线 ：x+2y=20, :5x+4y70 1l2ly 2d第一章作业解答第 8 页 共 55 页以及 x=0,y=0 组成的凸四边形区域. 直线
12、：20x+30y=c 在可行域内 l l平行移动.易知：当 过 与 的交点时， xl12l 1lS 取最大值. 由 解得7045yx510yx此时 20 350（元）maS312. 某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可获利润如下表：货物 体积（立方米/箱） 重量（百斤/箱） 利润（百元/箱）甲 5 2 20乙 4 5 10已知这两种货物托运所受限制是体积不超过 24立方米，重量不超过 13百斤.试问这两种货物各托运多少箱，使得所获利润最大，并求出最大利润.解:设甲货物、乙货物的托运箱数分别为 , ,所获利润为 则问题的数学模型可表示为1x2z.210 maxxzZyxst,0
13、,352412这是一个整线性规划问题.用图解法求解. 可行域为：由直线 245:1xl及 组成直线 在此凸四边形区域内32 0,21xcxl210:平行移动. 2ll 1x1lx第一章作业解答第 9 页 共 55 页易知：当 过 与 的交点时， 取最大值l1l2z由 解得 352421x142x. 9010maz3某微波炉生产企业计划在下季度生产甲、乙两种型号的微波炉.已知每台甲型、乙型微波炉的销售利润分别为 3和 2个单位.而生产一台甲型、乙型微波炉所耗原料分别为 2和 3个单位,所需工时分别为 4和 2个单位.若允许使用原料为 100个单位,工时为 120个单位,且甲型、乙型微波炉产量分别
14、不低于 6台和 12台.试建立一个数学模型,确定生产甲型、乙型微波炉的台数,使获利润最大并求出最大利润.解：设安排生产甲型微波炉 件,乙型微波炉 件,相应的利润为 S.xy则此问题的数学模型为：max S=3x +2ys.t. Zyxx,12,6043这是一个整线性规划问题用图解法进行求解可行域为：由直线 ：2x+3y=100, :4x+2y120 1l2l及 x=6,y=12 组成的凸四边形区域. 直线 ：3x+2y=c 在此凸四边形区域内平行移动 . 易知：当 过 与 的交点时, Sl l12l取最大值. 由 解得 12043yx第一章作业解答第 10 页 共 55 页.20yx3 100
15、.maxS数学模型作业解答第五章 1（2008 年 11月 12日）1.对于 5.1节传染病的 模型，证明：SIR（1）若 ，然后减少并趋于零； 单调减处 最 大先 增 加 ， 在则 )(,10 stis )(ts少至 .（2） .)()(,0 ststis 单 调 减 少 至单 调 减 少 并 趋 于 零 ，则若 解：传染病的 模型（14）可写成SIRisdti)1( .)(lim 0.(t) .)( .0, t存 在而单 调 减 少知由 sstsidts)(单 调 减 少 至故（1） .s(t) .s(t) .100 单 调 减 少由若 s;,0, 单 调 增 加时当 idt.)( .1单 调 减 少时当 tss .0lim)8(ti即式 知又 由 书 上
