1、温馨提示：此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。课时提升作业 十五利用导数研究函数的极值、最值(25 分钟 60 分)一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)1.当函数 y=x2x取极小值时,x= ( )A. B.-C.-ln 2 D.ln 2【解析】选 B.令 y=2 x+x2xln2=0,解得 x=- .2.(2016济宁模拟)函数 f(x)= x2-lnx 的最小值为 ( )A. B.1 C.0 D.不存在【解析】选 A.f(x)=x- = ,且 x0,令 f(x)0,得 x1;令 f(x)0,f(-1
2、)0,不满足 f(-1)+f(-1)=0.二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)6.(2016滨州模拟)若函数 f(x)= 在 x=1 处取得极值,则 a= .【解析】f(x)= ,由题意知 f(1)=0,所以 =0,解得 a=3.经验证,a=3 时,f(x)在 x=1 处取得极值.答案:37.已知函数 y=f(x)=x3+3ax2+3bx+c 在 x=2 处有极值,其图象在 x=1 处的切线平行于直线6x+2y+5=0,则 f(x)的极大值与极小值之差为 .【解析】因为 f(x)=3x 2+6ax+3b,所以所以 f(x)=3x 2-6x,令 3x2-6x=0,得 x=0 或 x=2,所
3、以 f(x)极大值 -f(x)极小值 =f(0)-f(2)=4.答案:48.若函数 f(x)=x3-3x 在区间(a,6-a 2)上有最小值,则实数 a 的取值范围是 .【解析】若 f(x)=3x 2-3=0,则 x=1,且 x=1 为函数的极小值点,x=-1 为函数的极大值点.函数 f(x)在区间(a,6-a 2)上有最小值,则函数 f(x)的极小值点必在区间(a,6-a 2)内,且左端点的函数值不小于 f(1),即实数 a 满足 a0),此时 f(x)=2xlnx+x=x(2lnx+1).令 f(x)0,解得所以函数 f(x)的单调递增区间为 ,单调递减区间为(2)F(x)= +x-lnx
4、=xlnx+x.由 F(x)=2+lnx,得 F(x)在(0,e -2)上单调递减,在(e -2,+)上单调递增.所以 F(x)F(e -2)=-e-2.(3)f(x)=2(x-a)lnx+= (2xlnx+x-a),令 g(x)=2xlnx+x-a,则 g(x)=3+2lnx,所以函数 g(x)在 上单调递减,在 上单调递增,所以当 a0 时,因为函数 f(x)无极值点,当 a0 时, 即函数 g(x)在(0,+)上存在零点,记为 x0,由函数 f(x)无极值点,易知 x=a 为方程 f(x)=0 的重根,所以 2alna+a-a=0,即 2alna=0,a=1.当 01 时,x 01 且
5、x0a,函数 f(x)的极值点为 a 和 x0;当 a=1 时,x 0=1,此时函数 f(x)无极值.(20 分钟 40 分)1.(5 分)已知实数 a,b,c,d 成等比数列,且曲线 y=3x-x3的极大值点坐标为(b,c),则 ad 等于 ( )A.2 B.1 C.-1 D.-2【解析】选 A.因为 a,b,c,d 成等比数列,所以 ad=bc,又(b,c)为函数 y=3x-x3的极大值点,所以 c=3b-b3,且 0=3-3b2,所以 或 所以 ad=2.2.(5 分)已知 y=f(x)是奇函数,当 x(0,2)时,f(x)=lnx-ax ,当 x(-2,0)时,f(x)的最小值为 1,
6、则 a 的值等于 ( )A. B. C. D.1【解析】选 D.因为 f(x)是奇函数,所以 f(x)在(0,2)上的最大值为-1.当 x(0,2)时,f(x)= -a,令 f(x)=0 得 x= ,又 a ,所以 00,f(x)在 上单调递增;当 x 时,f(x)1)在区间上的最大值为 1,最小值为-1,则 a= ,b= .【解析】因为 f(x)=3x 2-3ax=3x(x-a),令 f(x)=0,解得:x 1=0,x2=a.因为 a1,所以当 x 变化时,f(x)与 f(x)的变化情况如下表:x -1 (-1,0) 0 (0,1) 1f(x) + 0 -f(x) -1- a+b 极大值 b
7、 1- a+b由题意得 b=1.f(-1)=- ,f(1)=2- ,f(-1)0)上的最小值.【解析】(1)当 a=5 时,g(x)=(-x 2+5x-3)ex,g(1)=e.又 g(x)=(-x 2+3x+2)ex,故切线的斜率为 g(1)=4e,所以切线方程为:y-e=4e(x-1),即 y=4ex-3e.(2)函数 f(x)的定义域为(0,+),f(x)=lnx+1,当 x 变化时,f(x),f(x)的变化情况如表:xf(x) - 0 +f(x) 单调递减 极小值 单调递增当 t 时,在区间 上 f(x)为增函数,所以 f(x)min=f(t)=tlnt.当 00,f(x)为增函数,当 x=1 时,f(x)有最小值 f(1)=0.(2)方法一:f(x)= ,由题意设 2x2-x+a=0 的两个正根为 x1,x2,=1-8a0 且 a0 即 00且 a0 即 0a ,0x1 x2 ,x1+x2= ,x1x2= ,f(x1)-f(x2)=(x1+x2)(x1-x2)+x2-x1+aln= (x1-x2)+x2-x1+aln= (x2-x1)+aln ,又 0a ,0x1 x2 ,则 x2-x1 ,0 1,则 f(x1)-f(x2) .关闭 Word 文档返回原板块
