1、文曦教育VIP1 对 1 专业团队 高效提分12.1 圆【知识点总结】1、圆的定义在一个平面内，线段 OA 绕它的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 运动所形成的图形叫做圆，点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径.以点 O 位圆心的圆，记作“O”，读作“圆O”0 圆可以看成是定点 O 的距离等于定长 r 的所有点组成的图形。例 1：下列说法：经过点 P 的圆又无数个；以点 P 为圆心的圆有无数个；半径为2cm 且经过点 P 的圆有无数个； 以点 P 为圆心，2cm 长为半径的圆又无数个，其中错误的有（ ）A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个2、点和圆的位置关系设O 的半径为 r，
2、点 P 到圆心的距离为 d，则点 P 在圆内 dr点 P 在圆上 d=r点 P 在圆外 dr例 2：在数轴上，点 A 所表示的实数为 3，点 B 所表示的实数为 a，A 的半径为 2，则下列说法中，不正确的是（ ）A.当 a5 时，点 B 在A 内 B.当 1a5 时，点 B 在A 内C.当 a1 时，点 B 在A 外 D.当 a5 时，点 B 在A 外3、圆中的相关概念（1）连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径.（2）圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都在半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧（3）顶点在圆心的角叫
3、做圆心角（4）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆.能够互相重合的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.（5）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧例 3：下列说法中不正确的是： 直径是圆中最长的弦，弦是直径；优弧大于劣弧，半圆是弧；长度相等的两条弧是等弧；圆心不同的圆不可能是等圆.【典例展示】题型一 性质的简单应用例 1：如图，点 A、D、G、M 在半圆 O 上，四边形 ABOC、DEOF、HMNO 均为矩形，设BC=a，EF=b，NH=c，则下列各式中正确的是（ ）Aabc Ba=b=c Ccab Dbca题型二 简单的证明题例 2：如图，在 ABCD 中，BAD 为钝角，且 AEBC
4、，AFCD（1）试说明 A、E、C、F 四点共圆（2）设线段 BD 与（1）中的圆相交于点 M、N，说明 BM=ND文曦教育VIP1 对 1 专业团队 高效提分2题型三 分类讨论题例 3：某点到圆周上的最长距离为 8cm，最短距离为 6cm。求圆的半径题型四 探索性试题例 4：如图，矩形 ABCD 的边 AB=3cm，AD=4cm（1）若以点 A 位圆心，4cm 为半径作A，则点 B、C、D 与A 的位置关系如何?（2）若以点 A 位圆心作A，使 B，C，D 三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，则A 的半径 r 的取值范围是什么？题型五 计算题例 5：如图，AB 是O 的直径，CD
5、是O 的弦，AB、CD 的延长线相交于点 E.已知AB=2DE，E=18，求AOC 的度数.题型六 生活中的应用例 6：某部队在灯塔的周围进行爆破作业，灯塔 A 周围 3km 内的水域为危险区域，有一渔船误入离 A 处 2km 的 B 处，为了尽快驶离危险区域，该船应沿哪条航线方向航行？为什么？题型七 运动变化题例 7：如图，AB 是O 的直径，它把O 分成上下两个半圆，自上半圆上一点 C 作弦CDAB，OCD 的平分线交O 于点 P，当 C 点在上半圆（不包括 A、B 两点）上运动时，试探求点 P 的位置.文曦教育VIP1 对 1 专业团队 高效提分3【误区警示】误点 1 审题不清，画错图形
6、例 1：设 AB=2cm，画图说明：点 A、B 的距离都小于 1.5cm 的点的集合误点 2 忽视分类讨论，产生漏洞例 2：如图，已知半径为 5 的O，点 O 到弦 AB 的距离为 3，则O 上到弦 AB 所在直线的距离为 2 的点有（ ）A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个2.2 圆的对称性【知识点总结】1、圆的对称性圆是中心对称图形，圆心是对称中心圆是由旋转不变性，即圆围绕圆心旋转任何角度后，仍然与原来的圆重合圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴例 1：如图是由一个圆和一个平行四边形组成的图形，要求画出一条直线，把圆与平行四边形的面积平分，应如何分割？请保留作图痕迹
7、.二、圆心角、弧、弦之间的关系在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等.可简称为“等对等定理”或“三个概念的相等关系”例 2：如图，AB、DE 是O 的直径，C 是O 上的一点， =弧 CE，请探求并至少写出图中 AD三对具有相等关系的量（除对顶角和半圆相等外）2、圆心角的度数与它所对的弧的度数关系1的圆心角所对的弧叫做 1的弧.一般地，n的圆心角对着的 n的弧，n的弧对着 n的圆心角.圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.例 3：如图，在O 中，半径 OCAB，OAB=50，求弧 BC 的度数.文曦教育VIP1 对 1 专业团队 高效提分4
8、4、垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平方弦所对的弧.推广：一条直线：过圆心；垂直于弦；平分弦（不是直径） ； AB平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧，只要具备其中两个条件，就能推出其他三个.例 4：如图，O 的弦 AB 垂直平分半径 OC，若 ,则O 的半径为 6AB【典例展示】题型一 概念辨析题例 1：下列说法：圆是轴对称图形，每条直径都是它的对称轴；垂直于弦的直线平分这条弦；平分弦的直径垂直于这条弦；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的两条弧也相等，其中，不正确的有（ ）A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个题型二 简单计算题例 2：如图，DE 是O 的直径，弦 A
9、BCD，垂足为 C，若 AB=6，CE=1，则 OC= ，CD= 题型三 几何说理题例 3：如图，AOB=90，C、D 为 的三等分点，AB 分别交 OC、OD 于点 E、F，那么 ABAE、CD、BF 之间有什么数量关系？请说明你的理由.例 4：如图，AB 是O 的弦，半径 OC、OD 分别交 AB 于点 E、F，且 AE=BF，请你找出线段OE 与 OF 的数量关系，并给予证明.题型四 作图题例 5：某居民小区一处圆柱形输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；文曦教育VIP1 对 1 专业团队
10、高效提分5（2）若这个输水管道有水部分的水面宽 AB=16cm，水面最深地方的高度为 4cm，求这个圆形截面的半径题型五 运动变化题例 6：如图，O 的半径为 5cm，C 是O 内的一点，过点 C 的最短弦 AB 为 8cm，（1）若 P 是弦 AB 上一动点，且点 P 与圆心 O 的距离为整数，这样的点 P 有几个？（2）如果最短弦 AB 的两端点在圆上滑动（AB 弦长不变），那么弦 AB 的中点形成怎样的图形？题型六 实际应用题例 7：某地有一圆弧拱桥，桥下水面的宽度为 7.2m，拱顶高出水面 2.4m.现有一艘宽 3m，船舱船舱顶部为长方形并高出水面 2m 的货船要经过这里，问此货船能顺
11、利通过拱桥吗？【误区警示】误点 1 平行弦间的位置不清而导致错误例 1：已知O 的半径为 13cm，弦 ABCD，AB=24cm，CD=10cm，则 AB、CD 之间的距离为（ ）A.17cm B.7cm C.12cm D.17cm 或 7cm误点 2 不能正确理解圆心角、弧与弦之间的关系例 2：如图，在O 中，AB=2CD，那么（ ）A. 2 B. 2 C. = 2 D. 与 2 大小关系不确定 AB CD AB CD AB CD AB CD文曦教育VIP1 对 1 专业团队 高效提分62.3 圆周角【知识点总结】1、圆周角的概念顶点在圆上，并且两边都相交的角的叫做圆周角例 1：下列图形中，
12、表示圆周角的是 （填写序号）2、圆周角定理同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半例 2：如图，OB 是O 的半径，点 C、D 在O 上，DCB=27，则OBD= .三、圆周角与直径的关系（1）直径或半圆所对的圆周角是直角（2）90的圆周角所对的弦是直径例 3：如图，若 AB 是O 的直径，CD 是O的弦，ABD=58，则BCD 的度数为（ ）A.116 B.32 C.58 D.64【典例展示】题型一 网格题例 1：如图所示，O 的半径为 ，圆心与坐标原点重合，在平面直5角坐标系中，把横坐标、纵坐标都是整数的点称为格点.（1）写出O 上所有格点的坐标： （2）设 为经过 O 上
13、任意两个格点的直线.l满足条件的直线 l 共有多少条？求直线 l 同时经过第一、二、四象限的概率题型二 计算题例 2：（1）如图，D 为 AC 上一点，O 为边 AB 上一点，AD=DO，以 O 为圆心，OD 长为半径作圆，交 AC 于点 F、G，连接 EF.若BAC=32，则EFG= 文曦教育VIP1 对 1 专业团队 高效提分7（2）如图，ABC 内接于O，若B=30，AC= ，则O 半径为 .3题型三 探究题例 3：如图，点 A、B、D、E 在圆上，弦AE 的延长线于弦 BD 的延长线交于点 C.给出下列三个条件：（1）AB 是圆的直径；（2）D 是 BC 的中点；（3）AB=AC请在上
14、述条件中选择两个作为已知条件，第三个作为结论，写出一个你认为正确的命题，并加以证明 例 4：如图，A、B、C 三点都在 O 上，BE 是O 的直径，AD 是ABC的高.（1）现在不添加任何线或角的情况下，图中除直角外，还有相等的角吗？如果有，请写出来并加以说明；没有请说明理由（2）如果O 的半径 R=4cm，AD=6cm，求 ABAC 的值题型四 操作探索题例 5：如图APC 的顶点在圆外，两边与圆相交，称它为圆外角.（1）请你按以下步骤操作：在图内，连接 OA、OD；用量角器测出下列各角的度数.APC= ，AOC= ,DOE= .(精确到 1) （2）根据上面的数据猜想：APC 与AOC、D
15、OE 之间有什么数量关系？（3）证明你的猜想；（4）如图、，若点 O 不在 PC 上，则（2）的结论成立吗？请说明理由.（5）用语言描述你的发现. ABC文曦教育VIP1 对 1 专业团队 高效提分8题型五 学科内综合题例 6：如图，在锐角ABC 中，AC 是最短边，以 AC 中点 C 为圆心， 长为半径作O，AC21交 BC 于点 E，过 O 作 ODBC 交O 于点 D，连接 AE、AD、DC.【误区警示】误点 1 忽视圆心角，圆周角 2 倍关系的前提例 1：如图，在O 中，AB、AC 是弦，O 在BAC 的内部，AOB=，AOC= ，BOC= ，下列关系式中正确的是（ ）A.=+ B.=
16、2+2 C.+=180 D.+=360文曦教育VIP1 对 1 专业团队 高效提分9误点 2 忽视圆中不是直径的弦所对的圆周角有两种类型例 2：如果圆的弦等于半径，那么这条弦所对的圆周角的度数等于 2.4 确定圆的条件【知识点总结】1、确定圆的条件不在同一条直线上的三点确定一个圆例 1：平面上有 A、B、C 三点，若经过这三点画圆，则可以画（ ）A.0 个 B.1 个 C.0 个或 1 个 D.无数个2、三角形的外接圆三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形，这个圆的圆心叫做三角形的外心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相
17、等例 2：如图，正方形 ABCD 是O 的内接正方形，P 是劣弧 AB 上不同于点 B 的任意一点，则BPC 的度数为 【典例展示厅】题型一 网格题例 1：小英家的圆形桌子被打碎了，她拿了如图所示（网格中的每个小正方形的边长为 1）的一块碎片到玻璃片到玻璃店。配成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是（ ）A.2 B. C. D.352题型二 辨析题例 2：下列说法中不正确的是（ ）A.三点确定一个圆B.任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形C.三角形的外心是三角形三条角平分线的交点D.三角形的外心道三个顶点的距离相等题型三 开放题例 3：如图，O 是ABC 的外接圆，
18、BAC=50，点 P 在 AO 上（点 P 不与 A、O 重合），则BPC 可能为 （写出一个即可）题型四 探索题例 4：在O 的内接四边形 ABCD 中，ADBC，试探索四边形 ABCD 的形状，并说明理由.文曦教育VIP1 对 1 专业团队 高效提分10题型五 证明题例 5：如图，ABC 内接于O，高 BE、AD 相交于点 P，延长 BE、AD，分别交O 于点M、N，求证：（1）PE=ME，PD=ND;(2)点 C 是PMN 的外心题型六 操作探索题例 6:我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆，例如线段 AB的最小覆盖圆就是以线段 AB 为直径的圆.（1）请分别作出图 1 中两个三角形的最小覆盖圆；（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）探究三角形的最小覆盖圆有何规律？请写出你所得到的结论；（不要求证明）（3）某地有四个村庄 E，F，G，H（其位置如图 2 所示），现拟建一个电视信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此中转站应建在何处？请说明理由
