线性代数知识点总结.docx

1、1线性代数知识点总结第一章 行列式第一节：二阶与三阶行列式把表达式 称为 所确定的二阶行列式，并记作 ，1212a12a12a即 结果为一个数。 （课本 P1）121212.D同理，把表达式 称为由数123123123123123123,aaaa表 所确定的三阶行列式，记作 。1233a 21233a即 =1213323123123123123123,a aa二三阶行列式的计算：对角线法则（课本 P2，P3）注意：对角线法则只适用于二阶及三阶行列式的计算。利用行列式计算二元方程组和三元方程组：对二元方程组 121axb设 120Da12aDb12.b则 ， （课本 P2）12121bxa122

2、1.xa对三元方程组 ，12323xbxa设 ，121330aD2， ， ，12133baD113223abD12133abD则 ， ， 。 （课本上没有）1x2x注意：以上规律还能推广到 n 元线性方程组的求解上。第二节：全排列及其逆序数全排列：把 个不同的元素排成一列，叫做这 个元素的全排列（或排列） 。nnn 个不同的元素的所有排列的总数，通常用 Pn (或 An)表示。 （课本 P5）逆序及逆序数：在一个排列中，如果两个数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么称它们构成一个逆序，一个排列中，逆序的总数称为这个排列的逆序数。排列的奇偶性：逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序

3、数为偶数的排列称为偶排列。（课本 P5）计算排列逆序数的方法：方法一：分别计算出排在 前面比它大的数码之和即分别算出1,2,n这 n 个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数。1,2,方法二：分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数。 （课本上没有）第三节：n 阶行列式的定义定义：n 阶行列式 等于所有取自不同行、不同列的 n 个元素的乘121212 nnnaaD积的代数和，其中 p1 p2 pn 是 1， 2， ，n 的一个排列，每一项的符号由12nppa其逆序数决定。 也可简记1 1222

4、2120tnnnnaaDaa 为 ，其中 为行列式 D 的（i ，j 元） 。 （课本 P6）detijaij根据定义，有 12121212112 nnnntppppnnaa3说明：1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;2、 n 阶行列式是 项的代数和 ;!3、 n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 n 个元素的乘积 ;4、 的符号为 ，t 的符号等于排列 的逆序数12nppa 112,.np5、一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆。a推论 1：上，下三角行列式的值均等于其主对角线上各元素的乘积 。即 1211222120ntnnnnaD

5、aaa 推论 2：主对角行列式的值等于其对角线上各元的乘积，副对角行列式的值等于乘以其副对角线上各元的乘积。1n即 ， （上述二推论1212nn 1122nn证明课本 P7 例 6）第四节：对换定义：在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换。将相邻两个元素对调，叫做相邻对换。 （课本 P8）定理 1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数。（上述二定理证明课本 P8）定理 2 n 阶行列式 的项可以写为 ，其det()ijDa121212()()nnntqtpqpqpa 中 q1

6、q2qn 是行标排列，p 1p2 pn 是列标排列 。 （证明课本 P9）推论 设有 n 阶行列式 ，则 或t()ij 1212()nntqqD 或 （行列121212()() nnntqtpqpqpa1212()nntppa 式三种不同表示方法）推论 在全部 阶排列中 ，奇偶排列各占一半。证明 设在全部 阶排列中有 个奇排列， 个偶排列，现来证 。nstst将 个奇排列的前两个数对换，则这 个奇排列全变成偶排列，并且它们彼此不同，s s4所以 。st若将 t 个偶排列的前两个数对换，则这 个偶排列，全变成奇排列，并且它们彼此t不同，于是有 。综上有 s=t。s第五节：行列式的性质定义 记 ，

7、 ，行列式 称为行列式121212nnnaaD 121212nTnnaD TD的转置行列式。性质 1 行列式与它的转置行列式相等。 （证明课本 P9）说明 行列式中行与列具有同等地位，因此凡是对行成立的行列式的性质的对列也成立。性质 2 互换行列式的两行 或列 ，行列式变号。 （证明课本 P10） ijrijc推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。性质 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 ，等于用数 乘此行()jkrk列式；推论 1 的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到 的外面;DD推论 2 中某一行（列）所有元素为零，则 。=0性质 4 行列式中如果有两行（

8、列）元素成比例，则此行列式为零 （证明课本 P10）性质 5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则12112212()()iinnniinaaaD 11121121222212i innnni nninaaaa 性质 6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行) 对应的元素上去，行列式的值不变。 （课本 P11）计算行列式常用方法：利用定义；利用运算 把行列式化为上三角形行列式，从 ijrk而算得行列式的值。说明 行列式中行与列具有同等的地位，行列式的 6 个性质凡是对行成立的对列也同样成立。第六节 行列式按行（列）展开5余子式 在 阶行列式中，把元素 所在的第 行

9、和第 列划去后，留下来的 阶行列nijaij 1n式叫做元素 的余子式，记作 。ijaijM代数余子式 ，叫做元素 的代数余子式。 （课本 P16）1ijijiA记 ij引理 一个 阶行列式，如果其中第 行所有元素除（i，j） 元外 都为零，那么n (,)ijija这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即 。 （证明课本 P16）ijaijDaA定理 阶行列式 等于它的任意一行（列）的各元素与其对应n121212 nnnaD的代数余子式的乘积之和，即 ，12iiinaAaA (1,2)in， 。 （证明课本 P17）12jjnjaA或 (,)j扩展 范德蒙德(Vandermonde)行列式 的

10、证1221112() nn ijijnnxxDx明见课本 P18展开定理推论 阶行列式 的任意一行（列）的各元素与另一n121212 nnnaaD行（列）对应的代数余子式的乘积之和为零，即 120()isisinsaAaAis（证明课本 P19）120()jtjtnjtaAaAjt或第七节 克拉默法则如果线性方程组 的系数行列式不等于零，121212 nnnxxbaa6即 ，那么该方程组有唯一解1212120 nnnaaD其中 Di 是用非齐次项代替 D 中第 i 列元素后所31,nDxxx得的行列式。 （证明课本 P53，第二章）注意 克拉默法则只适用于方程个数与未知量个数相等的情形。定理

11、4 如果线性方程组(1)的系数行列式 D0，则(1) 一定有解，且解是唯一的。逆否定理 如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。定理 5 若齐次线性方程组 的系数行列式 ，则其121212.0.nnnaxax 0D次线性方程组没有非零解。 （即解唯一，只有零解）逆否定理 如齐次方程组有非零解，则它的系数行列式 D 必为零。 （课本 P25）7第二章 矩阵第一节 矩阵定义 由 个数 排成的 行 列的数表mn1,2;1,2ijamjn mn称为 m 行 n 列矩阵。简称 矩阵，记作121212nmaa ，简记为 ，11221nmmnAaa mnijijnAa。,nA这 个

12、 数 称 为 的 元 素 简 称 为 元说明 元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。扩展 几种特殊的矩阵：方阵 ：行数与列数都等于 n 的矩阵 A。 记作：A n。行(列)矩阵：只有一行(列) 的矩阵。也称行( 列)向量。同型矩阵：两矩阵的行数相等，列数也相等。相等矩阵：AB 同型, 且对应元素相等。记作：AB零矩阵：元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵不同）对角阵：不在主对角线上的元素都是零。单位阵：主对角线上元素都是 1，其它元素都是 0，记作： En(不引起混淆时，也可表示为 E )（课本 P29P31）注意 矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计

13、算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同。第二节 矩阵的运算矩阵的加法 设有两个 矩阵 ，那么矩阵 与 的和记作 ，mnijijAaBb和 AB8规定为11212 212nmmnmababAB 说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。 （课本 P33）矩阵加法的运算规律；1AB2C， 称为矩阵121213,() nij ijmnmn mmnaaAaA 设 矩 阵 记 A的 负 矩 阵。 （课本 P33）40,ABA数与矩阵相乘 ,A数 与 矩 阵 的 乘 积 记 作 或 规 定 为 12121, nmmnaaA 数 与 矩 阵 的 乘 积 记 作 或 规 定 为数

14、乘矩阵的运算规律（设 为 矩阵， 为数）B、 mn,；1A；2。 （课本 P33）3B矩阵相加与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。矩阵与矩阵相乘 设 是一个 矩阵， 是一个 矩阵，那么规定矩(b)ijms(b)ijBsn阵 A 与矩阵 B 的乘积是一个 矩阵 ，其中n(c)ijC9，121212jiisijijisjjbaaba 1sikjb,2;1,imjn ，并把此乘积记作 CAB注意1。 A 与 B 能相乘的条件是：A 的列数B 的行数。2。矩阵的乘法不满足交换律，即在一般情况下， ，而且两个非零矩阵的AB乘积可能是零矩阵。3。对于 n 阶方阵 A 和 B，若 AB=BA，则称 A 与 B

15、是可交换的。矩阵乘法的运算规律；1C2，3ABABCA4mnmnE若 A 是 n 阶方阵，则称 Ak 为 A 的 k 次幂，即 ，并且5 kA个， 。规定：A 0Emkkkm,为 正 整 数注意 矩阵不满足交换律，即 ， （但也有例外） （课本 P36）ABkkB纯量阵 矩阵 称为纯量阵，作用是将图形放大 倍。且有0E ，A 为 n 阶方阵时，有 ，表明纯量阵与()()A()(E)nnnAA任何同阶方阵都是可交换的。 （课本 P36）转置矩阵 把矩阵 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作 ，如 ， 。1245814258T转置矩阵的运算性质；1TA；2TB10；3TA。 （课

16、本 P39）4B方阵的行列式 由 阶方阵 的元素所构成的行列式，叫做方阵 的行列式，记作nAA或 （记住这个符号）det注意 矩阵与行列式是两个不同的概念，n 阶矩阵是 n2 个数按一定方式排成的数表，而n 阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数。运算性质；1TA；2n（课本 P40）(3)BAB对称阵 设 A 为 n 阶方阵，如果满足 A=AT ，即 那么 A 称为对,12,ijjian称阵。说明 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等，如果 则称矩阵 为反对TA称的。即反对称矩阵 A=（a ij）中的元素满足 aija ji，i，j=1，2 ，n伴随矩阵 行列式 的各个元素的代数

17、余子式 所构成的如下矩阵ij称为矩阵 A 的伴随矩阵。121212nnnA 性质 （易忘知识点） （课本 P41）AE共轭矩阵 （略） （课本 P42）总结（1 ）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。（2 ）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律。（3 ）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同。第三节 逆矩阵定义 对于 n 阶矩阵 A，如果有一个 n 阶矩阵 B,使得 ABBA E 则说矩阵 A 是可逆的，并把矩阵 B 称为 A 的逆矩阵。 ， 。1A的 逆 矩 阵 记 作 1即说明1 A ，B 互为逆阵， A = B-12 只对方阵定义逆阵。