1、2012年现代控制理论考试试卷一、 （10分，每小题1分）试判断以下结论的正确性，若结论是正确的，（ ）1. 由一个状态空间模型可以确定惟一一个传递函数。（ ）2. 若系统的传递函数不存在零极点对消，则其任意的一个实现均为最小实现。 （ ）3. 对一个给定的状态空间模型，若它是状态能控的，则也一定是输出能控的。（ ）4. 对线性定常系统 ，其Lyapunov意义下的渐近稳定xA性和矩阵A的特征值都具有负实部是一致的。 （ ）5.一个不稳定的系统，若其状态完全能控，则一定可以通过状态反馈使其稳定。（ ）6. 对一个系统，只能选取一组状态变量； （ ）7. 系统的状态能控性和能观性是系统的结构特性
2、，与系统的输入和输出无关； （ ）8. 若传递函数 存在零极相消，则对应的1()GsCIAB状态空间模型描述的系统是不能控且不能观的； （ ）9. 若一个系统的某个平衡点是李雅普诺夫意义下稳定的，则该系统在任意平衡状态处都是稳定的； （ ）10. 状态反馈不改变系统的能控性和能观性。二、已知下图电路，以电源电压 u(t)为输入量，求以电感中的电流和电容中的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻 R2 上的电压为输出量的输出方程。 （10 分）解：（1）由电路原理得： 1122121LLcLLccLdiRiutiidtuiit22Ri1 12 21 120010L Lc ci iRuuuc AA1
3、2 220LRciuu二 （10 分）图为 R-L-C 电路，设 为控制量，电感 上的支路电流uL和电容 C 上的电压 为状态变量，电容 C 上的电压 为输出量，试2x 2x求：网络的状态方程和输出方程，并绘制状态变量图。解：此电路没有纯电容回路，也没有纯电感电路，因有两个储能元件，故有独立变量。以电感 上的电流和电容两端的电压为状态变量，即令：L，由基尔霍夫电压定律可得电压方程为：12,Lcixu2210RCx1()Lu从上述两式可解出 ， ，即可得到状态空间表达式如下：1x2121212()RxLC 2112122()()RxRLLuC= +21y21210R1xuR20三、 （每小题 1
4、0 分共 40 分）基础题（1）试求 的一个对角规范型的最小实现。 （10 分）32yu4 分223()(1)112YsssUs不妨令， 2 分1()2Xs()1Xs于是有 12xu又 ，所以 ，即有12()()XsYsUU12()()YsUXs2 分12yux最终的对角规范型实现为 122xyu则系统的一个最小实现为：2 分01, 1uyxxx+u（2）已知系统 ，写出其对偶系统，判01, 1223uyxx断该系统的能控性及其对偶系统的能观性。 （10 分）解答：2 分0213ux2 分1y562, 33CrankUbArank 系 统 状 态 完 全 能 控 分 则 对 偶 系 统 能 观
5、 分（3）设系统为 1011, (0)2ttutxxx试求系统输入为单位阶跃信号时的状态响应（10 分） 。解 .3 分20ttet.3 分0()()()dtt uxB.2 分22011dtt tt tee .1 分220dtttte.1 分22211=tt tttee（4）已知系统 试将其化为能控标准型。 （10 分）ux10解： ， .2 分 12cu112c.1 分 111 21200cpu.1 分 11222A.2 分 112,P能控标准型为 .4 分ux0四、设系统为 1 1 12 2 23 3 34 4 400,05xxxuy 试对系统进行能控性及能观测性分解，并求系统的传递函数。
6、 （10分）解：能控性分解： 11 22 33 44123405-,400xxuxy （ 分 ）能观测性分解：11 22 33 44 123405-0,40xxuxy （ 分 ）传递函数为 45()()3gss 分五、试用李雅普诺夫第二法，判断系统 的稳定性。01xx（10 分）方法一：解： 21x原点 是系统的唯一平衡状态。选取标准二次型函数为李雅=0ex普诺夫函数，即 0)(21xv 221212 )(xxx当 ， 时， ；当 ， 时， ，因此01x2)(v00)(v为负半定。根据判断，可知该系统在李雅普诺夫意义下是稳定)(v的。另选一个李雅普诺夫函数，例如： 122111223()()=
7、xvxxxx 为正定，而 )(2)() 2121121 xxxxv 为负定的，且当 ，有 。即该系统在原点处是大范围(V渐进稳定。方法二：解：或设 12pP则由 得 TAI12120010pp1122130 pp1231pP121 33520 detdet0124pP可知 P 是正定的。因此系统在原点处是大范围渐近稳定的六、 （20 分）线性定常系统的传函为 ()42)(1YsUs（1）实现状态反馈，将系统闭环的希望极点配置为 ，求反,3馈阵 。 （5 分）K（2）试设计极点为 全维状态观测器（5 分） 。（ -10,）（3）绘制带观测器的状态反馈闭环系统的状态变量图（4 分）（4）分析闭环前
8、后系统的能控性和能观性（4 分）注明：由于实现是不唯一的，本题的答案不唯一！其中一种答案为：解：（1） 2()44)(13YssUs系统的能控标准型实现为： 1 分010,41XuyX系统完全可控，则可以任意配置极点1 分令状态反馈增益阵为 1 分12Kk则有 ，则状态反馈闭环特征多项式为2103ABk2()()I k又期望的闭环极点给出的特征多项式为： 2(4)371ss由 可得到 3 分2 212(3)()71ks10K（2）观测器的设计：由传递函数可知，原系统不存在零极点相消，系统状态完全能观，可以任意配置观测器的极点。1 分令 1 分12TEe由观测器 可得其期望的特征多项式为: ()xACxBuEy21212()det(43)(04)fsIee*10)(04 分* 95()3TfsfE（3）绘制闭环系统的模拟结构图第一种绘制方法：()xAECxBuy 14103329586041133 ()86095xAECxBuyxuy s14s14s132s1u1xyyx 2 1x x2x1 04v 58343234 分（注：观测器输出端的加号和减号应去掉！不好意思，刚发现！）第二种绘制方法： 1013() ()2395xABuEyxuy
