1、 函数专题四 1第 1 页恒成立、能成立问题专题一、基础理论回顾1、恒成立问题的转化： 恒成立 ；afxmaxfminfafx恒 成 立2、能成立问题的转化： 能成立 ；in ax能 成 立3、恰成立问题的转化： 在 M 上恰成立 的解集为 MafxfxRafxMC在 上 恒 成 立在 上 恒 成 立另一转化方法：若 在 D 上恰成立，等价于 在 D 上的最小值Axf)(, )(xf，若 Axf)(min在 D 上恰成立，则等价于 在 D 上的最大值 .,Bf)( )(xf Bf)(max4、设函数 、 ，对任意的 ，存在 ，使得 ，则xfgbax,1dc,221gffminin5、设函数 、
2、 ，对任意的 ，存在 ，使得 ，则xfgbax,1dcx,221xgffmaax6、设函数 、 ，存在 ，存在 ，使得 ，则fx,1cx,221xfgxfmina7、设函数 、 ，存在 ，存在 ，使得 ，则fxba,1dcx,221xgfgxfmain8、若不等式 在区间 D 上恒成立，等价于在区间 D 上函数 和图象在函fxg yfx数 图象上方；y9、若不等式 在区间 D 上恒成立，等价于在区间 D 上函数 和图象在函fx yfx数 图象下方；yg函数专题四 2第 2 页二、经典题型解析题型一、简单型例 1、 已知函数 ， ，其中 ， 12)(axxf xag)(0x1）对任意 ，都有 恒
3、成立，求实数 的取值范围；（构造新函数）,1fa2）对任意 ，都有 恒成立，求实数 的取值范围；（转化）4,2x)(21f简解：（1）由 成立，只需满足 的最小值大于120123xaxax 12)(3x即可对 求导， ，故 在 是增函数，a)(230)()24)(,，所以 的取值范围是 1)(minxa30a例 2、 设函数 ，对任意 ，都有 在 恒成立，求实数bxh)( 2,110)(xh,4的范围b分析：思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数以本题为例，实质还是通过函数求最值解决方法 1：化归最值， ；10)(10)(maxhx方法 2：变量分离， 或 ；bxb)(2方
4、法 3：变更主元（新函数） ， ，011)(ax2,1a简解：方法 1:对 求导， ， （单调函数）bxah)( 22)()(xh由此可知， 在 上的最大值为 与 中的较大者)(x1,4)41(函数专题四 3第 3 页，对于任意 ，得 的取值范围是 abah94310410)(4 2,1ab47b例 3、 已知两函数 ， ，对任意 ，存在 ，使得2)(xfmgx1)( ,01x2,1x，则实数 m 的取值范围为 21)(xgf答案： 4题型二、更换主元和换元法例 1、 已知函数 是实数集 上的奇函数，函数 是()ln()(xfxea为 常 数 ） R()singxfx区间 上的减函数，()求
5、的值；()若 上恒成立，求 的取值, 2()1,1gxttx在 t范围；()分析：在不等式中出现了两个字母： 及 ,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另t一个作为常数。显然可将 视作自变量，则上述问题即可转化为在 内关于 的一次函数 ,1大于等于 0 恒成立的问题。()略解：由()知： ， ， 在 上单调()fx()singxx()g1，递减， 在 上恒成立， ， 只需()cos0gxxcosx1， 1， max(1)si， （其中 ）恒成立，由上述结论：可令2sin1t2(1)in0tt,则 ， ，而 恒成立，2()sin0(ftt） 2t1sin021sin0t2sin10t。1t例 2
6、、 已知二次函数 对 恒有 ，求 的取值范围。1)(2xaf 2,00)(xfa解： 对 恒有 即 变形为,0x0)12a当 时对任意的 都满足 只须考虑 的情况)(xfx即 要满足题意只要保证 比右边的最大值大就行。2)1(xa21a现求 在 上的最大值。令 ,021txt 41)2()(2ttg函数专题四 4第 4 页（ ）21t所以43)21()(maxgt 43a又 是二次函数 所以 且f 043a0例 3、 对于满足 0 a 4 的所有实数 a 求使不等式 都成立的 x 的取值范围2ax答案： 或1x3题型三、分离参数法（欲求某个参数的范围，就把这个参数分离出来）此类问题可把要求的参
7、变量分离出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧看成新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题：若对于 取值范围内的任一个数都有 恒成x()fxga立，则 ；若对于 取值范围内的任一个数都有 恒成立，则min()gafxx()fxga.af例 1、 当 时，不等式 恒成立，则 的取值范围是 .,2x240xm解析: 当 时，由 得 . .(,)m24x5例 2、 已知函数 （ 为常数）是实数集 上的奇函数，函数ln()xfeaR在区间 上是减函数.()cosgxx2,3（）求 的值与 的范围；a（）若对（）中的任意实数 都有 在 上恒成立，求实数 的取值范围.()1gxt2,3t（）若 ，试讨论关于
8、 的方程 的根的个数.0mx2ln()emf解：（） 、 （）略（）由题意知，函数 在区间 上是减函数.()cosgxx2,3函数专题四 5第 5 页在 上恒成立max1()(),32g()1gxt2,31,32t12t,.3t题型四、数形结合（恒成立问题与二次函数联系（零点、根的分布法） ）例 1、 若对任意 ,不等式 恒成立，则实数 的取值范围是_xR|xaa解析： |yx|yxaaxO对 ,不等式 恒成立、则由一次函数性质及图像知 ，即 。xR|xa 1a1a例 2、 不等式 在 内恒成立，求实数 a 的取值范围。)4(3,0x解：画出两个凼数 和 在 上的图象ay)4(3,0x如图xy
9、0 3axy知当 时 ，3a3xy当 时总有 所以,0)4(xa3a函数专题四 6第 6 页|yx|yxaaxO例 4、 已知函数 若不等式 恒成立，则实数 的取值范36,2(),xyf()2fxmm围是 .解：在同一个平面直角坐标系中分别作出函数及 的图象，由于不等式 恒2yxm()yfx()2fxm成立，所以函数 的图象应总在函数 的图2y象下方，因此，当 时， 所以 故 的取值范围是x40,y4, 4,.题型五、其它（最值）处理方法若在区间 D 上存在实数 使不等式 成立,则等价于在区间 D 上 ；xfxAmaxfA若在区间 D 上存在实数 使不等式 成立,则等价于在区间 D 上的 .B
10、inB利用不等式性质1、存在实数 ，使得不等式 有解，则实数 的取值范围为_。x2313xaa解：设 ，由 有解， ，31f2f 2minafx又 ， ，解得 。314xx234a41或2、若关于 的不等式 恒成立，试求 a 的范围x解：由题意知只须 a 比 的最小值相同或比其最小值小即可，得32min)3(xa由 所以 5)(2x5aOxy()fx2函数专题四 7第 7 页利用分类讨论1、已知函数 在区间-1，2 上都不小于 2，求 a 的值。42)(axxf解：由函数 的对称轴为 x=a所以必须考察 a 与-1，2 的大小，显然要进行三种分类讨论1） 当 a 2 时 f(x)在-1，2上是
11、减函数此时 = f(2)=4-4a+4min)(xf 2即 a 结合 a 2，所以 a 232） 当 a 时 f(x)在-1，2上是增函数，此时 f(-1)=1+2a+41= f(-1)=1+2a+4 结合 a 即 a min)(xf 1233） 当-1a2 时 = f(a)= in)(xf 42x即 a 或 a 所以2综上 1，2 ， 3 满足条件的 a 的范围为：a 或 a23利用导数迂回处理1、已知 若当 时 在0，1恒成立，求实数)lg()(xf )2lg(tx1,0)(xgft 的取值范围解： 在0，1 上恒成立，即 在0，1上恒成立)(xgf 021tx即 在0，1 上的最大值小于
12、或等于 0021t令 所以xxF)(，又 所以 即 在0，1上单调递减12412 1,0x0)(xF)(x所以 ，即 得 )0(max)()(tF1t2、已知函数 存在单调递减区间，求 的取值范围2ln0faxa解： 因为函数 存在单调递减区间，所以f2110xfx函数专题四 8第 8 页有解.即 能成立, 设 .0,210ax21ux由 得, .于是, ,uxxmin1ux1a由题设 ,所以 a 的取值范围是00,3、已知函数 3()ln),(.afxgx（）当 时，求 的单调区间；2mf（）若 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.3()xfa解：（）略（）当 时，不等式 即 恒成立.由
13、于 ，2m()gxf33(ln)2axx0x，亦即 ，所以 .令 ，则231ln3ax21lna21l()h21ln)，由 得 .且当 时， ；当 时， ，即36()h()0hx0x()0x()0hx在 上单调递增，在 上单调递减，所以 在 处取得极大值 ，也x0, 1,)1312就是函数 在定义域上的最大值.因此要使 恒成立，需要 ，所以 的取()h 23(ln)xaaa值范围为 .3,2注：恒成立问题多与参数的取值范围问题联系在一起，是近几年高考的一个热门题型，往往与函数的单调性、极值、最值等有关。小结：恒成立与有解的区别：不等式 对 时恒成立 ， 。即 的上界小于或等于 ；fxMImax
14、()fMxIfxM不等式 对 时有解 ， 。 或 的下界小于或等于 ；f inf f不等式 对 时恒成立 ， 。即 的下界大于或等于 ；fxImin()fxIfx函数专题四 9第 9 页不等式 对 时有解 ， .。 或 的上界大于或等于 ；fxMImax()fMxIfxM函数专题四 10第 10 页三、恒成立、能成立问题专题练习1、已知两函数 ， 。278fxxc3240gxx（1）对任意 ，都有 )成立，求实数 的取值范围；3,fc（2）存在 ，使 成立，求实数 的取值范围；,xfxg（3）对任意 ，都有 ，求实数 的取值范围；12,3,12fxc（4）存在 ，都有 ，求实数 的取值范围；12,x12fg2、设 ，若对于任意的 ，都有 满足方程 ，这时 的1a,2xa2,yalogl3aaxya取值集合为（ ）（A） （B） （C） （D）2|3|2,3、若任意满足 的实数 ，不等式 恒成立，则实数 的最大值053xy,xy22()()axya是 _ . 4、不等式 有解，则 的取值范围是 2sin4si10xaa5、不等式 在 内恒成立，求实数 a 的取值范围。a,3x6、设函数 .321() (01,)fxaxbaR（）求函数 的单调区间和极值；f（）若对任意的 不等式 成立，求 a 的取值范围。,2,1axfx
