1、考研 VIP 只为更出众1 / 142017考研数学模拟测试题完整版及答案解析（数三）一、选择题：18 小题，每小题 4分，共 32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号中。（1） 是在 内单调增加的连续函数，对任何 ，记 ，()fx0,)0ba()baMxfd，则必有（ ）(2baNdfxd（A） ；（B） ；（C） ；（D） ；MNM2N（2）设函数 在 内连续，在 内可导，函数 的图()fx,)(,0)(,)()yx像为则其导数的图像为（ ）yxOyxO(A) (B) yxOyxOxyO考研 VIP 只为更出众2 / 14(C) (D)(3)设
2、有下列命题：若 收敛，则 收敛； 若 收敛，则 收敛；21()nu1nu1nu10nu若 ，则 发散； 若 收敛，则 ， 收敛1limn1n 1()nv1n1nv正确的是（ ）（A）（B）（C）（D）(4)设 ，则（ ）220ln(1)ixaxb（A） ；（B） ；（C） ；（D）5,ab0,50,2ab1,2ab(5)设 是 阶矩阵，齐次线性方程组（I） 有非零解，则非齐次线性方程组（II）nAx，对任何Tx12(,)Tnb（A）不可能有唯一解； （B）必有无穷多解；（C）无解； （D）可能有唯一解，也可能有无穷多解(6)设 均是 阶可逆矩阵，则行列式 的值为,n102TAB（A） ； （B
3、） ； （C） ； （D）1(2)T 12()nAB(7)总体 ， 为来自 的样本， 为样本均值，则（ ）(,4)XN12,nX X（A） ； （B） ；1()nii 21()(1)nii n（C） ； （D） ；21()()nii 21()()nii(8)设随机变量 相互独立且均服从正态分布 ，若概率,XY2,N则（ ）()2Pab（A） ；（B） ；（C） ；（D） ；1,1,ab1,2ab1,2ab考研 VIP 只为更出众3 / 14二、填空题：914 小题，每小题 4分，共 24分。把答案填在题中的横线上。(9)已知 ， ，则 。32xyf2()arcsinfx0xdy(10) 方程
4、满足 的特解为 。3001()xftdft()f(11) 。其中 为 。2DyabD21xy(12) 。24610()!3!xdx(13)设 是三阶矩阵，已知 ， 与 相似，则 的A0,2,30AEAEBA相似对角形为 。(14) 设 10件产品中有 4件不合格品，从中任取两件，已知所取的两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为 。三、解答题 1523小题，共 94分。解答应写文字说明、证明过程或验算步骤。(15)（本题满分 10分）设函数 具有二阶连续偏导数，且满足等式(,)ufxy。确定 的值，使等式在变换 下简化为222430uxy,ab,xayb。20(16) （本题满
5、分 10分）求幂级数 的收敛域及其在收敛域内的和函数；1()nnx(17) （本题满分 10分）设 在 连续，且 ， 。)f0,10()2fxd()lim0xf证明：至少 ，使得 。0,(18) （本题满分 10分）过椭圆 上任一点作椭圆的切线，试求诸切线2231xy与两坐标轴所围成的三角形面积的最小值。(19) （本题满分 10分）设 ，其中 在 处二阶可()0xfegxab()fx0考研 VIP 只为更出众4 / 14导，且 。(0)1f（I） 、 为何值时 在 处连续？ab()gx0（II） 、 为何值时 在 处可导？(20) （本题满分 11分）(21)（本题满分 11分）设 为三阶方
6、阵， 为三维线性无关列向量组，且有A123,， ， 。求123A213（I）求 的全部特征值。 （II） 是否可以对角化？（22） （本题满分 11分）设 为相互独立的随机事件，已知 ，且,AB()01)PApA发生 不发生与 发生 不发生的概率相等，记随机变量B1, 1, Y 00AABX若 发 生 ； 若 发 生 ；， 若 不 发 生 .， 若 不 发 生 .（I）求 的联合分布律；(,)Y（II）在 的条件下，求 的条件分布律；（）计算 .XY（23） （本题满分 11分）设两随机变量 在区域 上均匀分布，其中(,)XYD，又设 ， ，试求：(,):1DxyUV（I） 与 的概率密度 与
7、 ；UV()fuVfv（II） 与 的协方差 和相关系数co,UV考研 VIP 只为更出众5 / 14数三参考答案二、选择题：18 小题，每小题 4分，共 32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号中。（1） A解：设 ，则0()(),xFftd0 ()()ba bafdFFxd 0()()x bxa atfxftff2()bf d所以， 001()()bbaaMxfdfxfxdN(2)B解：由于函数可导（除 ）且取得两个极值，故函数有两个驻点，即导函数图像与 轴 x有且仅有两个交点，故 A，C 不正确。又由函数图像，极大值应小于极小值点，故 D不正
8、确。(3)B解：因级数 是 删除前 1000项而得，故当 收敛时，去掉有限项依然收10nu1n 1nu敛，因此 收敛，10n若 ，则存在正整数 ，使得 是， 不变号。若 ，有正项级数的1limnuNnnu0nu比值判别法知 发散。同理可知，如果 ，则正项级数 发散，因此nN0n()nN发散。故正确，选 BnNu（4）A考研 VIP 只为更出众6 / 14解： ，因 ，则220 0ln(1)1/()2)imlimx xababxx0limx，故 。而li/()x，故 ，所以220 0n1ln(1)li ix xbxbx12b52b【也可以用泰勒公式计算】（5）A解： 有非零解，充要条件是 ，由此
9、即可找到答案。0x()rAn（6）D解： = =120TAB 11202TTBB 12()nA（7）C解：由于 ，所以2(,)iXN(0,)iXN故 ，21i2nii n（8）B因为 服从正态分布，股根据题设 知，aXbY 1()2PaXbY，从而有 ，显然只有（B）满足要()()()EbEY求。二、填空题：914 小题，每小题 4分，共 24分。把答案填在题中的横线上。（9）应填 。32解：由 ， 得xyf2()arcsinfx2 22331arcsin()()ri()()dxxxAA01ri4xy考研 VIP 只为更出众7 / 14(10)应填 ()21)xfxe解：令 ，原方程变为tu
10、30001()()()xxfudfuftd方程两边对 求导得x20()xf再两边对 求导得 ，即f2yxd(2)2(1)dxdxyeCx由 得 ，故0) xyfe(11)应填 21()4ab222()DDxyxyddab221()()ab1320dr1()4ab(12)应填 12e解：因 246223()()()1!3!xxxxe 故 原式 222111 1000()xxxedeee(13)应填 【形式不唯一，只要是对角线上为-1，-2，-3 就对】3解：由 ，知 的特征值为 ，0,2,0AEAE1123,相似矩阵具有相同的特征值，所以 的特征值也为 ，故 相似B123, B的标准形为123考
11、研 VIP 只为更出众8 / 14(14)应填 0.2解：设 A：“所取的两件产品中至少有一件事不合格品” ，B：“所取的两件都是不合格品”因为 ，2610()1()(/)3PC2410()/)5PC所以 ()5ABP三、解答题 1523小题，共 94分。解答应写文字说明、证明过程或验算步骤。(15) （本题满分 10分）解： ，222,uuuxx，2222,uuababyy2222()ux将以上各式代入原等式，得，2 222 2(341)64()(341)0uuuaabb由题意，令且20,341b64()20ab故,3a或(16) （本题满分 10分）解：（I）由于 ，所以 ，即 ，lim1
12、n1x02x当 和 时幂级数变为 及 ，均发散，故原级数的收敛域为0x21()n1n (,)设 111()()()()()nnnsxxs考研 VIP 只为更出众9 / 14则 ， 111()()()2xnnxsdx所以 ，则1 2()2()xx21()s(17) （本题满分 10分）证明：作函数 ，有Fxf。111000()()()02Fxdfxdf所以由积分中值定理，存在 ，,a使 即 。10()(xF()又 ，所以，由极限的保号性，存在 ，limli1xxfba使 ，即 。()Fb()0b因此，由介值定理，至少存在一个 ，使 ，即 。,(0,)ab()0F()f(18) （本题满分 10分
13、）解：设 为所给椭圆上任一点，则可求得在 处的切线方()xy ,xy程为(3)(3)0xyXxY它与两坐标轴的交点为 和 。,yx(3),xy所以切线与坐标轴围成的三角形面积为 1(3)()1232(3)xyxyS xy则只须求 在条件 下的极值即可。()设 22,()1Fxyyxxy由 22610063yx 解得 或 。,41,2x考研 VIP 只为更出众10 / 14由此分别求的 或14S2所以诸切线与坐标轴所围成的三角形面积的最小值为 14(19) （本题满分 10分） 解：（I）000()()lim()lilim1xxxxxfefeg lili()xxab若要 在 处连续，必须 ，即()g00li()li()xxgg 1b故 ， 为任意实数时， 在 处连续。1ba（II）若要 在 处可导，则必须 在 处连续（ ） ，且()gx()gx1b(0)所以 200()()(1)limlixxxfeg2000()()()1lililim112x xxxxxfefffeef 0(1)()limxaga 所以 ， 时， 在 处可导12fb()gx0(20) （本题满分 11分）解：
