1、点、线、面的位置关系 知识梳理（一）.平面公理 1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。公理 2：不共线的三点确定一个平面. 推论 1：直线与直线外的一点确定一个平面. 推论 2：两条相交直线确定一个平面. 推论 3：两条平行直线确定一个平面. 公理 3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线（二）空间图形的位置关系1.空间直线的位置关系：相交，平行，异面1.1 平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。1.2 等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。1.3 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两
2、条直线异面直线；1.4 异面直线所成的角：（1）范围： ；（2）作异面直线所成的角：平移法.0,92.直线与平面的位置关系： 包含，相交，平行3.平面与平面的位置关系：平行，相交（三）平行关系（包括线面平行，面面平行）1.线面平行：定义：直线与平面无公共点.判定定理： 性质定理：/ab/ab2.线面斜交： 直线与平面所成的角（简称线面角）：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角。范围： 0,93.面面平行：定义： ；/判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行；符号表述： ,/abOab判定 2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述
3、： .,/a面面平行的性质：（1） ；（2）/a/b（四）垂直关系（包括线面垂直，面面垂直）1.线面垂直定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。符号表述：若任意 都有 ，且 ，则 .,alall判定： 性质：（1）,bOllalb ,lal；（2） ；,/b3.2 面面斜交二面角：（1）定义：【如图】 ,OBlAlOBl二范围： 0,18AOB作二面角的平面角的方法：（1）定义法；（2）三垂线法（常用） ；（3）垂面法.3.3 面面垂直（1）定义：若二面角 的平面角为 ，则 ；l90（2）判定定理： a（3）性质：若 ，二面角的一个平面角为 ，则 ；MON90aABa
4、 热点例析【例 1】热点一 有关线面位置关系的组合判断若 a， b 是两条异面直线， ， 是两个不同平面， a ， b ， l，则( )A l 与 a， b 分别相交B l 与 a， b 都不相交C l 至多与 a， b 中一条相交D l 至少与 a， b 中的一条相交解析：假设 l 与 a， b 均不相交，则 l a， l b，从而 a b 与 a， b 是异面直线矛盾，故 l 至少与 a， b 中的一条相交选 D.热点二 线线、线面平行与垂直的证明【例 2】如图，在四棱台 ABCD A1B1C1D1中， D1D平面 ABCD，底面 ABCD 是平行四边形，AB2 AD， AD A1B1，
5、BAD60.(1)证明： AA1 BD；(2)证明： CC1平面 A1BD(1)方法一：因为 D1D平面 ABCD，且 BD平面 ABCD，所以 D1D BD.又因为 AB2 AD， BAD60，在 ABD 中，由余弦定理得BD2 AD2 AB22 ADABcos 603 AD2，所以 AD2 BD2 AB2.所以 AD BD.又 AD D1D D，所以 BD平面 ADD1A1. 又 AA1平面 ADD1A1，故 AA1 BD.方法二：因为 D1D平面 ABCD，且 BD平面 ABCD(如图)，所以 BD D1D.取 AB 的中点 G，连接 DG(如图)在 ABD 中，由 AB2 AD 得 A
6、G AD.又 BAD60，所以 ADG 为等边三角形，因此 GD GB，故 DBG GDB.又 AGD60，所以 GDB30，故 ADB ADG GDB603090，所以 BD AD.又 AD D1D D，所以 BD平面 ADD1A1.又 AA1平面 ADD1A1，故 AA1 BD.(2)如图，连接 AC， A1C1.设 AC BD E，连接 EA1.因为四边形 ABCD 为平行四边形，所以 EC AC.12由棱台定义及 AB2 AD2 A1B1知 A1C1 EC 且 A1C1 EC，所以四边形 A1ECC1为平行四边形因此 CC1 EA1.又因为 EA1平面 A1BD， CC1 平面 A1B
7、D，所以 CC1平面 A1BD.热点三 面面平行与垂直的证明【例 3】在直角梯形 ABCD 中， AD BC， AB BC， AD2， BC4， P 为平面 ABCD 外一点，且PA PB， PD PC， N 为 CD 的中点(1)求证：平面 PCD平面 ABCD；(2)在线段 PC 上是否存在一点 E 使得 NE平面 ABP？若存在，说明理由并确定 E 点的位置；若不存在，请说明理由(1)证明：取 AB 中点 M，连接 PM， PN， MN，则 PM AB， PN CD.又 ABCD 为直角梯形， AB BC， MN AB. PM MN M， AB平面 PMN.又 PN平面 PMN， AB
8、PN. AB 与 CD 相交， PN平面 ABCD.又 PN平面 PCD，平面 PCD平面 ABCD.(2)解：假设存在在 PC， PB 上分别取点 E， F，使 BF BP， CE CP，连接 EF， MF， NE，14 14则 EF BC 且可求得 EF BC3.34 MN3 且 MN BC， EF MN 且 EF MN.四边形 MNEF 为平行四边形， EN FM.又 FM平面 PAB，在线段 PC 上存在一点 E 使得 NE平面 ABP，此时 CE PC.14热点四 折叠问题例 4 如图所示，在直角梯形 ABCP 中，AP/BC ，AP AB，AB=BC= ，D 是 AP 的中点，E
9、， F， G 分别为 PC、 PD、 CB 的中点，将 沿 CD 折起，21AP PCD使得 平面 ABCD（）求证：AP/平面 EFG；() 求二面角 的大小FG解:() 证明:连 AC,BD 交于 O 点,连 GO,FO,EO E,F 分别为 PC,PD 的中点, / ,同理 / , / EFCD21GO12EFGO四边形 EFOG 是平行四边形, 平面 EFOG又在三角形 PAC 中,E,O 分别为 PC,AC 的中点, PA/EO平面 EFOG,PA 平面 EFOG, EOPA/平面 EFOG,即 PA/平面 EFG 方法二) 连 AC,BD 交于 O 点,连 GO,FO,EOE,F
10、分别为 PC,PD 的中点, / ,同理 /EFCD21GE12PB又 /AB, /CDAB21A D PCB G EFPDAB G CEF平面 EFG/平面 PAB, ,BAPEFG又 PA 平面 PAB, 平面 EFG /方法三)如图以 D 为原点,以 为方向向量建立空间直角坐标系 DPC, xyzD则有关点及向量的坐标为:0,2,01,20,1,2,0.PCGEFA, EFA设平面 EFG 的法向量为 zyxn.00EGn取 1,0 ,APnAP ,2102又 平面 EFG AP/平面 EFG ()由已知底面 ABCD 是正方形 ,又 面 ABCDDC又PDAC平面 PCD, 向量 是平
11、面 PCD 的一个法向量, =AA0,2又由()方法三)知平面 EFG 的法向量为 10n.2,cosnDA结合图知二面角 的平面角为EFG.450 热点五 线线角线面角面面角例 5 正四棱锥 中，侧棱 与底面 所成角的正切值为 。ABCDPPABCD26（1）求侧面 与底面 所成二面角的大小；（2）若 E 是 PB 中点，求异面直线 PD 与 AE 所成角的正切值；（3）在侧面 上寻找一点 F，使得 EF 侧面 PBC。试确定点 F 的位置，并加以证明。（1）连 交于点 ，连 PO，则 PO面 ABCD， PAO 就是 与底面 所成的角，BA,OPABCD tanPAO= 。26设 AB=1
12、，则 PO=AOtanPAO = 。23设 F 为 AD 中点，连 FO、PO，则 OFAD，所以，PFAD，所以， 就是侧面 与底面PFOAD所成二面角的平面角。ABCD在 Rt 中， ， 。PO3tanFOP3即面 与底面 所成二面角的大小为ABCD（2）由（1）的作法可知：O 为 BD 中点，又因为 E 为 PD 中点，所以， 。EO/PD21 就是异面直线 PD 与 AE 所成的角。E在 Rt 中， 。 。P252PO45由 ， 可知： 面 BD。所以， 。BDAAEA在 Rt 中，O 5102tanEOA。 异面直线 PD 与 AE 所 成的角的正切是 。5102（3）延长 交 于点
13、FOBC ，连G接 。设 为 中点，PGH 连接。E, 四棱锥 为AD 正四棱锥且 为 中点，所以， 为中点，BC ， 。PGFBC 。 面 。面 PG面 ， ， 为正三角形。F3O ， 。PHBC面取 AF 中点为 K，连 EK，则由 及 得四边形 为平行四边形，所以，FKHE/HEKF。E/ 。BC面 学生练习一、选择题1设 是两条不同的直线， 是三个不同的平面，给出下列四个命题：,mn,A BCD OPEFGHK若 ， ，则 若 ， ， ，则mn/n/m若 ， ，则 若 ， ，则/m/ /其中正确命题的序号是 ( )A和 B和 C和 D和2若长方体的三个面的对角线长分别是 ，则长方体体对
14、角线长为（ ） ,abcA B 2abc221C D22223abc3在三棱锥 中, 底面 ,则点 到平面ABC 0,3BCDBCAaBC的距离是( )DA B C D5a15a3a1534在正方体 中，若 是 的中点，则直线 垂直于（ ） 1ADE1ACEA B C DC15三棱锥 的高为 ，若三个侧面两两垂直，则 为 的（ ）PPHHABA内心 B外心 C垂心 D重心6在四面体 中，已知棱 的长为 ，其余各棱长都为 ，则二面角 的余弦值为A21CDB（ ）A B C D 123337四面体 中，各个侧面都是边长为 的正三角形， 分别是 和 的中点，则异面直Sa,EFSCAB线 与 所成的角
15、等于（ ）EFA B C D090604503二、填空题1点 到平面 的距离分别为 和 ，则线段 的中点 到 平面的距离为,cm6ABM_2从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为_。3一条直线和一个平面所成的角为 ，则此直线和平面内不经过斜足的所有直线所成的角中最大的角06是_4正四棱锥（顶点在底面的射影是底面正方形的中心）的体积为 ，底面对角线的长为 ，则侧面1226与底面所成的二面角等于_。5在正三棱锥 （顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中， ,过 作与PABC 4,8ABPA分别交于 和 的截面，则截面 的周长的最小值是_,BDEADE三、解答题1如图
16、，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形， ADC45， AD AC1， O 为 AC 的中点， PO平面 ABCD， PO2， M 为 PD 的中点(1)证明： PB平面 ACM；(2)证明： AD平面 PAC2在正三棱柱 ABCA 1B1C1 中，EBB 1，截面 A1EC 与侧面 A1ACC1 所成角为 90.(1)求证：BEB 1E；(2)若 AA1A 1B1，求平面 A1EC 与平面 A1B1C1 所成二面角的大小3 如图，在四棱锥 P ABCD 中， PD平面 ABCD，底面 ABCD 为矩形， PD DC4， AD2， E 为 PC 的中点(1)求证： AD P
17、C；(2)求三棱锥 A PDE 的体积；(3)在 AC 上是否存在一点 M，使得 PA平面 EDM？若存在，求出 AM 的长；若不存在，请说明理由答案一、选择题 1 A 若 ， ，则 ，而同平行同一个平面的两条直线有三种位置关系m/n/mn/若 ， ，则 ，而同垂直于同一个平面的两个平面也可以相交2C 设同一顶点的三条棱分别为 ，则,xyz22222,yazbxzc得 ，则对角线长为2221()xyzabc22221()ca3B 作等积变换 ABCDABV4B 垂直于 在平面 上的射影E5C PH6C 取 的中点 ，取 的中点 ，F123,EBF3cosEFB7C 取 的中点 ，则 ，在 中，
18、 ，SBG2aSCa045G二、填空题1. 或 分 在平面的同侧和异侧两种情况5cm1,A2. 每个表面有 个，共 个；每个对角面有 个，共 个4846463. 垂直时最大 094. 60 度5. 11 沿着 将正三棱锥 侧面展开，则 共线，且PAABC,ADE/ABC三、解答题：略1证明：(1)连接 BD， MO.在平行四边形 ABCD 中，因为 O 为 AC 的中点，所以 O 为 BD 的中点又 M 为 PD 的中点，所以 PB MO.因为 PB 平面 ACM， MO平面 ACM，所以 PB平面 ACM.(2)因为 ADC45，且 AD AC1，所以 DAC90，即 AD AC.又 PO平
19、面 ABCD， AD平面 ABCD，所以 PO AD.而 AC PO O，所以 AD平面 PAC.2解析 (1)取 A1C1中点 F，作 EG面 AC1于 G，Error! B1EGF 为平行四边形FGA 1C1G 为 A1C 之中点从而 E 为 BB1之中点BEB 1E.(2)由(1)知 G 为矩形 ACC1A1的中心， 过 G 作直线平行于 A1C1，交 AA1于点 P，交 CC1于 Q 点，连结EP，EQ，则平面 A1B1C1平面 PEQ，即求平面 AEC 与平面 PEQ 所成的角，交线为 EG，其平面角为A 1GP，因 AA1A 1B1，则 ACC1A1为正方形，则A 1GP45.3(
20、1)证明：因为 PD平面 ABCD，所以 PD AD又因为四边形 ABCD 是矩形，所以 AD CD因为 PD CD D，所以 AD平面 PCD又因为 PC平面 PCD，所以 AD PC(2)解：由(1)知 AD平面 PCD，所以 AD 是三棱锥 A PDE 的高因为 E 为 PC 的中点，且 PD DC4，所以 S PDE S PDC 4.12 12 (1244)又 AD2，所以 VA PDE ADS PDE 24 .13 13 83(3)解：取 AC 的中点 M，连接 EM， DM，因为 E 为 PC 的中点， M 是 AC 的中点，所以 EM PA又因为 EM平面 DEM， PA平面 EDM，所以 PA平面 DEM.此时 AM AC ，12 12AD2 DC2 1222 42 5即在 AC 上存在一点 M，使得 PA平面 EDM，且 AM 的长为 .5
