1、- 1 -1.试证理想六方密堆结构中 c/a=1.633.证明：如图所示，六方密堆结构的两个晶格常数为a 和c 。右边为底面的俯视图。而三个正三角形构成的立体结构，其高度为2若晶胞基矢 互相垂直，试求晶面族（hkl）的面间距。cba,解：互相垂直，可令, kcjbia,晶胞体积 v)(倒格子基矢：kcjbiacbavjkicjbcb 2)(2)(22321 而与 （hkl）晶面族垂直的倒格矢 2231)()( )clbkahGkljil 故（hkl） 晶面族的面间距 2222)()(1)()(clbkahlGd- 2 -3若在体心立方晶胞的每个面中心处加一个同类原子，试说明这种晶体的原胞应如何
2、选择？每个原胞含有几个原子？ 答：通过分析我们知道，原胞可选为简单立方，每个原胞中含有 5 个原子。体心，八个顶点中取一个，对面面心各取一个原子（即三个）作为基元。布拉菲晶格是简单立方格子。4试求面心立方结构的（111）和（110）面的原子面密度。解：（111）面平均每个（111）面有 个原子。2136（111）面面积 232)()(21 aaa所以原子面密度 22)1( 34（110）面平均每个（110）面有 个原子。4（110）面面积 2a所以（110）面原子面密度 2)10(a5设二维矩形格子的基矢为 ，试画出第一、二、三、布里渊区。jia,21解：倒格子基矢： jbjajjaxavb
3、kxii 1132 321 22)( )(所以倒格子也是二维矩形格子。 方向短一半。b最近邻 ;,2次近邻 ;,21b再次近邻 ;,121再再次近邻 ;3,2做所有这些点与原点间连线的垂直平分线，围成布里渊区。再按各布里渊区的判断原则进行判断，得：第一布里渊区是一个扁长方形；第二布里渊区是 2 块梯形和 2 块三角形组成；第三布里渊区是 2 对对角三角和 4 个小三角以及 2 个等腰梯形组成。- 3 -6六方密堆结构的原胞基矢为：kcajai32123试求倒格子基矢并画出第一布里渊区。解：原胞为简单六方结构。原胞体积： cajijiacakcjijiv23213)3()(41)3()(倒格子基
4、矢： kcavb jiajiacjikcjivb 2)(2 )3(2)3(213)( )()(2)(13132321 由此看到，倒格子同原胞一样，只是长度不同，因此倒格子仍是简单六方结构。 （注意：倒格子是简单六方，而不是六方密堆）选六边形面心处格点为原点，则最近邻为六个角顶点，各自倒格矢的垂直平分面构成一个六面柱体。次近邻为上下底面中心，其垂直平分面为上下平行平面。再次近邻是上下面六个顶角，其垂直平分面不截上面由最近邻和次近邻垂直平分面构成的六角柱体。所以第一布里渊区是一个六角柱体。比倒格子六方要小。7略- 4 -8、证明一维 NaCl 晶体的马德隆常数为 2ln证明： ， 则 左 右 两
5、侧 对 称 分 布任 选 一 参 考 离 子 i最 近 距 离 ）为 晶 格 常 数 （ 正 负 离 子； 这 里令 arji.为其 中 ， 异 号 为 ； 同 号 ;41321那 么 ， 有 ： j .)ln(利 用 展 开 式 ： 432xx112， 得 ：1令 x9、若离子间的排斥势用 来表示，只考虑最近邻离子间的排斥作用，试导出离子晶体结合能re的表达式，并讨论参数 和 应如何决定。解：离 子 为 原 点 ）（ 以， 则设 最 近 邻 离 子 间 距 离 为 irarji， （ 最 近 邻 以 外 ）4）， （ 最 近 邻 ，)(0202/ij jijrijerruij 最 近 邻 /
6、)(0214总 相 互 作 用 能 为 ： rNijjeareNU为 最 近 邻 离 子 数其 中 )1.(.；2/02ZZr)2.(.4； 得 ：由 平 衡 条 件 ：/200reZrU 314得 ： 02NU)(结 合 能 0Ec- 5 - )4.(.91等 离 子 晶 体 ：对 于 020rUNrKaCl 5.1418/2300 0reZe )6.(.14218得 ：)5(代 入2将 20300 rerK 7702K )8.(.4得 ：)(由 /20reZ10、如果 NaCl 结构晶体中离子的电荷增加一倍，假定排斥势不变，试估计晶体的结合能及离子间的平衡距离将产生多大变化。解： )1.(
7、42总 相 互 作 用 能 02nrBeNU210200 nrrU ).(.4得 ： 120neB3得 ：)2(由 10nr )4.(18)(得 ：1代 入3020 neNU110 4)(2可 知 ：)4(和时 ， 由2变 为当 电 荷 由 nneUre11、在一维单原子晶格中，若考虑每一院子于其余所有原子都有作用，在简谐近似下求格波的色散关系。- 6 - jiijjiij uUuxU 20041)(21解 ： 在 简 谐 近 似 下 ： )(41个 原 子 的 运 动 方 程 ：第 22 jiijnnn uuUdtm(41右 边 )(2)2njjni)(2)(2 njnjnii uuu21)
8、()(njnnii)(ninup npnp2 p naqpntiaqpntinaqtin uAeAeAemu )2(代 入 上 式 得 ：设 )()()(2 paqm)cos1(2整 理 ， 得 ： 12、设有一维双原子晶格，两种院子的质量相等，最近邻原子间的力常数交错地等于 和 ，试12求格波的色散关系。 nnn nnn udtum)(解 ： 21212 nnn nudtm)(2112 12- 7 - )()(;试 探 解 ： tnaqintnaqin BeAeu BAAeBm Amiaqiaq)()(代 入 方 程 ， 得 ： 21212 212 0)( 2121221 meiaqiaqm
9、aqcos经 计 算 ， 得 ：21221212 13、已知一维单原子晶格的格波色散关系为 )cos()2qaMq试求：(1)格波的模密度 g( );(2)低温下晶格热容与温度的比例关系。 )(2解 ： 一 维 时 ， 模 密 度 qdlgaqdMdMsin2;1co由 色 散 关 系 ， 得 ： 22/1422MMq m qMqMaqdlg 0 2/1422)()()(2)(2/1422MMal m TkdgTEC B 0 1)/exp()(晶 格 热 容 ： ）1项 ， （ 因 为 低 温 ，略 去 4 - 8 - m BTkedMalTC 0 101deTMalTkB )似 为 无 穷
10、大主 要 ， 所 以 上 限 可 以 近因 为 低 温 ， 频 率 低 的 占(022)1(dxeMalxB3经 计 算 ， 上 面 积 分 2TMalkCB214、将 Debye 模型用于一维晶格，求低温下晶格热容与温度的关系，并和上题的结果进行比较，讨论 Debye 模型的合理性。 cq色 散 关 系 ：解 ： 对 于 德 拜 模 型 ， 有cdq)(2)(lg0(1qdc0 1)TkBegTC 022)1(dxekclxB3上 面 积 分 2TcklCB2温 的 情 况 下 。有 其 合 理 性 ， 尤 其 是 低 成 正 比 ， 说 明 德 拜 模 型与 上 题 结 果 比 较 ， 都 与
