1、初三数学反比例函数知识点及经典例题一、基础知识1. 定义：一般地，形如 （ 为常数， ）的函数称为反比例函数。xkyok还可以写成xky12. 反比例函数解析式的特征：等号左边是函数 ，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数 （也叫y k做比例系数 ） ，分母中含有自变量 ，且指数为 1.kx比例系数 0自变量 的取值为一切非零实数。x函数 的取值是一切非零实数。y3. 反比例函数的图像图像的画法：描点法 列表（应以 O 为中心，沿 O 的两边分别取三对或以上互为相反的数） 描点（有小到大的顺序） 连线（从左到右光滑的曲线）反比例函数的图像是双曲线， （ 为常数， ）中自变量 ，xky0k0x
2、函数值 ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐0y渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是 或 ） 。xy反比例函数 （ ）中比例系数 的几何意义是：过双曲线 xkykxky（ ）上任意引 轴 轴的垂线，所得矩形面积为 。0k k4反比例函数性质如下表：的取值 图像所在象限 函数的增减性ok一、三象限 在每个象限内， 值随 的增大而减小yx二、四象限 在每个象限内， 值随 的增大而增大5. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出 ）k6 “反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例
3、函数,但是反比例函数 中的两个变量必成反比例关系。xy7. 反比例函数的应用二、例题【例 1】如果函数 的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的2kxy值是多少？【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数 ， （ ）即xky0kxy（ ）又在第二，四象限内，则 可以求出的值10k 0k【答案】由反比例函数的定义，得：解得1221k或k时函数 为2kxyxy【例 2】在反比例函数 的图像上有三点 ， ， ， ， ， 11xy2xy3xy。若 则下列各式正确的是（ ）3210xxA B C D 3y12y321y231y【解析】可直接以数的角度比较大小，也可用图像法，还可取特殊值法。解法一：
4、由题意得 ， ，1x2x3x， 所以选 A3210xy解法二：用图像法，在直角坐标系中作出 的图像xy1描出三个点，满足 观察图像直接得到 选 A3210xx 213y解法三：用特殊值法 213321321321 ,0 yyx 令【例 3】如果一次函数 相交于点的 图 像与 反 比 例 函 数 xmnmnxy0（ ） ，那么该直线与双曲线的另一个交点为（ ）2，【解析】 123213 nmnxnynmxy 解 得，相 交 于与 双 曲 线直 线21 121,12yx xyxyxy得 解 方 程 组双 曲 线 为直 线 为 1，另 一 个 点 为【例 4】 如图，在 中，点 是直线 与双曲线 在
5、第一象AOBRtmxyxy限的交点，且 ，则 的值是_.2Sm图解:因为直线 与双曲线 过点 ,设 点的坐标为 .mxyxyAAyx,则有 .所以 .AA,又点 在第一象限,所以 .AAyBxO,所以 .而已知 .myBSAAOB2121 2OBS所以 .4m三、练习题I.选择题1.反比例函数 的图像位于（ ）xy2A第一、二象限 B第一、三象限 C第二、三象限 D第二、四象限2.若 与 成反比例， 与 成正比例，则 是 的（ ）yzyzA、正比例函数 B、反比例函数 C、一次函数 D、不能确定oyxyxoyxoyxoA B C D3.如果矩形的面积为 6cm2，那么它的长 cm 与宽 cm
6、之间的函数图象大致为（ x）4.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 P ( kPa ) 是气体体积 V ( m3 ) 的反比例函数，其图象如图所示当气球内气压大于 120 kPa 时，气球将爆炸为了安全起见，气球的体积应（ ）A、不小于 m3 B、小于 m3 C、不小于 m3 D、小于 m3545445455如图 ， A、C 是函数 的图象上的任意两点，过 A 作xy1轴的垂线，垂足为 B，过 C 作 y 轴的垂线，垂足为 D，记xRtAOB 的面积为 S1，RtCOD 的面积为 S2则 （ ）A S1 S 2 B S 1 S2 C S1=S2 D S1与 S2的大小
7、关系不能确定6、若反比例函数 123)(kxy的图象位于第二、四象限，则 k的值是 （ ） （A） 0 （B） 0 或 1 （C） 0 或 2 （D） 47、已知圆柱的侧面积是 100cm2，若圆柱底面半径为 r（cm 2） ，高线长为h（cm） ，则 h 关于 r 的函数的图象大致是 （ ）OyxABC D8在同一坐标系中，函数 和 的图像大致是 xky3（ ）A B C D9已知反比例函数 的图像上有两点 A( ， )，B( ， )，且)0(kxy1xy2xy，则 的值是 21x21（ ）A 正数 B 负数 C 非正数 D 不能确定10若反比例函数 的图像在第二、四象限，则 的值是 2)1
8、(mxy m（ ）A 1 或 1 B 小于 的任意实数 C 1 不能确2定11如图，面积为 2 的 ABC，一边长为 ，这边上的高为 ，则 与 的变化xyx规律用图象表示大致是 （ ）12如图所示，A（ ， ） 、B（ ， ） 、C（ ， ）1xy2xy3xy是函数 的图象在第一象限分支上的三个点，且 ，y 123x过 A、B、C 三点分别作坐标轴的垂线，得矩形 ADOH、BEON、CFOP，它们的面积分别为 S1、S 2、S 3，则下列结论中正确的是 （ ）A S1S2S3 B S 3 S2 S1C S 2 S3 S1 D S 1=S2=S313若矩形的面积为 ，则它的长 与宽 之间的函数关
9、系用图象表26cmycmx示大致（ ）A B C DII.填空题1已知反比例函数 ，当 时，其图象的两个分支在第一、三xmy23_象限内；当 时，其图象在每个象限内 随 的增大而增大；_myx2若直线 和双曲线 在同一坐标系内的图象无交点，)0(1kxy0)(2k则 、 的关系是_；1k23 若反比例函数 的图象位于一、三象限内，正比例函数xky3过二、四象限，则 的整数值是_；xky)92(4反比例函数 的图象经过点 P（ ， ） ，且 ,b 为一元二次方程xkyab的两根，那么点 P 的坐标是_ _，到原点的距离为02kx_；5反比例函数 的图象上有一点 P（ ， ） ，其坐标是关于 t
10、的一元二次xkymn方程 的两个根，且点 P 到原点的距离为 ，则该反比例函数解析032t 5式为_ _ 6、 k为何值时， 322)(kxy是反比例函数，即 k= ；7、已知函数 xa4和的图象有两个交点，其中一个交点的横坐标为1，则两个函数图象的交点坐标是 ；oyxyxoyxoyxo8、在函数 xky2（ 为常数）的图象上有三个点（-2， 1） ，(-1， 2)， （1， 3y） ，函数值 1y， 2，3y的大小为 ；9、如图，面积为 3 的矩形 OABC 的一个顶点 B 在反比例函数xky的图象上，另三点在坐标轴上，则 k= .10、反比例函数 xky与一次函数 mxy的图象有一个交点是
11、（-2，1） ，则它们的另一个交点的坐标是 .III.解答题1. 已知一次函数 和反比例函数 图象在第一象限内有两个不同的8xyxky公共点 A、B （1）求实数 的取值范围；（2）若 AOB 的面积 S24，求 的k k值2.已知反比例函数 和一次函数 的图象都经过点 ，xmy31kxymP()3 求点 P 的坐标和这个一次函数的解析式； 若点 M( ， )和点 N ( ， )都在这个一次函数的图象上试通过计a11a2算或利用一次函数的性质，说明 大于y3如图：A，B 是函数 的图象上关于原点 O 对称的任意两点。AC 平行于xy1轴，BC 平行于 轴，求ABC 的面积。y4已知 ABCD
12、中，AB = 4，AD = 2，E 是 AB 边上的一动点，设 AE= ，DE 延x长线交 CB 的延长线于 F，设 CF = ，求 与 之间的函数关系。yx5关于 x 的一次函数 y=-2x+m 和反比例函数 y= 的图象都经过点 A（-1nx2，1）.求：（1）一次函数和反比例函数的解析式；（2）两函数图象的另一个交点 B 的坐标；（3）AOB 的面积A E BD CF6. 如图所示，一次函数 y ax b 的图象与反比例函数 y 的图象交于kxA、B 两点，与 x 轴交于点 C已知点 A 的坐标为（2，1） ，点 B 的坐标为（ ， m） 12（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）
13、根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的 x 的取值范围OCAB7 某蓄水池的排水管每小时排水 8m3，6 小时可将满池水全部排空（1）蓄水池的容积是多少？（2）如果增加排水管，使每小时的排水量达到 Q（ m3） ，那么将满池水排空所需的时间 t（ h）将如何变化？（3）写出 t 与 Q 的关系式（4）如果准备在 5 小时内将满池水排空，那么每小时的排水量至少为多少？（5）已知排水管的最大排水量为每小时 12m3，那么最少需多长时间可将满池水全部排空？8.某商场出售一批名牌衬衣，衬衣进价为 60 元，在营销中发现，该衬衣的日销售量 y（件）是日销售价 x 元的反比例函数，且当售价定为 1
14、00 元/件时，每日可售出 30 件.（1）请写出 y 关于 x 的函数关系式；（2）该商场计划经营此种衬衣的日销售利润为 1800 元，则其售价应为多少元？9如图，在直角坐标系 xOy 中，一次函数 ykxb 的图象与反比例函数的图象交于 A(-2，1)、B(1，n)两点。myx(1)求上述反比例函数和一次函数的表达式；(2)求AOB 的面积。四、课后作业1对与反比例函数 ，下列说法不正确的是（ ）xy2A点（ ）在它的图像上 1,2B它的图像在第一、三象限C当 时，0x的 增 大 而 增 大随 xyD当 时，的 增 大 而 减 小随2.已知反比例函数 的图象经过点（1，-2） ，则这个函数的图象一定0kyx
